calculo diferencial -, Ejercicios de Cálculo diferencial y integral

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Ejercicios resueltos de selectividad

Matemáticas II

Universidad de Extremadura

Vicente González Valle

I.E.S. Zurbarán (Badajoz)

Agosto 2016

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ÍNDICE

• RESUMEN TEÓRICO................................................................. IX

• EXÁMENES

• Junio 2000 - Opción A.......................................................... XXII
• Junio 2000 - Opción B......................................................... XXIII
• Septiembre 2000 - Opción A.................................................... XXIV
• Septiembre 2000 - Opción B..................................................... XXV
• Junio 2001 - Opción A......................................................... XXVI
• Junio 2001 - Opción B........................................................ .XXVII
• Septiembre 2001 - Opción A.................................................. XXVIII
• Septiembre 2001 - Opción B.................................................... XXIX
• Junio 2002 - Opción A.......................................................... XXX
• Junio 2002 - Opción B......................................................... XXXI
• Septiembre 2002 - Opción A................................................... XXXII
• Septiembre 2002 - Opción B.................................................. XXXIII
• Junio 2003 - Opción A........................................................ XXXIV
• Junio 2003 - Opción B........................................................ .XXXV
• Septiembre 2003 - Opción A.................................................. XXXVI
• Septiembre 2003 - Opción B................................................. XXXVII
• Junio 2004 - Opción A...................................................... XXXVIII
• Junio 2004 - Opción B........................................................ XXXIX
• Septiembre 2004 - Opción A...................................................... .XL
• Septiembre 2004 - Opción B...................................................... XLI
• Junio 2005 - Opción A.......................................................... XLII
• Junio 2005 - Opción B.......................................................... XLIII
• Septiembre 2005 - Opción A.................................................... XLIV
• Septiembre 2005 - Opción B..................................................... XLV
• Junio 2006 - Opción A.......................................................... XLVI
• Junio 2006 - Opción B......................................................... XLVII
• Septiembre 2006 - Opción A.................................................. XLVIII
• Septiembre 2006 - Opción B.................................................... XLIX
• Junio 2007 - Opción A.............................................................. L
• Junio 2007 - Opción B............................................................. LI
• Septiembre 2007 - Opción A...................................................... .LII
• Septiembre 2007 - Opción B...................................................... LIII
• Junio 2008 - Opción A........................................................... LIV
• Junio 2008 - Opción B............................................................ LV
• Septiembre 2008 - Opción A...................................................... LVI

viii

• Septiembre 2008 - Opción B..................................................... LVII
• Junio 2009 - Opción A.......................................................... LVIII
• Junio 2009 - Opción B........................................................... LIX
• Septiembre 2009 - Opción A...................................................... .LX
• Septiembre 2009 - Opción B...................................................... LXI
• Junio 2010 - Fase General - Opción A........................................... LXII
• Junio 2010 - Fase General - Opción B.......................................... .LXIII
• Junio 2010 - Fase Especíca - Opción A........................................ LXIV
• Junio 2010 - Fase Especíca - Opción B......................................... LXV
• Septiembre 2010 - Fase General - Opción A..................................... LXVI
• Septiembre 2010 - Fase General - Opción B.................................... LXVII
• Septiembre 2010 - Fase Especíca - Opción A................................. LXVIII
• Septiembre 2010 - Fase Especíca - Opción B................................... LXIX
• Junio 2011 - Opción A.......................................................... LXX
• Junio 2011 - Opción B.......................................................... LXXI
• Septiembre 2011 - Opción A................................................... LXXII
• Septiembre 2011 - Opción B.................................................. LXXIII
• Junio 2012 - Opción A........................................................ LXXIV
• Junio 2012 - Opción B......................................................... LXXV
• Septiembre 2012 - Opción A.................................................. LXXVI
• Septiembre 2012 - Opción B................................................. .LXXVII
• Junio 2013 - Opción A...................................................... LXXVIII
• Junio 2013 - Opción B........................................................ LXXIX
• Septiembre 2013 - Opción A................................................... LXXX
• Septiembre 2013 - Opción B.................................................. LXXXI
• Junio 2014 - Opción A....................................................... LXXXII
• Junio 2014 - Opción B...................................................... LXXXIII
• Julio 2014 - Opción A....................................................... LXXXIV
• Julio 2014 - Opción B........................................................ LXXXV
• Junio 2015 - Opción A...................................................... LXXXVI
• Junio 2015 - Opción B..................................................... LXXXVII
• Julio 2015 - Opción A..................................................... LXXXVIII
• Julio 2015 - Opción B....................................................... LXXXIX
• Junio 2016 - Opción A............................................................ XC
• Junio 2016 - Opción B........................................................... XCI
• Julio 2016 - Opción A........................................................... XCII
• Julio 2016 - Opción B.......................................................... XCIII
• Índice Temático...................................................................... XCV

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5. Denición de derivada: Sea f (x) una función denida en un intervalo [a, b] y sea x 0 ∈ (a, b). Se dice que f es derivable en x 0 , si existe el límite:

f ′(x 0 ) = (^) xl´→ımx 0 f^ (x x)^ −−^ fx^ (x^0 ) 0 Si hacemos h = x − x 0 es evidente que cuando x → x 0 tenemos que h → 0. En ese caso el límite anterior quedaría: f ′(x 0 ) = l´ hım→ 0 f^ (x^0 +^ h h)^ −^ f^ (x^0 ) Podemos utilizar cualquiera de los dos límites para calcular una derivada.

6. Interpretación geométrica de la derivada: La derivada de la función en un punto (a, f (a)) es la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto:

mtg = f ′(a)

Usando la ecuación punto pendiente tendríamos que la ecuación de la recta tangente se cal- cularía: y − f (a) = f ′(a) · (x − a)

7. Continuidad y derivabilidad: Si una función f (x) es derivable en x = a, entonces f (x) es continua en x = a. Por el contrario una función puede ser continua en un punto y no ser derivable. Digamos que ser derivable es pedirle algo más a la función que ser continua.
8. Regla de la cadena: La regla de la cadena es una fórmula para derivar funciones compuestas. Si tenemos dos funciones g y f tenemos que:

(g ◦ f )′(x) = g′(f (x)) · f ′(x)

9. Teorema de Rolle: Si f (x) es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) y f (a) = f (b), entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
10. Teorema del valor medio del cálculo diferencial o de Lagrange: Si f (x) es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe un c ∈ (a, b) tal que

f ′(c) = f^ (b) b^ −−^ fa^ (a)

Puedes verlo grácamente en la gura 1

11. Monotonía: Estudiar la monotonía de una función es estudiar en qué intervalos la función es creciente y en cuales es decreciente.

xi

Figura 1: Vista gráca del teorema del valor medio

a) Función creciente: Una función f es creciente en un intervalo (a, b) si para cualquier par de números x 1 , x 2 del intervalo (a, b), x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) 6 f (x 2 ). Si f es una función continua en [a, b], derivable en (a, b) y f ′(x) > 0 en todo el intervalo, entonces la función es creciente en [a, b]. b) Función decreciente: Una función f es decreciente en un intervalo (a, b) si para cualquier par de números x 1 , x 2 del intervalo (a, b), x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) > f (x 2 ). Si f es una función continua en [a, b], derivable en (a, b) y f ′(x) < 0 en todo el intervalo, entonces la función es decreciente en [a, b].

12. Máximos y mínimos relativos:

a) Máximo relativo: Una función f tiene un máximo relativo en x = c si existe un intervalo abierto (a, b) tal que c ∈ (a, b) y f (c) > f (x) para todo x ∈ (a, b); x 6 = c. Si f es derivable en x = c, f ′(c) = 0 y f ′′(c) < 0 habrá un máximo relativo en x = c. b) Mínimo relativo: Una función f tiene un mínimo relativo en x = c si existe un intervalo abierto (a, b) tal que c ∈ (a, b) y f (c) < f (x) para todo x ∈ (a, b); x 6 = c. Si f es derivable en x = c, f ′(c) = 0 y f ′′(c) > 0 habrá un mínimo relativo en x = c.

13. Puntos de inexión: Un punto de inexión es un punto en el que la gráca cambia de tipo de curvatura. Si f es derivable hasta la tercera derivada y en un punto x se cumplen que f ′′(x) = 0 y f ′′′(x) 6 = 0 , entonces la función tiene un punto de inexión en x.
14. Regla de L'Hôpital: Sean f y g dos funciones derivables en un entorno de a.

Si el (^) xl´ım→a f (x) = 0 y el (^) xl´ım→a g(x) = 0, y existe el (^) xl´ım→a^ f^

′(x) g′(x) , entonces:

x^ l´ım→a^ f g^ ((xx)) = l´ xım→a^ f^

′(x) g′(x)

También es aplicable, como se menciona antes, a la indeterminación del tipo ∞∞. Con ciertas modicaciones pueden resolverse el resto de los tipos de indeterminación.

15. Función primitiva: Una primitiva de una función f (x) es otra función F (x) tal que F ′(x) = f (x).
16. Integral indenida: La integral indenida de una función f (x) es el conjunto F (x) + K de todas sus primitivas. Se representa por: ∫ f (x) dx = F (x) + K tal que F ′(x) = f (x) y K ∈ R

xiii

23. Matriz inversa: Una matriz cuadrada de orden n se dice que es regular o invertible, si existe otra matriz cuadrada del mismo orden, a la que denominamos A−^1 , de tal forma que:

A · A−^1 = A−^1 · A = I

siendo I la matriz unidad de orden n, esto es,

I =

Para que una matriz tenga inversa tiene que cumplir que |A| 6 = 0. En este caso la matriz inversa se calcula de la siguiente forma:

A−^1 = (^) |A^1 | · [Adj(A)]t

donde Adj(A) es la matriz adjunta de A, cuyo elemento ij-ésimo es el menor de orden n- obtenido quitando a la matriz A la la y la columna en las que está dicho elemento.

24. Propiedades de los determinantes:

a) Línea nula: Si una línea es nula el valor del determinante es cero. b) Línea igual o proporcional: Si tenemos dos líneas iguales o proporcionales el determinante vale cero. c) Línea combinación lineal de las demás: Si hay una línea que es combinación lineal de las demás el determinante vale cero. d) Cambiar dos líneas paralelas: Si intercambiamos dos líneas paralelas, su determinante cambia de signo. (^) ∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣

e) Cambiar una línea por una combinación lineal: Si en una matriz se cambia una línea por una combinación lineal de ella (sin multiplicarla ni dividirla por ningún número) con las restantes, su determinante no varía. Esto nos permite hacer ceros aplicando Gauss siempre que no multipliquemos por nada la línea que vamos a cambiar. ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

F 2 =F = 2 − 2 F 1

f) Determinante de la matriz traspuesta: El determinante de una matriz y su traspuesta coinciden. |A| =

At

g) Determinante de la matriz inversa: El determinante de la matriz inversa es igual al inverso del determinante de la matriz. ∣∣ A−^1

= |A^1 |

xiv

h) Multiplicación por un número: Si multiplicamos una línea de una matriz por un número, el valor del determinante de dicha matriz queda multiplicado por dicho número. ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣

El primer determinante se diferencia del segundo en que hemos multiplicado la segunda columna por 5. En la práctica lo que podemos hacer es lo que vemos en el ejemplo anterior, es decir, sacar factor común un número que esté multiplicando a línea. i) Determinante del producto de dos matrices: El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes.

|A · B| = |A| · |B|

25. Rango de una matriz: El rango de una matriz es el número máximo de columnas (las respectivamente) que son linealmente independientes. El rango de una matriz es el máximo orden de sus menores no nulos.
26. Sistemas de Cramer: Un sistema decimos que es de Cramer si tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de lo coecientes es distinto de cero. En un sistema de Cramer, cada incógnita es el cociente de dos determinantes: a) El determinante del denominador es el determinante de la matriz de los coecientes. b) El determinante del numerador es el que resulta de sustituir, en el determinante de los coecientes, la columna correspondiente a los coecientes de la incógnita que se despeja, por lo términos independientes. xi = ||AAi||

Donde x 1 , x 2 , · · · , xn son las incógnitas del sistema.

27. Teorema de Rouché-Fröbenius: Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y sólo si el rango de la matriz de los coecientes (C) es igual al rango de la ampliada (A):

Un sistema es compatible ⇐⇒ Rg(C) = Rg(A) Consecuencias del teorema: Sea A · X = B un sistema de ecuaciones y n el número de incógnitas. Entonces ocurre: a) Si Rg C = Rg A = n =⇒ El sistema es compatible determinado. b) Si Rg C = Rg A < n =⇒ El sistema es compatible indeterminado. c) Si Rg C < Rg A =⇒ El sistema es incompatible.

28. Denición de vector: Un vector jo es una segmento orientado. Se representa por − AB−→. El punto A es el origen y el punto B el extremo. Las características de un vector son: a) Módulo: Es su longitud. Se representa por |− AB−→|. b) Dirección Es la dirección de la recta que lo contiene. c) Sentido El que va del origen al extremo. Un vector libre es, pues, el conjunto de los vectores del espacio que tienen mismo módulo, mis- ma dirección y mismo sentido. Y cada vector jo que pertenezca al vector libre lo llamaremos representante de ese vector libre.

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32. Dependencia e independencia lineal de vectores: Dado un conjunto de vectores v 1 , v 2 , · · · , vn, se dice que estos vectores son linealmente dependientes si existen números a 1 , a 2 , · · · , an, no todos iguales a cero, tal que:

a 1 · v 1 + a 2 · v 2 + · · · + an · vn = ~ 0

Si la única forma de conseguir eso es que todos sean nulos decimos que los vectores son linealmente independientes. Más concretamente, un conjunto de vectores es linealmente dependiente si uno de ellos puede ponerse como combinación lineal de los demás. Si ninguno puede ponerse como combinación de los demás el conjunto se dice que es linealmente independiente.

33. Producto escalar. Propiedades. El producto escalar de dos vectores no nulos, es el número que se obtiene al realizar el siguiente producto:

~u · ~v = |~u| · |~v| · cosα

donde α es el ángulo que forman los dos vectores. Si alguno de los vectores es el vector nulo el producto escalar es cero. Si tenemos las coordenadas de los vectores, es decir, si ~u = (x 1 , y 1 , z 1 ) y ~v = (x 2 , y 2 , z 2 ) el producto escalar queda: ~u · ~v = x 1 · x 2 + y 1 · y 2 + z 1 · z 2 El producto escalar tiene las siguientes propiedades:

a) El producto escalar de un vector por si mismo es un número real positivo: ~u ·~u = |~u|^2 > 0 Si ~u = ~ 0 el producto escalar será cero. b) Conmutativa: ~u · ~v = ~v · ~u c) Asociativa: k · (~u · ~v) = (k · ~u) · ~v = ~u · (k · ~v) d) Distributiva: ~u · (~v + w~) = ~u · ~v + ~u · w~

34. Producto vectorial. Propiedades: El producto vectorial de dos vectores linealmente inde- pendientes es un vector que se representa por ~u x ~v que tiene las siguientes características:

a) Módulo: Se obtiene con el siguiente producto:

|~u x ~v| = |~u| · |~v| · senα

donde α es el ángulo que forman los vectores ~u y ~v. b) Dirección: La ortogonal a los dos vectores ~u y ~v. c) Sentido: El de avance de un tornillo que rota de ~u a ~v.

Si los vectores son linealmente dependientes el producto vectorial es el ~ 0. Analíticamente, si tenemos que ~u = (x 1 , y 1 , z 1 ) y ~v = (x 2 , y 2 , z 2 ), el producto vectorial se calcula usando la siguiente fórmula:

~u x ~v =

~i ~j ~k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

El producto vectorial tiene las siguientes propiedades:

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a) Anticonmutativa: ~u x ~v = −~v x ~u b) Asociativa: k · (~u x ~v) = (k · ~u) x ~v = ~u x (k · ~v) c) Distributiva: ~u x (~v + w~) = ~u x ~v + ~u x w~ d) Interpretación geométrica: El módulo del producto vectorial de los vectores ~u y ~v es el área del paralelogramo denido por ~u y ~v.

A = |~u x ~v|

Análogamente, el área de un triángulo determinado por tres puntos A, B y C se calcula usando la fórmula: A =^12

− AB−→ x − AC→^ ∣∣ ∣

35. Producto mixto: El producto mixto de tres vectores es el número que se obtiene al realizar las siguientes operaciones: [~u, ~v, ~w] = ~u · (~v x w~) Analíticamente, si tenemos que ~u = (x 1 , y 1 , z 1 ), ~v = (x 2 , y 2 , z 2 ) y w~ = (x 3 , y 3 , z 3 ), el producto mixto se calcula usando la siguiente fórmula:

[~u, ~v, ~w] =

x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3

Interpretación geométrica: El volumen de un paralelepípedo determinado por tres vectores, ~u, ~v y w~, es el valor absoluto del producto mixto de esos tres vectores.

V = |[~u, ~v, ~w]|

Análogamente, el volumen de un tetraedro determinado por cuatros puntos A, B, C y D se calcula usando la fórmula: V =^16 ·

[−−→

AB, − AC,→ − AD−→

]∣∣

36. Ecuaciones de la recta: Una recta queda determinada por un punto y un vector director. cualquier otra forma puede reducirse a esta. Sea A(a 1 , a 2 , a 3 ) dicho punto y ~v(v 1 , v 2 , v 3 ) el vector. Las distintas ecuaciones de la recta son: a) Ecuación vectorial: ~x = ~a + t · ~v donde t ∈ R. En coordenadas tendríamos, (x, y, z) = (a 1 , a 2 , a 3 ) + t(v 1 , v 2 , v 3 ) b) Ecuaciones paramétricas: Igualando coordenada a coordenada obtendríamos la dicha ecuación:

r :

x = a 1 + t · v 1 y = a 2 + t · v 2 z = a 3 + t · v 3

; t ∈ R

c) Ecuación continua: El parámetro t tiene que valer lo mismo en todas las ecuaciones, luego despejando en cada una e igualando todo obtenemos esta ecuación. Si una coordenada del vector es cero se 'permite' poner cero en el denominador. x − a 1 v 1 =^

y − a 2 v 2 =^

z − a 3 v 3

d) Ecuaciones implícitas: De la anterior doble igualdad sacamos, igualando dos a dos, dos ecuaciones. Otra forma de expresar las ecuaciones implícitas es poner la recta como corte

xix

y por ~v(v 1 , v 2 , v 3 ) y el plano tiene ecuación general π ≡ Ax + By + Cz = D, es decir, el vector normal es ~n(A, B, C) se tiene que

• Si ~v · ~n = 0 =⇒ ~v ⊥ ~n se pueden dar dos casos:
  • Si A ∈ π =⇒ la recta está contenida en el plano.
  • Si A /∈ π =⇒ la recta es paralela al plano.
• Si ~v · ~n 6 = 0 =⇒ la recta corta al plano en un punto. c) Posición relativa de dos planos: Dados los planos π ≡ Ax + By + Cz + D = 0 y π′^ ≡ A′x + B′y + C′z + D′^ = 0 pueden darse tres casos.
• Si (^) AA′ = (^) BB′ = (^) CC′ = (^) DD′ =⇒ los planos son coincidentes.
• Si (^) AA′ = (^) BB′ = (^) CC′ 6 = (^) DD′ =⇒ los planos son paralelos.
• Si (^) AA′ = (^) BB′ o bien (^) AA′ = (^) CC′ =⇒ los planos se cortan en una recta. d) Posición relativa de tres planos: Consideremos los planos π ≡ Ax + By + Cz + D = 0, π′^ ≡ A′x + B′y + C′z + D′^ = 0 y π′′^ ≡ A′′x + B′′y + C′′z + D′′^ = 0. Para estudiar la posición relativa de estos tres planos vamos a considerar el sistema que forman dichos planos. Tendremos en cuenta también lo visto en el apartado anterior.

Ax + By + Cz + D = 0 A′x + B′y + C′z + D′^ = 0 A′′x + B′′y + C′′z + D′′^ = 0

Se nos pueden producir los siguientes casos:

• RgC = RgA = 1 =⇒ El sistema será compatible indeterminado y necesitaremos 2 parámetros, por lo que el conjunto de soluciones será un plano (uno cualquiera de ellos). Este caso es fácil distinguirlo, pues las ecuaciones de lo tres planos serán proporcionales.
• RgC = 1 6 = 2 = RgA =⇒ El sistema será incompatible y pueden producirse dos casos que distinguiremos mirando las ecuaciones de los planos y comparándolas dos a dos (aplicamos lo visto en el apartado anterior) ◦ Tres planos paralelos. ◦ Dos coincidentes y uno paralelo a ellos.
• RgC = 2 = RgA =⇒ El sistema es compatible indeterminado y necesitará un pará- metro. Por tanto los planos se cortan en una recta. Una vez más pueden producirse dos casos, que distinguiremos mirando las ecuaciones de los planos: ◦ Dos coincidentes y uno que los corta. ◦ Los tres planos son distintos y se cortan en una recta.
• RgC = 2 6 = 3 = RgA =⇒ El sistema será incompatible y distinguiremos de nuevo dos casos, que una vez más aclararemos mirando las ecuaciones de los planos. ◦ Los tres planos se cortan dos a dos formando una supercie prismática. ◦ Dos planos son paralelos y uno los corta.
• RgC = 3 = RgA =⇒ Sistema compatible determinado y por lo tanto los tres planos se cortan en un punto.

39. Distancias: En este apartado vamos a ver las fórmulas que nos permiten calcular las distan- cias entre los distintos elementos del espacio. Vamos a considerar los puntos A(a 1 , a 2 , a 3 ), B(b 1 , b 2 , b 3 ) y P (p 1 , p 2 , p 3 ). Así mismo serán ~u y ~v vectores directores de rectas. Tendremos

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a) Distancia entre dos puntos: La distancia entre dos puntos es el módulo del vector que une los dos puntos:

d(A, B) =

− AB−→^ ∣∣

− AB−→ · − AB−→ = √(b 1 −^ a 1 )^2 + (b 2 −^ a 2 )^2 + (b 3 −^ a 3 )^2

b) Distancia de un punto a una recta: Si el punto es P y la recta viene determinada por el punto A y el vector ~v, la fórmula que nos permite calcular la distancia es

d(P, r) =

∣−^ AP x ~→ v

|~v|

c) Distancia entre dos rectas: La distancia entre dos rectas es la menor distancia entre ellas. Por tanto, si las rectas se cortan o son coincidentes la distancia es cero. Si son paralelas será la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra. Si las rectas se cruzan la distancia la calcularemos con la siguiente fórmula:

d(r, s) =

[−−→

AB, ~u, ~v

]∣∣

|~u x ~v|

d) Distancia de un punto a un plano: Si tenemos el punto P (p 1 , p 2 , p 3 ) y el plano π ≡ Ax + By + Cz + D = 0 la distancia viene dada por:

d(P, π) = |Ap^1 √^ +^ Bp^2 +^ Cp^3 +^ D| A^2 + B^2 + C^2

e) Distancia de una recta a un plano: Si la recta está contenida en el plano o lo corta la distancia será cero. Si la recta es paralela al plano la distancia será la de cualquier punto de la recta al plano. f) Distancia entre dos planos: Si los planos se cortan o son coincidentes la distancia será cero. Si los planos son paralelos la distancia será la de cualquier punto de uno de los planos al otro.

40. Ángulos: Para el caso de las rectas y los planos vamos a utilizar los vectores directores de las rectas (~u, ~v) y los vectores normales de los planos (~n, ~n′). Comencemos por el cálculo del ángulo que forman dos vectores. a) Ángulo formado por dos vectores: Para calcular el ángulo que forman dos vectores usamos la expresión del producto escalar

~u · ~v = |~u| · |~v| · cos α =⇒ cos α = (^) |~u~u| · |^ ·^ ~v~v| =⇒ α = arc cos (^) |~u~u| · |^ ·^ ~v~v|

b) Ángulo formado por dos rectas: Si las rectas son paralelas o coincidentes el ángulo for- mado es cero. Si se cortan o se cruzan el ángulo se calcula con la siguiente fórmula:

cos α = (^) ||~u~u| · |^ ·^ ~v~v|| =⇒ α = arc cos (^) |~|u~u| · |^ ·^ ~v~v||

c) Ángulo formado por una recta y un plano: Si la recta está contenida en el plano o es paralela a él, el ángulo será cero. Si la recta corta al plano el ángulo formado se calcula usando la siguiente fórmula:

sen α = (^) ||~u~u| · |^ ·^ ~n~n|| =⇒ α = arc sen (^) ||~u~u| · |^ ·^ ~n~n||