CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, Apuntes de Cálculo Avanzado

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MAT - 313

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FACULTAD DE INGENIERÍA

Curso Básico – Gestión 1/

Primer Examen Parcial

Área: Matemática – Análisis Vectorial y Tensorial

2 2 2 2

Parametrizar la superficie con dos parametros x  z  4 y y  x  4

que representa cada miembro y analizar si es correcta la igualdad :  f  f 

3 3

Calcular la circulacion del campo vectorial F  (  y , x ) a lo largo de la

2 2

elipse : 1, en direccion contraria a las agujas del reloj.

x y

si u es un vector unitario de f una funcion diferenciable demostrar lo siguiente

   

u f u f u f

 

  

Calcular S=? Para la funcion vectorial cos , sin , ln cos desde

t

f  a t a t a t

 

, 0, 0 hasta , , ln

a

a a a

4 4 4

Calcular donde (- , - ) siendo la curva

c

f dr f  y x z

2 2

C:

x y y

y z

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Curso Básico – Gestión 2/200 8

Primer Examen Parcial

Área: Matemática – Análisis Vectorial y Tensorial

1. Una trayectoria se encuentra definida por :

2 2

g s  ln s  s  1 i  cosh ln( s  s 1) j

a) Determinar si: S corresponde a la longitud del arco

b) Calcular la curvatura

2. Calcular

 f r r ( ) , donde r  r y r es el vector posición

3. Sea S la superficie definida por

2 2

z  1  x  y , x  z  1 y f

el campo definido por

   

f x y z , ,  yz xz xy , ,. Calcular el flujo exterior de f atreves de S.

4. Sea C la cardioide de ecuación

r  a 1 cos 

orientado positivamente, calcular la integral

2 2 2 2 2

x  y  ax  a x  y  1 ds

5. Hallar la masa de la superficie

2 2

z  9  x  y

por encima del plano XY sabiendo que su densidad de

masa viene dado por

 

2 2

, ,

2 2

x y z

x y z

x y

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Curso Básico – Gestión 2/

Primer Examen Parcial

Área: Matemática – Análisis Vectorial y Tensorial

1. Hallar la masa de un alambre cuya forma se puede describir por la curva de intersección de la esfera

2 2 2

x  y  z  1 y el plano x  z  0 la densidad depende del punto (x,y,z) de la forma  

 x y z , ,  x

2. Calcular

s

F  rot F  d s

donde f ( , x y z , ) ( , , z x y )

y S corresponde de la superficie lateal del cilindro

2 2

x  y  1 limitada por los planos z  0 , z  x  3 cerrada por la parte superior y abierta en su base.

3. Determinar los vectores tangente, normal y binormal si:  

cos ,sin ,

s s s

f s

en

 

 

f s  f 2     1, 0, hallar la ecuación del plano osculador (s es la longitud de arco )

4. Calcular la

 

 

r

Div Grad f

, si “r” es el modulo del vector posición en el plano

5. Calcular el

donde

a r a r

rot E E yi xj

r r

   (“r” es el módulo de vector posición en el plano)

6. OP.

 

 

3

2 2 2

0

x y z Q

E

x y z

Considerar

0

Q

constante

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Primer Examen Parcial

Área: Matemática – Análisis Vectorial y Tensorial

1. Calcular

2 2 2

S

x  y  z ds



, siendo S la porción de la superficie cónica

 

2 2 2

z  3 x  y comprendida

entre su vértice y el plano z  3

2. Calcular

S

f ds

, donde

2

ˆ ˆ ˆ

f   g y g  xyzi  xyj  x yzk sobre el dominio consistente en la unión de

la parte inferior y de las cuatro caras laterales (no la tapa) del cubo con vértices  

 1, 1,  1 , orientado

de manera positiva.

3. Hallar la masa de un alambre cerrado que tiene la forma de un sector circular de radio 2 y ángulo central

igual a

, sabiendo que su densidad lineal está dado por

 

2 2

,

x y

x y

 e



4. Hallar w para que se satisfaga la siguiente ecuación vectorial:

   

, , , ,

d

T N B w T N B

ds

 

5. Demostrar:

a)

 

  r

r

f

f r

r

b)

 

       

 

 

 

2

3

t t t t t t

t

f f f f f dT

dt

f

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Primer Examen Parcial

Área: Matemática – Análisis Vectorial y Tensorial

a) Si

2 2 ˆ ˆ ˆ

f  2 xyzi  x zj  x yk calcular

C

f d r



desde el punto (0,0,0) hasta el punto (2,1,3) a lo

largo de la curva

2

x  2 , t y  t z ,  4 t  t , donde 0  t  1

b) Hallar un vector unitario normal n

a la superficie S representada por la ecuación paramétrica

 

cos , sin ,

u

x  u v y  u v z  z

2. Una partícula se mueve de manera que se vector de posición en cualquier tiempo “t” sea

2

r  ti  t j  tk

, encontrar la aceleración tangencial y normal.

3. Si

2 2 2

r  x  y  z y el campo electrostático de la carga puntual “q” es igual a:

3

0

q r

E

 r

hallar

 

Div E

4. Hallar: ,

C

f d r



donde

2 2

x y

f xyi yzj xzk C

x y z

5. Si

2 ˆ ˆ ˆ

f  4 xzi  xyz j  3 zk. Calcular:

S

f d S

, donde S es la superficie del paraboloide

2 2

z  4  x  y y el plano XY.

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Curso Básico – Gestión 1/

Primer Examen Parcial

Área: Matemática – Análisis Vectorial y Tensorial

Teóricas:

1. Como se analiza un campo vectorial  

F  P Q R , , ¿es conservativo? Anote un ejemplo

2. Analice si es verdad o falso  

 a  r  2 a , a vector constante

3. Bosqueje la gráfica del campo vectorial  

V  2, 2, z

4. Cuál es el significado físico de

 

Div F  0 explique

Practicas:

5. Grafique la curva

 

 

3sin , 2 cos ,

t

r  t t t 0  t  ,calcule el centro de gravedad en x densidad es

 xy

6. Hallar la curvatura y la torsión de la curva de intersección de la circunferencia de intersección

2 2 2

2 x  y  z  2 ; x  y  z  6 x  2 y  4 z  11  0

7. Demuestre que la superficies

2 2 2 2 2 2

x  y  z  25 ,  x  y  z  0 x

2

+y

2

+z

2

=25, son ortogonales en

un punto de intersección.

8. Encuentre el flujo hacia afuera del campo

 

2 2 2 2 2 2

F  y , x ,5 z ; S : z  y  x , z  4  y  x

9. OP. hallar los vectores:

 

T N B , , a la curvatura

 

 

2 3

t

r  t t  t t  t Cuando t=

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Primer Examen Parcial

Área: Matemática – Análisis Vectorial y Tensorial

Teóricas:

1. Que característica tiene el vector binormal B en una curva contenida en x  2 y  2 2. Analice si  

F  yz xz xy , , es conservativo, si es así hallar la función potencial.

3. analizar si se cumple o no

     

Rot F  G  F  Rot G  Rot F  G. F y G son campos vectoriales,

4. Dibuje el campo vectorial  

F  3, 2, z

Practicas:

5. La curva

 

cosh ,sinh ,

t

t

f  t t e

a) Graficar

b) Calcular la curvatura para t=

c) Calcular la torsión para t=

d) Calcular la longitud de arco  

t  0,

6. Calcular el trabajo realizado por la fuerza F , al actuar sobre una partícula que se mueve según la

trayectoria : Segmentos rectos de (0,0,0) (1,1,0) (2,2,4),  

F  x  y , 2 y  z , 2 z  y

7. Calcular el flujo del campo vectorial

2 2

F  xy , x y z , A través de la superficie cerrada

2 2

x  y  z  0 , 4 z  x  y (PRIMER OCTANTE)

8. Calcular el centroide de la superficie

2 2

z  4 x  y , cortado por los planos z  4, z  8,  xy

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Primer Examen Parcial

Área: Matemática – Análisis Vectorial y Tensorial

1. Hallar el trabajo realizado por

2

f  x y , 2 , y x desde el punto A(0,0,1) hasta C(0,1,0), pasando por

B , 0, 0

a lolargo del camino dado por los arcos

2 2

1 2

x z x y

y z

x z x y

 

 

Calcular E= u, donde ; r es el modulo del vector posicion en el plano.

a r

y u yi xj

r

 

   

Calcular el flujo del campo , - ,1 , que atraviesa la superficie helicoidal

: , cos , sin , , 0 1, 0 2

f y x

S r t u t u t u u t u 

 

Calcular la integral de superficie , , ,sobre la superficie cerrada ,limitada por los planos :

1, -1; 1, -1; 1, -1;NO USAR GAUSS

f yz xz xy

x x y y z z

 

Dado el campo vectorial f  2 x  ay  z ,  3 x  2 y  bz x ,  y  2 z

a) Hallar a y b para que el campo f sera conservativo

b) determinar la familia de funciones potenciales de f

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Primer Examen Parcial

Área: Matemática – Análisis Vectorial y Tensorial

Teórica

1. Analice la veracidad o falsedad de:

 

Rot F  G  F  RotG  Rot F  G , justifique.

2. Halle y grafique el dominio del campo vectorial:

 

 

F x y ,  x - y , y - 2 x

3. Cuál es la curvatura de c : x  y  3, y - z  3 en

 

4. Calcular:

 

3

Div r r

Practica

5. Demostrar que

 

r  a cosh , t a sinh , t at tiene curvatura y torsión iguales.

6. Calcule el centro de gravedad del alambre:

   

2

t

r t  e t t  t   xyz

7. Calcular  

2 2

S

F ds F  x  y y  z x S z   x

, primer octante y  2

8. Demostrar:

   

2

    F   - F    F

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Primer Examen Parcial

Área: Matemática – Análisis Vectorial y Tensorial

a) Calcular el área de la porción del plano y  2 z limitado por la superficie hiperbólica de un manto

2 2 2

x  y  z  1

b) Determinar la forma vectorial de la región del plano y  2 z limitado por la superficie

hiperbólica de un manto

2 2 2

x  y  z  1

2. Hallar el flujo del campo de temperaturas dado por  

3 3 3

f x y z , ,  x , y , z

a través de la superficie

cónica

2 2 2

x  y  z con 0 z  H

a) Hallar el momento de inercia

z

I de la curva descrita por su forma paramétrica:

 

x  a cos , t y  a sin t , z  bt ; t 0,6  siendo

 

2 2 2

 x y z , ,  x  y  z su función de densidad

lineal

b) Calcular el radio de giro

z

z

I

R

m

 donde “m” es la masa de la curva

4. Calcular el  

2 2 2

2 2 2

donde

x y z

Grad E E E x y z e

  

a) Reparametrizar la curva usando el parámetro de longitud de arco

b) Halle las coordenadas del punto Q sobre la hélice tal que la longitud de arco desde P(4,0,0) hasta

Q sea 5 

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Primer Examen Parcial

Área: Matemática – Análisis Vectorial y Tensorial

1. La curva C1 (epicicloide) tiene ecuaciones paramétricas dadas por:

   

x  5cos t cos 5 t , y  5sin t  sin 5 t ; 0  t  2  la curva C2 (circunferencia) tiene la ecuación

cartesiana

2 2

x  y  36. Hallar el área interior a la circunferencia y exterior a la epicicloide.

2. Utilizando integrales de superficie, encontrar el volumen de la región acotada por las superficies.

2 2 2 2

z  x  y , z  10  x  2 y

3. Verificar el teorema de STOKES si    

f x y z , ,  z x y , , y K la superficie correspondiente a la porción

del plano z  2 x , limitado por el paraboloide

2 2

z  x  y

4. Verificar el teorema de STOKES si    

2 2 2

2 2

x y z

f x y z x yz y z S

z

5. Verificar el teorema de GAUSS si    

2 2 2

2

, , , , , atraves de

x y R

f x y z xz y xz S

z

6. Verificar el teorema de GAUSS si    

2 2

, , , , 2 , atraves de

z x y

f x y z x y z S

z

7. Evaluar

 

2 2

2

2

3 3 , atraves de

C

x y

ydx xdy C

x y

8. Calcular el flujo del campo    

2 2

, , 3 , 2 , 4 , atraves de

x y x

f x y z x y z S

x z x

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Primer Examen Parcial

Área: Matemática – Análisis Vectorial y Tensorial

a) Hallar en términos del parámetro “t”, la curvatura del espiral de Arquímedes cada por la

ecuación escalar   a , donde “ a ” es una constante.

b) Sabiendo que se satisface la siguiente ecuación vectorial:

dT

T

ds

d N d B

N B

ds ds

, determinar que el vector Darboux

, está dada por

   T  B

donde es torsión y  la curvatura.

2. La curva

2

y  4  x ,  1  x 1,es un arco de una circunferencia

2 2

x  y  4

a) Encontrar su parametrización como una función vectorial, que se obtiene al hacer girar este

arco en torno al eje “ x ”

b) Hallar el área de la superficie del arco de la circunferencia dado.

3. Calcular

3

Div rGrad

r

, donde “r” es el modulo del vector de posición en el plano

4. Calcular Rot f ,

donde

   

a r a r

f yi xj

r r

a) Hallar  

2

    f r , donde “r” es el modulo del vector posición en el plano

b) Hallar  

f r ,tal que sea armónica.

6. ¿Qué característica debe tener el campo vectorial

E

para que se cumpla la siguiente identidad

vectorial?

   

2 4

DivE r Rot E Grad r

r r

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Segundo Examen Parcial

Área: Matemática – Análisis Vectorial y Tensorial

Integrales de línea:

1. Calcular  

2 2

C

x  y ds

donde C es el arco de espiral

b

r ae



 , para  que varía desde 0 hasta, a b ,

son constantes.

2. Calcular ydx zdy xdz ,





donde

2 2 2 2

 : x  y  z  a  x  y  z  0

3. Calcular el área lateral de la superficie lateral del cilindro

2 2

x  y 2 , x limitado por los planos

z  2  x  y z ,  0, y  0

Integrales de Superficie:

4. Calcular el área de la porción de la esfera

2 2 2

x  y  z 1,comprendida entre los planos

z    z 

5. Hallar la masa de la campana modelada por

2 2

z  9  x  y ,por encima del plano z 0,si su densidad

de masa esa dada por

2 2

2 2

x y z

x y

6. Sobre la trayectoria del plano

3

2

x  y  z  , intersectado con la frontera del cubo unitario

0  x  1, 0  y  1, 0  z 1, calcular la integral de superficie.

 

2 2 2 2 2 2

,si , ,

S

rot f d S f  y  z z  x x  y

Teóricas :

7. ¿Qué cuantifica el momento de inercia? 8. ¿Qué cuantifica el momento estático?