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Cap´ıtulo 3
Integraci´on Num´erica
3.1. Introducci´on
Las integrales que se tratar´an de resolver num´ericamente son de la forma
I =
∫ (^) b
a
f (x)dx
donde [a, b] es un intervalo finito. Se sabe que la integral definida (de Riemann) de una funci´on sobre un intervalo finito [a, b] es un n´umero. Si se considera f (x) ≥ 0 sobre [a, b], el numero I representa el ´area que est´a bajo la gr´afica de f y sobre el eje x, limitada por los valores a y b, como se muestra en la gr´afica siguiente.
Figura 3.1: Integral definida
Se sabe tambi´en desde el c´alculo integral que si se conoce una primitiva F (x) de f (x) esto es F ′ (x) = f (x), entonces el valor de la integral es f´acilmente calculable por la Regla de Barrow:
I =
∫ (^) b
a
f (x)dx = F (b) − F (a)
Cuando este c´alculo expl´ıcito no puede llevarse a cabo o resulta muy complicado de realizar la evaluaci´on de la antiderivada lo aconsejable es recurrir al c´alculo de la integral usando alg´un m´etodo num´ericamente conocido. Estos m´etodos num´ericos generalmente dan una aproximaci´on
del valor exacto de la integral. Y la mayor o menor exactitud de los resultados depender´a del tipo de funci´on en relaci´on al m´etodo usado. Generalmente los m´etodos num´ericos resuelven una integral de una funci´on fn(x) que es una aproximaci´on de la funci´on f (x) esto es
I =
∫ (^) b
a
f (x)dx ≈
∫ (^) b
a
fn(x)dx = In
El objetivo es aproximar la integral definida de una funci´on f (x) en un intervalo [a, b] evaluando f (x) en un n´umero finito de puntos.
3.2. Integraci´on Num´erica
Definici´on 3.2.1 Si f una funci´on continua en [a, b] y una partici´on a = x 0 < x 1 < · · · < xn = b, del intervalo [a, b], entonces
∫ (^) b
a
f (x)dx = w 0 f (x 0 ) + w 1 f (x 1 ) + · · · + wnf (xn) + E(f )
se llama F´ormula de Integraci´on Num´erica o de Cuadratura, el t´ermino E(f ) se llama Error de Truncamiento de la f´ormula. Los valores xi con i = 0, 1 , ..., n se llaman Nodos de Integraci´on o de Cuadratura y los valores wi con i = 0, 1 , ..., n se llaman Pesos de la f´ormula.
Los nodos se eligen de diferentes maneras. Pueden elegirse subintervalos de igual longitud o subintervalos de distinta longitud. En esta asignatura s´olo se ver´an reglas de integraci´on para subintervalos de igual longitud.
Regla del Trapecio
Sea f una funci´on continua en el intervalo [a, b]. Para calcular la integral num´erica de f por la Regla del Trapecio, se emplea como aproximaci´on de f un polinomio de Lagrange de grado uno, f 1.
I =
∫ (^) b
a
f (x)dx ≈
∫ (^) b
a
f 1 (x)dx
La longitud del intervalo [a, b] es h = b − a.
Considerando x 0 = a, x 1 = b y los puntos (x 0 , f (x 0 )), (x 1 , f (x 1 )) se tiene el polinomio de interpolaci´on de Lagrange de grado 1
f 1 (x) = f (x 0 ) · l 0 (x) + f (x 1 ) · l 1 (x) donde li =
∏^1
j= j 6 =i
x − xj xi − xj
I ≈ f (a) (b − a) 2
I ≈
(b − a)[f (a) + f (b)]
Entonces se tiene
I ≈ (b − a) f (a) + f (b) 2 F´ormula de la Regla del Trapecio
Error de Integraci´on
Si f es una funci´on derivable de orden 2 en el intervalo [a, b], entonces:
I = I 1 + E[f ]
I =
∫ (^) b
a
f 1 (x)dx +
∫ (^) b
a
E[f ]dx = (b − a) 2 [f (a) + f (b)] +
∫ (^) b
a
f ′′ (ξ) 2 (x − a)(x − b)dx
Entonces el error cometido al realizar la interpolaci´on lineal viene dado por
E[f ] = f ′′ (ξ) 2
∫ (^) b
a
(x − a)(x − b)dx
E[f ] = f ′′ (ξ) 2
[
(x − a)(x − b)^2 2
b
a
∫ (^) b
a
(x − b)^2 2 dx
]
E[f ] = f ′′ (ξ) 2
[
(x − a)(x − b)^2 2
b
a
(x − b)^3 3
b
a
]
E[f ] = f ′′ (ξ) 2
[
(x − a)(x − b)^2 2
b
a
(a − b)^3
]
E[f ] = − f ′′ (ξ) 12 (b − a)^3 para ξ ∈ [a, b]
Entonces el error de integraci´on est´a dado por:
E 1 (ξ) = −
f ′′ (ξ)(b − a)^3 Error de Integraci´on de la Regla del Trapecio
Regla del trapecio usando intervalos m´ultiples
Una forma de mejorar la exactitud de la Regla del Trapecio es dividir el intervalo de integraci´on [a, b] en un conjunto de segmentos y aplicar entonces la regla del trapecio en cada uno de ellos.
Sea f una funci´on continua en [a, b]. Si se considera que sobre [a, b] hay n + 1 puntos
igualmente espaciados, {x 0 , x 1 ,... , xn}, entonces hay n segmentos de longitud h = b − a n Si xi = xi− 1 + h con i = 1... n − 1, a = x 0 y b = xn, entonces se puede afirmar que:
I =
∫ (^) b
a
f (x)dx =
∫ (^) x 1
x 0
f (x)dx +
∫ (^) x 2
x 1
f (x)dx + · · · +
∫ (^) xn
xn− 1
f (x)dx
A continuaci´on se ve gr´aficamente una situaci´on de 4 subintervalos y de 8 subintervalos
Figura 3.3: Regla del Trapecio con 4 subintervalos
Figura 3.4: Regla del Trapecio con 8 subintervalos
Aplicando la Regla del Trapecio a cada uno de los segmento , se tiene
I ≈ h f (x 0 ) + f (x 1 ) 2
- h f (x 1 ) + f (x 2 ) 2
- · · · + h f (xn− 1 ) + f (xn) 2
≈ h 2 [f (x 0 ) + 2f (x 1 ) + 2f (x 2 ) + · · · + 2f (xn− 1 ) + f (xn)]
h 2 [f (x 0 ) + 2 (f (x 1 ) + f (x 2 ) + · · · + f (xn− 1 )) + f (xn)]
h 2
[f (x 0 ) + 2
∑^ n−^1
i=
f (xi) + f (xn)]
(b − a) 2 n
[
f (x 0 ) + 2
∑^ n−^1
i=
f (xi) + f (xn)
]
Entonces
du = dx v = 12 e^2 x
I = x · e^2 x|^30 −
0
· e^2 xdx
I =
· e^6 −
· e^2 x|^30 = 504. 5359919
- f (x) = x · e^2 x, h = b − a = 3 − 0 = 3
I =
0
x · e^2 xdx ≈ b − a 2 [f (a) − f (b)] =
[0 · e^0 + 3 · e^6 ]
I = 1815. 429571
- f (x) = x · e^2 x, x 0 = 0, x 6 = 3, h =
xi x 0 = 0 x 1 = 0. 5 x 2 = 1 x 3 = 1. 5 x 4 = 2 x 5 = 2. 5 x 6 = 3 f (xi) 0 1.3591 7.3891 30.1283 109.1963 371.0329 1210.
I ≈
[f (x 0 ) + 2(f (x 1 ) + f (x 2 ) + f (x 3 ) + f (x 4 ) + f (x 5 )) + f (x 6 )]
I ≈
[0 + 2(1.3591 + 7.3891 + 30.1283 + 109.1963 + 371.0329) + 1210.2863]
I ≈
- Se observa que los resultados mejoran, acerc´andose a la soluci´on exacta, cuando se emplean intervalos m´ultiples.
3.2.1. Regla de Simpson
Regla de Simpson 1/
Otra forma de obtener una estimaci´on de la integral, m´as cercana a la integral exacta, consiste en aproximar f (x) usando polinomios de interpolaci´on de orden superior a uno. La Regla de Simpson 1/3 es un m´etodo de segundo orden, es decir, es un m´etodo basado en integrar un polinomio de interpolaci´on de segundo grado.
Sea la funci´on f continua en el intervalo [a, b], para obtener un polinomio de grado 2 se necesita considerar tres puntos. Por ejemplo se considera c, el punto medio entre a y b o sea
c = a + b 2
, es decir a = x 0 , x 1 = x 0 + h b = x 2 con h = b − a 2
Con los puntos (x 0 , f (x 0 )), (x 1 , f (x 1 )) y (x 2 , f (x 2 )) se construye un polinomio de Lagrange de grado 2.
Figura 3.5: Regla de Simpson 1/
f 2 (x) = f (x 0 ) · l 0 (x) + f (x 1 ) · l 1 (x) + f (x 2 ) · l 2 (x)
donde
li =
∏^2
j= j 6 =i
x − xj xi − xj
f 2 (x) =
(x − x 1 )(x − x 2 ) (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 ) f (x 0 ) +
(x − x 0 )(x − x 2 ) (x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 ) f (x 1 ) +
(x − x 0 )(x − x 1 ) (x 2 − x 0 )(x 2 − x 1 ) f (x 2 )
Entonces si I =
∫ (^) x 2
x 0
f (x)dx reemplazando se tiene que
I ≈
∫ (^) x 2
x 0
[
(x − x 1 )(x − x 2 ) (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 ) f (x 0 ) + (x − x 0 )(x − x 2 ) (x 1 − x 0 )(x 1 − x 2 ) f (x 1 ) + (x − x 0 )(x − x 1 ) (x 2 − x 0 )(x 2 − x 0 ) f (x 2 )
]
dx
Usando la aditividad de la integral e integrando por partes se tiene:
i) I 1 =
∫ (^) x 2
x 0
(x − x 1 )(x − x 2 ) (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 ) f (x 0 )dx = f (x 0 ) (x 0 − x 1 )(x 0 − x 2 )
∫ (^) x 2
x 0
(x − x 1 )(x − x 2 )dx
x 1 = x 0 + h entonces x 0 − x 1 = −h
x 2 − x 0 = 2h entonces x 0 − x 2 = − 2 h
Adem´as h = (b − a) 2
(x 2 − x 0 ) 2
Tomando x − x 1 = u; x − x 2 = dv
∫ (^) x 2
x 0
(x − x 0 )(x − x 1 )dx = (x − x 1 ) (x − x 0 )^2 2
x 2
x 0
∫ (^) x 2
x 0
(x − x 0 )^2 dx
= (x 2 − x 1 ) (x 2 − x 0 )^2 2
(x 2 − x 0 )^3
= h (2h)^2 2
(2h)^3 6 = 2 h^3 −
h^3 = h^3 3
Luego reemplazando
I 3 = f (x 2 ) 2 h.h
2 h^3 3
h 3 f (x 2 )
Entonces se obtiene que
I ≈ I 1 + I 2 + I 3
h 3 [f (x 0 ) + 4f (x 1 ) + f (x 2 )]
≈ (b − a) 6
[
f (a) + 4f
a + b 2
]
Finalmente
I ≈
h
[
f (a) + 4f
a + b 2
]
F´ormula de la Regla de Simpson 1/
Se puede probar que el error de integraci´on para la Regla de Simpson 1/3 est´a dada por:
E 2 = −
h^5 f (4)(ξ) con a < ξ < b Error de Integraci´on Regla de Simpson 1/
Regla de Simpson 1/3 para segmentos m´ultiples
A igual que se hizo con la Regla del Trapecio se puede dividir el intervalo [a, b] en n subin-
tervalos igualmente espaciados, de longitud h = b − a n y aplicar en cada uno de ellos la regla de
Simpson 1/3.
Se tiene as´ı una partici´on x 0 , x 1 ,... , xn del intervalo [a, b], con n un n´umero par.
Se aplica el M´etodo de Simpson 1/3 a los n 2 parejas de subintervalos se tiene en cuenta que x 1 , x 2 ,... , xn− 1 son los puntos medios de cada subintervalo y x 0 , x 2 ,... , xn los puntos iniciales y finales de cada uno de ellos.
Gr´aficamente
Figura 3.6: Regla de Simpson 1/ con 2 intervalos
Figura 3.7: Regla de Simpson 1/ con 4 intervalos
Para la integral total se tiene:
I =
∫ (^) b=xn
a=x 0
f (x) dx
I ≈
∫ (^) x 2
x 0
f (x) dx +
∫ (^) x 4
x 2
f (x) dx + · · · +
∫ (^) xn
xn− 2
f (x) dx
Aplicando la Regla de Simpson 1/3 en cada una de las integrales individuales y se obtiene:
I ≈ 2 h f (x 0 ) + 4f (x 1 ) + f (x 2 ) 6 +2h f (x 2 ) + 4f (x 3 ) + f (x 4 ) 6 +· · ·+2h f (xn− 2 ) + 4f (xn− 1 ) + f (xn) 6 ≈ (b − a) 3 n
[
f (x 0 ) + 4
∑^ n
i=1, 3 , 5 ...
f (xi) + 2
n∑− 2
j=2, 4 , 6
f (xj ) + f (xn)
]
As´ı
I ≈
h 3
[
f (x 0 ) + 4
∑^ n
i=1, 3 , 5 ...
f (xi) + 2
n∑− 2
j=2, 4 , 6
f (xj ) + f (xn)
]
F´ormula de la Regla de Simpson 1/3 m´ultiple
Con un error de integraci´on:
E 2 = −
h^4 f (4)(ξ), con a < ξ < b Error para la Regla Simpson 1/3 m´ultiple
∫ (^) b
a
f 3 (x)dx = (b − a) 8 [f (x 0 ) + 3f (x 1 ) + 3f (x 2 ) + f (x 3 )]
Luego
I ≈
h[f (x 0 ) + 3f (x 1 ) + 3f (x 2 ) + f (x 3 )]] F´ormula de la Regla de Simpson 3/
El error de integraci´on tambi´en se puede calcular, y est´a dado por:
E 3 = −
h^5 f (4)(ξ), con a < ξ < b Error de Integraci´on Regla de Simpson 3/
De la misma forma que con la Regla del Trapecio y la Regla de Simpson 1/3 , se puede obtener la Regla de Simpson 3/8 para intervalos m´ultiples, pero ´esta no la se tratar´a en este curso.
Ejemplo 3.2.
0
x · e^2 xdx
- Aproximar la integral por la Regla de Simpson 1/
- Aproximar la integral por la Regla de Simpson 1/3 para intervalos m´ultiples con n = 4
- Aproximar la integral por la Regla de Simpson 3/
- Observar los resultados obtenidos en los items anteriores
Soluci´on
- h =
, x 0 = 0, x 1 = 32 , x 2 = 3
I =
0
x · e^2 xdx ≈ h 3
[f (x 0 ) + 4f (x 1 ) + f (x 2 )] =
I ≈
[0 + 4 · 30 .12830538 + 1210.28638] = 665. 399801
- x 0 = 0, x 4 = 3, h =
xi x 0 = 0 x 1 = 0. 75 x 2 = 1. 5 x 3 = 2. 25 x 4 = 3 f (xi) 0 3.361266803 30.12830538 202.5385454 1210.
I ≈
[f (x 0 ) + 4(f (x 1 ) + f (x 3 )) + 2(f (x 2 )) + f (x 6 )]
I ≈
[0 + 2(3.361266803 + 202.5385454) + 2(30.1283) + 1210.2863]
I ≈
- x 0 = 0, x 3 = 3, h =
xi x 0 = 0 x 1 = 1 x 2 = 2 x 3 = 3 f (xi) 0 7.389056099 109.1963001 1210.
I ≈
[f (x 0 ) + 3(f (x 1 ) + f (x 2 )) + f (x 3 )]
I ≈
[0 + 3(7.389056099 + 109.1963001) + 1210.2863]
I ≈
- Se observa que los resultados mejoran cuando se emplean intervalos m´ultiples
Observaci´on 3.2.1 La Regla de Simpson 1/3 es a menudo de preferencia, ya que alcanza mayor exactitud de tercer orden con tres puntos contra cuatro puntos requeridos para la versi´on Simpson 3/8, sin embargo al integrar con puntos equiespaciados no se puede aplicar la Regla de Simpson 1/3 si el n´umero de intervalos es impar, en este caso se usa Regla de Simpson 3/8.
En el caso de tener un n´umero impar de intervalos, se puede aplicar la Regla de Simpson 3/ a los tres primeros intervalos o a los tres ´ultimos y luego aplicar la Regla de Simpson 1/3 m´ultiple al resto de los intervalos. Puesto que el orden del error de la Regla de Simpson 3/8 es el mismo que la Regla de Simpson 1/3, las dos reglas se combinan naturalmente sin p´erdida del orden de exactitud.
Si se combina la Regla de Simpson con la Regla del Trapecio, el orden de exactitud del m´etodo combinado est´a determinado por el orden de la Regla del Trapecio.
3.2.3. Extrapolaci´on de Richardson
Si para la integral exacta I(f ) =
∫ (^) b a f^ (x)dx^ se obtienen dos aproximaciones num´ericas^ In^1 (f^ ) e In 2 (f ), que han sido calculadas aplicando la misma regla para n 1 y n 2 intervalos m´ultiples, es decir ambas mediante Regla del Trapecio o bien ambas por cualquiera de las Reglas de Simpson, entonces se puede lograr un mejoramiento de los resultados num´ericos.
Considerando h 1 = (b − a) n 1 y h 2 = (b − a) n 2 , si se modifica la notaci´on precedente se
puede escribir:
Es decir, se ha obtenido una expresi´on del error en base a las integrales calculadas y en base a los pasos de integraci´on h 1 y h 2. Con esta expresi´on del error se obtiene un nuevo valor de la integral num´erica
I =≈ I(h 1 ) + [I(h^1 )^ −^ I(h^2 ) ( h 2 h 1
] (^) F´ormula de Extrapolaci´on de Richardson
El valor I es una aproximaci´on de la integral exacta I(f ) que mejora los resultados obtenidos en I(h 1 ) y en I(h 2 ).
