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1.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a)
x^2 t
F(x) x e (sent cos t)dt b)
x^3 G(x) 0 senx cos tdt.
- a) Estudiar la convergencia y, cuando sea posible, calcular las siguientes
integrales:
1 3 1 2 2 2
dx dx x (^3) x b) Estudiar la convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral y el
área encerrada entre la función 2
f(x) x 4 x
y el eje de abscisas (OX) en
el intervalo [-2,2].
3.- Hallar el área de la región contenida entre las curvas:
(^1 2) 2 3 y 1 , y^1 x 1 x x
a) En el intervalo [2,3] b) Para x 3
4.- Calcular 1 ,^1 y^1 2 2 2
^ ^ ^
5.- Analizar el carácter de las siguientes integrales impropias
1 p^ 1 3 0
a) senx^ dx con p > 0 b) senx cos x^ dx c) 1 dx x x 1 x x
6.- Dada la función f(x) 2x 1 x 2 se pide:
a) Área encerrada por la función y el eje de abscisas b) Volumen engendrado al girar la curva alrededor del eje de abscisas
7.- Hallar la longitud de las siguientes curvas, dadas en coordenadas polares.
a) r 2 3sen 2 b) r 2sen 3
8.- Calcular el área encerrada dentro de la curva
^
x(t) 3 2 cos t y(t) 2 5sent
- Dos alumnos de la Escuela sostienen una cinta por sus extremos, a la misma
altura. La cinta describe una curva que se denomina catenaria, y cuya ecuación
es: ^
y c cosh x c
Calcular la longitud de la cinta hasta un cierto valor de la abscisa x.
10.- Un depósito esférico de 50 m de radio está al 21,6 % de su capacidad ¿Cuál es la profundidad del agua?
11.- Hallar el volumen del sólido cuya base es la región limitada por el eje x y el arco de curva y=senx entre x = 0 y x = y cuyas secciones planas perpendiculares al eje x son cuadrados con base en la región.
12.- Calcular la longitud y el área encerrada por la curva: ^ (^)
x(t) = cos(t)[2^ cos(2t)] 4 y(t) = sen(t)[2^ cos(2t)] 4
13.- Dada la hipérbola x 2 y^2 1. Hallar:
a) El área encerrada por la hipérbola y la recta que pasa por su foco de abscisa positiva. b) El área encerrada por la hipérbola y su asíntota siendo x 1. c) La superficie de revolución del casquete hiperbólico formado al girar la
hipérbola respecto del eje X siendo x ^ 1, 2 .
x
c
O
19.- Dada la función f(x) = ^
3 2 3 2
x 3x 2 x x 2
, cuya gráfica es la de la figura, se
pide:
a) Calcular el área encerrada por f(x), x = -2 y el eje Y. b) Calcular el área encerrada por f(x) y el eje X en el intervalo [-1,0]. c) ¿Cómo podrías calcular el área encerrada por f(x) y la recta y =1 en [2,)?
20.- Analizar, aplicando algún criterio de convergencia el carácter de las integrales siguientes:
a)
(^03)
1 dx
x x
, b)
1 0
1 dx
1 x x
21.- Para la función
^
x^23 f(x) 1 5
, determinar:
a) El área encerrada por la función y el eje de abscisas.
b) El volumen generado al girar el recinto limitado por la curva y = f(x) y el eje
de abscisas alrededor de dicho eje.
22.- Calcular la longitud de una elipse de semiejes 3 y 4.
23.- a) Hallar el área limitada por la curva
2 2 2 y x 1 x
y sus asíntotas.
b) Hallar el volumen generado por la curva cuando gira alrededor del eje x, entre 0 y 1/2.
24.- Una vaca está atada a uno de los vértices de un prado de forma cuadrada de lado 10 m. Sabiendo que la longitud de la cuerda es 12 m, calcular la superficie de hierba que puede comer la vaca.
25.- Un faro tiene forma de espejo parabólico como el de la figura. Sabiendo que el material reflectante del faro tiene un precio de 10 euros/m^2 , hallar el precio de dicho material para a=0,15m.
26.- Calcular la superficie y el volumen encerrado por las siguientes figuras
geométricas:
a) Esfera b) Cilindro recto de radio R y altura H c) Cono recto de radio R y altura H d) Tronco de cono recto de radios R 1 y R 2 y altura H
27.- a) Calcular el volumen del sólido de revolución engendrado al girar la región
limitada por las funciones
y x 2 2 y x 4
alrededor del eje de abscisas.
b) Sean
r 2 r 8sen(2 )
las ecuaciones en coordenadas polares de dos curvas
planas. Calcular el área común a ambas en el primer cuadrante
28.- Hallar el área común a los círculos r=2 cos(a), r=1, r=2 sen(a)
34.- Hallar el perímetro de la curva
3 3
x a cos t y a sen t
35.- a) Hallar el perímetro del recinto limitado por la curva
^
e^ 2x e2x y 4
y la
recta y=1. b) Hallar la longitud de las siguientes curvas:
^
x 2sent sen(2t) y 2 cos t cos(2t) espiral
car
r = e para
d ioide
0
36.- Estudiar la naturaleza de la siguiente integral en función de los valores de p
b a p
dx x a
y calcularla cuando sea convergente.
37.- a) Hallar la longitud del arco de curva dada en polares r=4+2sec( α ) en el intervalo [2/3, 4/3]. b) Hallar el área marcada en la figura que encierran las parábolas : y 2 =2(x+1/2); y^2 =4(x+1); y 2 =6(3/2-x); y 2 =4(1-x).
38.- a) Estudiar si la integral
2 0
cos (^) d 1 sen
es impropia y, en su caso, decir
de qué tipo es. A continuación, calcularla aplicando la definición. b) Hallar el área generada en la rotación de la mitad superior de la cardioide r a(1 cos ) , a R , alrededor de su eje polar.
39.- En cada instante t, la posición de un móvil viene determinada por las
coordenadas: ^ ^ ^ ^
x a cos^3 t , y a sen 3 t 2 2 Se pide: a) Longitud del camino recorrido por el móvil entre los instantes t = 0 y t = 1. b) Área de la superficie obtenida por la revolución de la curva descrita por el móvil desde el inicio (t = 0) hasta volver a la posición inicial, al girar alrededor del eje OX. c) Volumen del sólido obtenido en el apartado anterior.
40.- Calcular el área delimitada por la curva r=cos θ.
41.- Calcular el volumen del elipsoide.
42.- Hallar el volumen engendrado por la rotación de la circunferencia x^2 +(y-4)^2 =1 al girar alrededor del eje OX.
43.- La curva r=a sen(2 α ) gira alrededor del eje polar. Calcular el volumen obtenido.
44.- Hallar la longitud total de la curva dada por las ecuaciones paramétricas :
2 3
x cos t y sen t
45.-Calcular la longitud del primer paso de la espiral de Arquímedes r = a θ con a>0.
46.- Dada la curva r = 3cos(3) a) Estudiar el dominio de r. b) Hallar el área limitada por los tres lazos de la curva del enunciado.
47.- a) Hallar la longitud del arco de la curva: x = cos t + t sen t y = sen t – t cost desde el punto (1, 0) hasta el punto (-1, ). b) Realizar una gráfica aproximada de la longitud que se pide.
53.- Para la función (^2) f(x) 1 x 1
se pide: a) Representar la función
b) Calcular el área encerrada entre la función y el eje de abscisas c) Calcular el volumen generado al girar el recinto limitado por f(x) y el eje de abscisas alrededor de dicho eje.
54.- Para la curva dada en forma paramétrica
(^) (^) ^
x(t) ln t
y(t) 1 t^1 2 t
se pide, para el
intervalo 1 ≤ t ≤ 10: a) Representar la gráfica b) Longitud del arco c) Superficie encerrada entre la curva y el eje de abscisas d) Volumen de revolución engendrado al girar el área comprendida entre la curva e) Superficie engendrada al girar alrededor del eje OX el área comprendida entre la curva y el eje de abscisas
55.- Hallar la superficie de revolución generado por la lemniscata de ecuación
(t) y(t) 4sen(t)co
x( s(
t) 4 c t)
os
al girar alrededor del eje de abscisas.
56.- Dada la función f(x) (^1) p x
siendo p un número real tal que p > 1 se pide
a. Calcular paso a paso la integral
a f(x)dx^ siendo a>1 un número real
b. Indicar de qué tipo de integral impropia se trata.
57.- Dadas las siguientes curvas por sus ecuaciones polares : r 1 ( α ) = 2 sen(2 α ); r 2 ( α )=1, se pide: a. Calcular el dominio de las funciones r 1 y r 2 (r 1 ≥ 0 ; r 2 ≥ 0) b. Estudiar las simetrías de r 1 y r 2 c. Obtener las intersecciones de r 1 y r 2 d. Hacer un gráfico esquemático de ambas curvas e. Calcular el valor del área encerrada entre r 1 y r 2
58.- Dada la función f(x) (^1) p x
siendo p un número real tal que p<1 se pide
a. Calcular paso a paso la integral
a 0 f(x)dx^ siendo a>1 un número real.
b. Indicar de qué tipo de integral impropia se trata.
59.- Dadas las siguientes curvas por sus ecuaciones polares : r 1 ( α ) = 2 cos(2 α ); r 2 ( α )=1, se pide: a. Calcular el dominio de las funciones r 1 y r 2 (r 1 >0; r 2 >0) b. Estudiar las simetrías de r 1 y r 2 c. Obtener las intersecciones de r 1 y r 2 d. Hacer un gráfico esquemático de ambas curvas e. Calcular el valor del área encerrada entre r 1 y r 2
60.- Para la curva dada en forma paramétrica
(^) (^)
x(t) ln t
y(t) 1 t^1 2 t
se pide, para el
intervalo 0 ≤ x ≤ 1: a) Longitud de la curva en el intervalo x [0,1] el eje de abscisas. b) Área encerrada entre la curva y el eje de abscisas en dicho intervalo.
61.- Dada la función f(x)=x^2 obtener los siguientes volúmenes de revolución a) Volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje OX, entre x=0 y x=2, alrededor del eje OX. b) Volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje OX, entre x=0 y x=2, alrededor del eje OY.
62.- Determinar las áreas siguientes: a) Encerrada por la función f(x) y el eje OX siendo
4
2
x (^6) si 6 x 6 f(x) x^6 (^3) en otro caso x x 20
b) Encerrada por la curva r( ) a sen(2 ) con a 0
c) De la superficie engendrada al girar alrededor del eje OX, el lazo de la curva 9 y^2 = x (3 - x)^2
63.- Calcular: a) La longitud del arco de la parábola y = x^2 – 2x + 5 comprendido entre los
puntos (1, 4) y 3 ,^17 2 4
b) El área interior a la circunferencia de centro el origen y radio1 (ecuación en coordenadas polares r = 1) y exterior a la curva r cos^2 .
69.- a) Demostrar que si y = arg sh x, entonces y '^21 x 1
b) Calcular la derivada de la siguiente función:
3 2
x e F(x) ln tdt t
c) Estudiar la convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral de
f(x) tgx en el intervalo 0, 2
d) Calcular (4)
70.- a) Demostrar la siguiente relación: arg sh x = ln x x 2 1
b) Calcular la derivada de la siguiente función:
x^3 x F(x) sentdt t
c) La curva y^2 = e -2x^ gira alrededor de su asíntota. Hallar el volumen del cuerpo limitado por la superficie engendrada entre la curva, el eje de abscisas (OX) cuando x>0.
d) Calcular 7 2
^ ^
^ , sabiendo que^
^
71.- a) Demostrar la siguiente relación: ch x^2 sh x^2 ch (^) 2x
b) Calcular la derivada de la siguiente función:
3 2
x x F(x) sentdt t
c) La integral
2 0 2
x (^) dx
4 x
, ¿es impropia? Calcularla.
d) Calcular (4,5)
72.-Dada la función x^2 f(x) e. Se pide: a) Calcular el área encerrada por la función f(x) y su asíntota. b) Calcular el volumen generado por la función f(x)^ al girar alrededor de su asíntota. c) Hallar la longitud de la función f(x) en el intervalo [0,1]. d) La función f(x) gira alrededor de su asíntota. Calcular la superficie obtenida en el intervalo [-1,1].
73.- a) Hallar el área del lazo de la estrofoide
2 2 2 2 x(t) 1 t^ ;y(t) t(1^ t ) 1 t 1 t
(^) (^) (^)
b) Calcular el volumen de un lazo de la estrofoide ^ (^)
2 2 2 2 x(t) t^1 ;y(t) t(1^ t ) 1 t 1 t al
girar alrededor del eje de simetría.
c) Hallar la longitud del lazo de la estrofoide ^ (^)
2 2 2 2 x(t) t(1^ t )^ ;y(t)^1 t 1 t 1 t d) Calcular la superficie generada por el lazo de la estrofoide (^) (^) (^)
2 2 2 2 x(t) t(1^ t )^ ;y(t) t^1 1 t 1 t al girar alrededor del eje de^ abscisas.
74.- a) Hallar el área de un lazo de la curva r( α ) = 2sen(2 α ). b) La curva r( α ) = 2sen(2 α ) gira alrededor del eje polar. Calcular el volumen obtenido. c) Determinar la longitud de un lazo de la curva r( α ) = sen(2 α ). d) La curva r( α ) = cos( α ) gira alrededor del eje polar. Calcular la superficie engendrada.
75.- Dada la curva en coordenadas polares r = e α , con α < 0, se pide: a) El área de la región entre la curva y el eje OX. b) La longitud de la curva.
- Hallar el área limitada por las regiones: x^2 +y 2 2x; x^2 +y 2 4x; y x; y 0
77.- a) Sea
cos x si x - , 0 f(x)^2 4 sen x si x 0, 2
^
^
a 1 ) Hallar I = 22 f(x) dx
a 2 ) Hallar el valor de k tal que I = .k
a ) ¿Existe algún punto c del intervalo 3 2 , 2
^ ^
tal que f(c) = k? a 4 ) ¿Contradice esto el Teorema del valor medio integral? b) Hallar el área interior a la circunferencia de centro el origen y radio (ecuación en coordenadas polares r = 1) y exterior a la curva r cos^2 4
^ ^
78.- a) Hallar el volumen engendrado por la rotación del área encerrada en la
circunferencia de ecuación (x-2)^2 + (y-4) 2 = 1 cuando gira alrededor del eje OX. b) Dada la curva (en coordenadas polares ): r sen cos calcular su longitud.
caso, si la integral que has utilizado es impropia , a qué tipo pertenece y si es
convergente o divergente.
86.- Calcular la superficie del elipsoide de revolución engendrada por la rotación alrededor del eje de abscisas de la elipse cuyas ecuaciones paramétricas son: x 2 cos t y 3sent
87.- Hallar el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje OX, el
arco de la curva y = sen 2 x comprendido entre x = 0 y x =.
88.- Calcular la longitud de la curva y x(1 x). Indica, en su caso, si la
integral que has utilizado es impropia , a qué tipo pertenece y si es convergente o
divergente.
89.- Hallar la superficie del sólido generado por la astroide de ecuación 3 3
x cos t y sen t
al girar alrededor del eje OY.
90.- Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje
de abscisas del arco de la curva y = xe -x^ para x ≥ 0. Indica, en su caso, si la
integral que has utilizado es impropia , a qué tipo pertenece y si es convergente o
divergente.
91.- Calcular el área comprendida entre las curvas en polares:
a) r 1 cos y r cos. b) r 1 cos y r cos.
92.- Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje
de abscisas de la curva (^4) y 1 x 1
. Indica, en su caso, si la integral que has
utilizado es impropia , a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
93.- Las curvas, en polares , r sen (^) 2 (^) y r cos (^) 2 (^) , se cortan dando lugar
a varios recintos interiores comunes a ambas curvas, todos de la misma área.
Calcular el área de uno de estos recintos.
94.- Plantear la integral que da la longitud del primer arco de la espiral r
( coordenadas polares ).
95.- Calcular el volumen obtenido por la rotación de la curva y 2 33 x x
^
alrededor del eje de abscisas. Indica, en su caso, si la integral que has utilizado es impropia , a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
96.- Calcular la superficie de revolución engendrada por la rotación alrededor del
eje de abscisas del bucle derecho de la curva
x cos t y sen 3t
a) Hallar el área limitada por las regiones
x^2 y^2 2x; x^2 y^2 4x; y x; y 0.
b) Hallar el área limitada por las curvas x 1 cos t y sent
x 2 2 cos t y 2sent
x t y t
x t y 0
c) Hallar el área limitada por las curvas
r 2 cos ; r 4 cos ; tg 1 ; sen 0
98.- Hallar el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región comprendida
entre y=x^2 e y=2x alrededor del eje X.
108.- Hallar el área encerrada entre la curva
x cos^2 t y tg t
y su asíntota.
109.- Hallar la superficie de revolución engendrada al rotar la curva y^2 x ( 3 x)^2 alrededor del eje de abscisas.
110.- Dada la curva en coordenadas polares r =
cos (^) , se pide:
a) Período de la curva. b) Dominio de r ( ). c) Longitud de la curva (para valores de dentro del dominio de la función).
111.- Hallar el área encerrada entre la curva
^2
x 1 tg t y sen t
y su asíntota.
112.- Hallar la superficie de revolución engendrada al rotar la curva x^2 (y 1 )^2 y^4 alrededor del eje de ordenadas.
113.- Dada la curva en coordenadas polares r =
tg (^) , se pide:
a) Período de la curva. b) Dominio de r ( ). c) Área encerrada por la curva y el eje OY (para valores de dentro del dominio de la función).
114.- Hallar el volumen engendrado al girar el área encerrada entre la curva (^) (^)
x cos^2 t y tg t y su^ asíntota^ alrededor de dicha asíntota.
115.- Hallar la longitud de la curva (^) 2 2 4 y x 1 x.
116- Determinar la curva que pasa por el punto (e, 2) y cuya pendiente en cada
punto (x,y), tal que x > 0, es ln x.
117.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a) F(x) =
ln x
3 cos^ t dt.
b) G(x) =
ln x
cos x cos x^ sen t dt.
118.- Calcular: a) La longitud de la curva en polares r 2 5 cos(2 ) b) El área encerrada por uno de los bucles de la curva anterior. c) El área interior común a la curva anterior y a r 2 5 sen(2 ).
119.- Dada la función f(x) 2x 1 x^2 , calcular el volumen engendrado al girar la curva alrededor del eje de ordenadas.
120.- Hallar el área sombreada de la figura que es simultáneamente exterior a la curva en polares r 2 cos(3 ) e interior a r 2 cos(3 ).
121.- Las ecuaciones paramétricas
3 2 3
x t t y t t
describen la curva denominada
Folium de Descartes , se pide: a) El intervalo de t para el que las anteriores ecuaciones describen el lazo. b) La longitud del lazo. c) La superficie de revolución engendrada al girar el lazo alrededor del eje de abscisas. d) El volumen engendrado al girar el lazo alrededor del eje de abscisas.
