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Área entre dos curvas El método que hemos usado para calcular áreas resulta motivado para calcular áreas bajo curvas definidas por funciones positivas, así que es inevitable preguntarse, ¿qué ocurre si la función es negativa? Supongamos que queremos calcular el área bajo la curva en el intervalo. Identificamos el área que queremos calcular Si aplicamos directamente el Teorema Fundamental del Cálculo, tenemos que Sin embargo, esto es intuitivamente imposible pues al menos gráficamente podemos identificar el área bajo la curva y no pareciera ser igual a cero. Considerando esto en cuenta, debemos abordar este problema de una forma diferente.
Para entender lo que está pasando debemos recordar que al definir las Sumas de Riemann, calculamos el área de rectángulos cuyas alturas venían dadas por las imágenes de la función, así que al calcular el área cuando la función es negativa, el resultado de la integral será negativo. Por ahora diremos que basta multiplicar por menos uno (-1) el resultado negativo de la integral para obtener el valor del área, aunque veremos luego veremos cómo solventar esta situación formalmente. INFORMA SOBRE ESTE ANUNCIO Entonces, para calcular el área bajo la curva en el intervalo debemos partir el intervalo en dos partes , uno en el que las imágenes de la función son negativas y otro en el que las imágenes de la función son positivas, a simple vista podemos ver que esto pasa cuando está en y cuando está en , respectivamente. Entonces podemos identificar dos áreas y Gracias a las propiedades de la Integral Definida podemos partir la integral que hemos planteado como Si aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo para cada una de estas integrales, tenemos que
Es posible determinar el área entre dos curvas basándose en la forma que calculamos la longitud de un intervalo, es decir, tomando el valor más grande y restándole el valor más pequeño. De esta forma, si consideramos dos funciones continuas en un intervalo , podemos calcular el área encerrada entre las curvas que definen tomando el área de la función que está por encima y le restamos el área la función que está por debajo Por lo tanto, calculamos el área entre las curvas que definen las funciones y de la siguiente forma: Vemos con algunos ejemplos como calcular encerradas entre curvas. INFORMA SOBRE ESTE ANUNCIO Ejemplos Ejemplo 1
Calcule el área encerrada entre las curvas y en el intervalo. Identificamos el área que queremos calcular Notamos que la función está por encima de la función. Entonces el área se calcula con la siguiente resta de integrales Método de los discos
El método de las capas cilíndricas De nuevo, estamos trabajando con un sólido de revolución. Como antes, definimos una región R, R, delimitada por encima del gráfico de una función y=f(x), y=f(x), abajo por el eje x−eje−eje, y a la izquierda y derecha por las líneas x=ex=a y x=box=b, respectivamente, como se muestra en (a). A continuación, hacemos girar esta región alrededor del eje y , como se muestra en la b). Tenga en cuenta que esto es diferente de lo que hicimos anteriormente, cuando las regiones definidas en términos de funciones de xx giraban en torno al eje xx o a una línea paralela a él. (a) Región delimitada por el gráfico de una función de s. b) El sólido de revolución que se forma al girar la región alrededor del y. Y.
Como ya hemos hecho muchas veces, dividimos el intervalo [a][a] utilizando una partición normal, P={x0,x1,…,en}P={x0,x1,…,en} y, para i=1,2,…,ni=1,2 ,…,n, elija un punto si∈[xi−1,xi].xi∈[xi−1,xi]. Entonces, construya un rectángulo sobre el intervalo [xi−1, xi] [xi−1, xi] de altura f (si) f (xi) y la anchura Δx.Δx. En la Figura 6.26(a) se muestra un rectángulo representativo. Cuando ese rectángulo se gira alrededor del eje y , en vez de un disco o una arandela, obtenemos una capa cilíndrica, como se muestra en la siguiente figura. (a) Un rectángulo representativo. (b) Cuando este rectángulo gira alrededor del yo, y, el resultado es una capa cilíndrica. (c) Cuando juntamos todas las capas, obtenemos una aproximación del sólido original. Para calcular el volumen de esta capa, considere la Figura:
tenemos Vcapa≈2πf (x∗i) x∗iΔx.Vcapa≈2 πf (xi) xiΔx. Otra forma de pensar en esto es pensar en hacer un corte vertical en la capa y luego abrirla para formar una placa plana.
(a) Haga un corte vertical en una capa representativa. (b) Abra la capa para formar una placa plana. En realidad, el radio exterior de la capa es mayor que el radio interior y, por tanto, el borde posterior de la placa sería ligeramente más largo que su borde anterior. Sin embargo, podemos aproximar la capa aplanada por una placa plana de altura f (x∗i), f (xi), anchura 2πx∗i, 2 πxi, y espesor ΔxΔx. El volumen de la capa, entonces, es aproximadamente el volumen de la placa plana. Multiplicando la altura, la anchura y la profundidad de la placa, obtenemos Vcapa≈f (x∗i) (2πx∗i) Δx, Vcapa≈f (xi) (2 πxi) Δx, Que es la misma fórmula que teníamos antes. Para calcular el volumen de todo el sólido, sumamos los volúmenes de todas las capas y obtenemos V≈∑i=1n (2πx∗if (x∗i) Δx).V≈∑i=1n (2 πxif (xi) Δx). Aquí se nos presenta otra suma de Riemann, esta vez para la función 2πxf(x).2 πxf(x). Tomando el límite como n→∞n→∞ nos da V=límn→∞∑i=1n(2πx∗if(x∗i)Δx)=∫ba(2πxf(x))dx.V=límn→∞∑i=1n(2 πxif(xi)Δx)=∫ ab(2 πxf(x))dx. Esto nos lleva a la siguiente regla para el método de las capas cilíndricas. REGLA: EL MÉTODO DE LAS CAPAS CILÍNDRICAS Supongamos que f(x) f(x) es continua y no negativa. Defina RR como la región delimitada arriba por el gráfico de f(x),f(x), abajo por el eje x,x , a la izquierda por la línea x=a,x=a, y a la derecha por la línea x=b.x=b. Entonces el volumen del sólido de revolución que se forma al girar RR en torno al eje y viene dado por V=∫ba(2πcf.(x))dx.V=∫ab(2 πxf(x))dx.
