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106 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
2.3 Ejercicios
1. Dado que lím x l 2 f x (^4) x lím l 2 t x 2 lím x l 2 h x 0
encuentre los límites que existen. Si el límite no existe, explique por qué. a) b )
c) d)
e) f)lím x l 2
t x h x f x
lím x l 2
t x h x
lím x l 2
3 f x t x
lím x l 2 s
f x
lím x l 2
lím t x^3 x l 2
f x 5 t x
2. Las gráficas de f y J están dadas. Utilícelas para evaluar cada límite si es que existe. Si el límite no existe, explique por qué.
1 x
y
y=ƒ 1
0 x
y
1
y=© 1
a) b )
c) d)
e) lím x l 2 x^3 f x f)lím x l 1 s 3 f x
x^ lím l 1
f x t x
lím x l 0 f x t x
lím x l 2 f x t x lím x l 1 f x t x
3-9 Evalúe el límite y justifique cada paso indicando las leyes de los límites apropiadas.
3.
9. lím x l 2
2 x^2 3 x 2
lím t l 2
t^2 t^3 3 t 5
2
lím x l 8 (1 s^3 x ) 2 6 x^2 x^3
t lím l 2
t^4 2 t^2 3 t 2
lím x l 35 x^3 3 x^2 x 6
u líml 2 s u^^4 3 u^^6
x líml 1 x^^4 3 x^ x^^2 5 x^^3
10. a) ¿Cuál es el error en la siguiente ecuación?
x^2 x 6 x 2
x 3
b) Considerando el inciso a), explique por qué la ecuación
lím x l 2
x^2 x 6 x 2
lím x l 2 x 3
es correcta.
Se requiere calculadora graficadora o computadora^ 1.^ Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES USANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES 107
11-32 Evalúe cada uno de los siguientes límites si éstos existen.
11. 12.
lím x l 4
x^2 4 x x^2 3 x 4
lím x l 5
x^2 6 x 5 x 5
lím h l 0
x h^2
x^2 h
lím h l 0
x h^3 x^3 h
lím x l 4
s x^2 9 x 4
lím t l 0
t (^) s 1 t
t
lím h l 0
3 h^1 3 h x^ lím l 16
4 s x 16 x x^2
lím t l 0
t
t^2 t
lím t l 0
s 1 t s 1 t t
x^ lím l 1
x^2 2 x 1 x^4 x lím l 4
x 4 x
lím u l 2
s 4 u 1 3 u 2
lím h l 0
s 9 h 3 h
lím t l 1
t^4 t^3 x lím l 2
x 2 x^3
lím h l 0
2 h^3 h
lím h l 0
5 h^2 h
x^ lím l 1
2 x^2 3 x 1 x^2 2 x 3 t lím l 3
t^2 2 t^2 7 t 3
lím x l 1
x^2 4 x x^2 3 x 4
lím x l 5
x^2 5 x 6 x 5
33.^ a) Estime el valor de
lím x l 0
x s 1 3 x 1
graficando la función f x x (s 1 3 x 1).
b) Haga una tabla de valores de f ( x ) para x cercana a 0 e intuya el valor del límite. c) Utilice las leyes de los límites para probar que su conjetura es correcta.
34.^ a) Utilice la gráfica de
f x
s 3 x s 3 x
para estimar el valor de lím x l 0 f x^ con dos decimales. b) Utilice una tabla de valores de f ( x ) para estimar el límite con cuatro decimales. c) Utilice las leyes de los límites para encontrar el valor exacto del límite.
35.^ Utilice el teorema de la compresión para demostrar
que lím x l 0 x^^2 cos 20^ x^^0. Ilustre las funciones f x x^2 , t x x^2 cos 20 x y h x x^2 graficando en la misma pantalla.
36.^ Utilice el teorema de la compresión para demostrar que
lím x l 0 s x^3 x^2 sen x
evidenciándolo con las gráficas de las funciones f , J y h (en la notación del teorema de la compresión), en la misma pantalla.
37. Si 4 x 9 v f ( x ) v x^2 4 x 7 para x w 0, encuentre lím x l 4
f x.
38. Si 2 x v J( x ) v x^4 x^2 2 para toda x , evalúe lím x l 1
t x.
39. Demuestre que lím x l 0 x^4 cos
x
40. Demuestre que (^) x lím l 0 s x e sen^ x^ 0.
41-46 Encuentre cada uno de los siguientes límites si éstos existen. Si el límite no existe, explique por qué.
41. 42.
45. lím 46. x l 0
x
x
lím x l 0
x
x
x^ líml0.
2 x 1 2 x^3 x^2 x lím l 2
2 x 2 x
lím x l 3
(2 x x 3 ) lím
x l 6
2 x 12 x 6
47. La función signo , denotada por sgn, está definida por
sgn x
si x 0 si x 0 si x 0
a) Trace la gráfica de esta función b) Encuentre cada uno de los siguientes límites o explique por qué no existen. i) ii)
iii) lím iv) x l 0
sgn x lím x l 0
sgn x
x^ lím l 0 sgn^ x^ x lím l 0 sgn^ x
48. Sea
f x
x^2 x 2 2
si x 1 si x 1
a) Encuentre lím (^) x l 1 f x ylím (^) x l 1 f x. b) ¿Existe lím (^) x l 1 f x? c) Trace la gráfica de f.
49. Sea t x
x^2 x 6 x 2
a) Encuentre i) (^) x lím l 2 t x ii) x lím l 2 t x
b) ¿Existe lím x l 2 t x? c) Trace la gráfica de J.
