Cálculo de derivadas de funciones
Derivación de funciones
1. Derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥^2 + 2𝑥
Utilizando la definición de derivada, tenemos:
𝑓´(𝑥) = lim ℎ→0 (𝑓(𝑥+ℎ) - 𝑓(𝑥)) / ℎ 𝑓´(𝑥) = lim ℎ→0 ((𝑥+ℎ)^2 + 2(𝑥+ℎ) - (𝑥^2 +
2𝑥)) / ℎ 𝑓´(𝑥) = lim ℎ→0 (𝑥^2 + 2𝑥ℎ + ℎ^2 + 2𝑥 + 2ℎ - 𝑥^2 - 2𝑥) / ℎ 𝑓´(𝑥) =
lim ℎ→0 (2𝑥ℎ + ℎ^2 + 2ℎ) / ℎ 𝑓´(𝑥) = lim ℎ→0 (ℎ(2𝑥 + ℎ + 2)) / ℎ 𝑓´(𝑥) = 2𝑥 +
0 + 2 𝑓´(𝑥) = 2𝑥 + 2
2. Ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑥^3 - 2𝑥 en
el punto de abscisa 𝑥 = 2
Primero, calculamos la derivada de la función:
𝑓´(𝑥) = lim ℎ→0 (𝑓(𝑥+ℎ) - 𝑓(𝑥)) / ℎ 𝑓´(𝑥) = lim ℎ→0 ((𝑥+ℎ)^3 - 2(𝑥+ℎ) - (𝑥^3 -
2𝑥)) / ℎ 𝑓´(𝑥) = lim ℎ→0 (𝑥^3 + 3𝑥^2ℎ + 3𝑥ℎ^2 + ℎ^3 - 2𝑥 - 2ℎ - 𝑥^3 + 2𝑥) /
ℎ 𝑓´(𝑥) = lim ℎ→0 (3𝑥^2ℎ + 3𝑥ℎ^2 + ℎ^3 - 2ℎ) / ℎ 𝑓´(𝑥) = lim ℎ→0 (ℎ(3𝑥^2 +
3𝑥ℎ + ℎ^2 - 2)) / ℎ 𝑓´(𝑥) = 3𝑥^2 + 3𝑥(0) + 0^2 - 2 𝑓´(𝑥) = 3𝑥^2 - 2
Ahora, calculamos el valor de la función en el punto 𝑥 = 2:
𝑓(2) = 2^3 - 2(2) = 8 - 4 = 4
La ecuación de la recta tangente en el punto (2, 4) es:
𝑦 - 4 = 𝑓´(2)(𝑥 - 2) 𝑦 - 4 = (3(2)^2 - 2)(𝑥 - 2) 𝑦 - 4 = 10(𝑥 - 2) 𝑦 = 10𝑥 - 16
3. Derivadas de otras funciones
𝑓(𝑥) = 6𝑥^3 + 5𝑥^2 + 1 𝑓´(𝑥) = 18𝑥^2 + 10𝑥
𝑓(𝑥) = (3𝑥^2 - 7𝑥 + 2)^2 𝑓´(𝑥) = 2(3𝑥^2 - 7𝑥 + 2)(6𝑥 - 7) 𝑓´(𝑥) = (3𝑥^2 -
7𝑥 + 2)(12𝑥 - 14)
𝑓(𝑥) = (𝑥^2 - 2) / (𝑥^3 + 3𝑥^2) 𝑓´(𝑥) = ((𝑥^3 + 3𝑥^2) ⋅ 2𝑥 - (𝑥^2 - 2) ⋅
(3𝑥^2 + 6𝑥)) / (𝑥^3 + 3𝑥^2)^2 𝑓´(𝑥) = (-𝑥^4 + 6𝑥^2 + 12𝑥) / (𝑥^3 +
3𝑥^2)^2
𝑓(𝑥) = √5𝑥^3 - √2𝑥 𝑓´(𝑥) = (1/2)(5𝑥^3 - √2𝑥)^(-1/2) ⋅ (15𝑥^2 -
√2/2𝑥^(-1/2))
𝑓(𝑥) = (𝑥^3 - 𝑥)^(1/5) 𝑓´(𝑥) = (1/5)(𝑥^3 - 𝑥)^(-4/5) ⋅ (3𝑥^2 - 1)
𝑓(𝑥) = 3cos^3(3𝑥) 𝑓´(𝑥) = 27(cos(3𝑥))^2 ⋅ sin(3𝑥)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
