Cálculo Diferencial e Integral: Teoremas Fundamentales y Aplicaciones, Guías, Proyectos, Investigaciones de Matemáticas

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DEMOSTRACIONES y

MÉTODOS

Cálculo I

Límite

Límite de la Función constante

Demostrar que lim

𝒙→𝒙𝟎

Hipótesis: lim

𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿 y lim

𝑥→𝑐

Tesis: lim

𝑥→𝑐

Demostración: de acuerdo con la definición de límite, para los límites de la

hipótesis se debe cumplir que ∀ 𝜀 > 0 (arbitrariamente pequeño y positivo) debe

existir un 𝛿 1 y un 𝛿 2 (también arbitrariamente pequeños y positivos) que

dependan de 𝜀, tal que:

Límite de una suma de funciones

El límite, para cierta tendencia, de la suma de dos funciones que tienen límite

es igual a la suma de los respectivos límites de cada función para la misma

tendencia. En símbolos:

Si lim

𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿 y lim

𝑥→𝑐

𝑔 𝑥 = 𝐺, entonces:

lim

𝑥→𝑐

Límites Notables

𝑙𝑖𝑚

= 1 (𝜃 en radianes) Se pretende demostrar que tanto el límite por la derecha como el límite por la izquierda son iguales a 1. Para mostrar que el límite por derecha es 1 , se inicia con valores positivos de 𝜃 menores que 𝜋/ 2. En la figura se observa el triángulo OAP, el área del sector circular OAP y el triángulo OAT. Se plantea la siguiente relación de área entre ellos: Área de ∆𝑂𝐴𝑃 < área del sector OAP <área de ∆𝑂𝐴𝑇 Estas áreas pueden expresarse en términos de 𝜃 como: Área de ∆𝑂𝐴𝑃= 1 2

1 2

1 2

Área del sector ∆𝑂𝐴𝑃= 1 2

2 𝜃 = 1 2

2 𝜃 = θ 2 Área de ∆𝑂𝐴𝑇= 1 2

1 2

1 2

Reemplazando según corresponde en la desigualdad se tiene: 1 2

tan 𝜃

𝑙𝑖𝑚

= 0 (ℎ en radianes)

Empleando la fórmula del ángulo medio:

cos ℎ = 1 − 2 𝑠𝑒𝑛

2

Reemplazando según corresponde en la desigualdad se tiene:

ℎ→ 0

= lim

ℎ→ 0

= lim

ℎ→ 0

𝑠𝑒𝑛^2 ℎ 2 ℎ/ 2

Si

ℎ 2

= 𝜃, y ℎ → 0 ⟹ 𝜃 → 0 , por lo que se tiene:

= lim

ℎ→ 0

𝑠𝑒𝑛 2 𝜃 𝜃

= lim

ℎ→ 0

𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜃

Continuidad de una

función compuesta

Reglas de Derivación

Derivada de una función constante:

Si 𝑓 𝑥 = 𝑐 ⇒

Demostración: lim

= lim

= lim

REGLAS DE DERIVACIÓN

Derivada de un múltiplo constante:

Si 𝑓 𝑥 es una función derivable de 𝑥 y c una constante, entonces:

𝒅(𝒄. 𝒇 𝒙 ) 𝒅𝒙 = 𝐜 ∙ 𝒅𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝐜 ∙ 𝒇′(𝒙)

En particular, si 𝑛 ∈ ℝ:

= 𝒄𝒏𝒙

Demostración: 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑓 𝑥 = lim ∆𝑥→ 0 𝑐𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑐𝑓(𝑥) ∆𝑥 = 𝑐 ∙ lim ∆𝑥→ 0 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥 ∆𝑥 = 𝑐. 𝑑𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝒅 𝒅𝒙 𝒄𝒇 𝒙 = 𝒄. 𝒅𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝐜 ∙ 𝒇′(𝒙)

Derivada de una suma/resta de funciones:

Si 𝑓 y 𝑔 son funciones derivables de 𝑥 , entonces su suma 𝑓 ± 𝑔 es

derivable en cada punto donde tanto 𝑓 como 𝑔 son derivables. En

tales puntos:

REGLAS DE DERIVACIÓN

Demostración:

𝒇 𝒙 + 𝒈(𝒙) = lim

∆𝑥→ 0

= lim

∆𝑥→ 0

= lim

∆𝑥→ 0

+ lim

∆𝑥→ 0

′

Cuando ∆𝑥 se aproxima a cero, 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 → 𝑓(𝑥), ya que 𝑓(𝑥), al ser derivable en 𝑥, es continua en 𝑥. Las dos fracciones tienden a los valores de 𝑑𝑓Τ 𝑑𝑥 en 𝑥 y a 𝑑𝑔Τ 𝑑𝑥 en 𝑥. Finalmente lim ∆𝑥→ 0

En síntesis, 𝑑 𝑑𝑥

′ 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑓′(𝑥)

Demostración:

𝑓𝑔 = lim ∆𝑥→ 0

Para cambiar esta fracción en una equivalente que contenga los cocientes de diferencias para las derivadas de 𝑓 y 𝑔, en el numerador se suma y resta convenientemente 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 𝑔 𝑥. 𝑑 𝑑𝑥 𝑓𝑔 = lim ∆𝑥→ 0

Se agrupan convenientemente el primer y cuarto término, y el segundo y tercer término: 𝑑 𝑑𝑥 𝑓𝑔 = lim ∆𝑥→ 0

𝑓𝑔 = lim ∆𝑥→ 0

𝑓𝑔 = lim ∆𝑥→ 0 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 ∙ lim ∆𝑥→ 0

• lim ∆𝑥→ 0 𝑔(𝑥) ∙ lim ∆𝑥→ 0

Derivada del cociente de funciones:

Si 𝑓 y 𝑔 son funciones derivables de 𝑥, y si 𝑔(𝑥) ≠ 0 entonces el

cociente 𝑓/𝑔 es derivable en 𝑥: