CADENAS DE MARKOV UNIDAD 4, Apuntes de Investigación de Operaciones

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Universidad de Chile Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´aticas Departamento de Ingenier´ıa Industrial

IN44A: INVESTIGACI ON OPERATIVA´

Cadenas de Markov en tiempo Discreto

Denis Saur´e V. Julio, 2003.

1. Problemas de Cadenas de Markov en Tiempo Discreto

1. En la ciudad de Santiago diariamente se liberan contaminantes a la atm´osfera, provenientes prin- cipalmente del uso de veh´ıculos y de plantas industriales. La autoridad correspondiente monitorea diariamente la calidad del aire en la ciudad, y seg´un la concentraci´on de contaminantes distingue 3 es- tados de alerta ambiental: Normal (N), Pre-emergencia (P) y Emergencia (E). Se ha podido determinar que la evoluci´on del estado de alerta obedece a una cadena de Markov. Por simplicidad asumiremos que las probabilidades de transici´on dependen s´olo del n´umero de veh´ıculos que circulan por las calles de Santiago cada d´ıa (las plantas industriales pueden ser modeladas como un conjunto de veh´ıculos). Si en un d´ıa Normal circulan por Santiago y veh´ıculos entonces la probabilidad que el d´ıa siguiente sea tambi´en Normal vale 1 − F (y), y la probabilidad que el d´ıa siguiente sea de Pre-Emergencia es F (y). Si en un d´ıa de Pre-Emergencia circulan y veh´ıculos entonces el d´ıa siguiente ser´a Normal con probabilidad 1−F (y) o Emergencia con probabilidad F (y). Si en un d´ıa de Emergencia circulan y veh´ıculos entonces el d´ıa siguiente puede repetirse el estado de emergencia, lo que ocurre con probabilidad F (y), o bien pasar a estado de Pre-Emergencia, con probabilidad 1 − F (y). La funci´on F es continua, estrictamente creciente, F (0) = 0, F (∞) = 1. La autoridad ha tomado las siguientes medidas para combatir la contaminaci´on: en los d´ıas de Pre- emergencia se proh´ıbe circular a una fracci´on 1 − α de los veh´ıculos de Santiago. En los d´ıas de Emergencia la medida se hace m´as dr´astica, prohibi´endose la circulaci´on de una fracci´on 1 − β de los veh´ıculos de la ciudad (β < α)). En lo que sigue asuma que en Santiago hay un parque vehicular de x veh´ıculos y que cada d´ıa salen a circular todos aquellos a los que la autoridad no se los proh´ıbe.

a) Muestre el grafo asociado a la cadena de Markov que describe la evoluci´on del estado de alerta ambiental en Santiago. Justifique la existencia de probabilidades estacionarias y calc´ulelas. b) Suponga que Ud. posee un autom´ovil. En promedio, ¿qu´e fracci´on de los d´ıas del a˜no puede usar su autom´ovil para desplazarse por Santiago?. Asuma que cuando la autoridad proh´ıbe el uso de una parte de los veh´ıculos lo hace a de manera que todos los veh´ıculos tienen la misma probabilidad de ser afectados por la medida. c) Suponga que por cada veh´ıculo que deja de circular el ingreso per c´apita para los habitantes de Santiago se reduce en A [$] (asociado a una ca´ıda en la producci´on, y tambi´en a mayores incomodi- dades y costos de transporte por menor disponibilidad de veh´ıculos tanto para transporte p´ublico como privado). Adem´as, por cada d´ıa que respira el aire de Santiago en estado de Pre-emergencia o Emergencia una persona percibe un empeoramiento de su salud que se puede cuantificar en B [$] y C [$] respectivamente. Formule el problema que debe resolver el gobierno para escoger α y β. d ) Ud. est´a evaluando la posibilidad de comprar un segundo auto. En caso de comprarlo, ¿qu´e fracci´on de los d´ıas del a˜no podr´a usar alguno de sus autom´oviles para desplazarse por Santiago?. Asuma que agregar ese veh´ıculo tiene un efecto despreciable sobre las probabilidades calculadas en los puntos anteriores (el parque vehicular es muy grande). e) Suponga ahora que muchas personas compran un segundo auto, de manera de usar auto para desplazarse mientras uno de los dos que poseen tenga permiso para circular, y asuma que cuando usan uno de sus autos dejan el otro estacionado en sus respectivas casas. ¿Vale para cada una de estas personas el resultado calculado en el punto anterior?. Indique d´onde se deber´ıan hacer cambios al modelo para esta nueva situaci´on.

2. (*) Considere un jugador que apuesta sucesivas veces en el mismo juego. En cada jugada existe una probabilidad p de ganar una unidad y una probabilidad 1 − p de perder una unidad. Se asume que las jugadas sucesivas son independientes. El jugador comienza con una cantidad de i, 1 < i < N y juega hasta que pierde todo o llega a N.

Figura 2

4. Un ex-auxiliar de este curso ha decidido dedicarse a la m´usica, y junto a unos amigos form´o el grupo “Jorge y los Markovianos”. Actualmente se limitan a tocar los fines de semana en algunos pub capi- talinos, siendo una de tantas bandas desconocidas que existen en el pa´ıs. Cada mes existe una probabilidad q que un empresario de alg´un sello musical nacional los escuche y decida apoyarlos para grabar y realizar giras para cantar en todo el pa´ıs. Si tal cosa ocurre pasar´ıan a ser una banda conocida a nivel nacional. Una banda que es conocida a nivel nacional corre el riesgo de perder el apoyo del sello nacional que la patrocina, con lo cual volver´ıa a ser una banda desconocida. Cada mes, la probabilidad que esto ocurra es r. Por otro lado, una banda conocida a nivel nacional puede llegar a llamar la atenci´on del representante de un sello musical internacional, el cual podr´ıa decidir patrocinarlos. De ser as´ı la banda pasar´ıa a ser conocida a nivel internacional. Cada mes existe una probabilidad s que esto ocurra (s + r < 1). Una banda que es conocida internacionalmente nunca dejar´a de serlo. Sin embargo podemos distinguir dos categor´ıas entre ellas: las que est´an de moda y las que no. Una banda internacionalmente conocida que est´a de moda en un mes dado seguir´a estando de moda al mes siguiente con probabilidad t. Una banda conocida a nivel internacional que no est´a de moda en un mes dado pasar´a a estar de moda al mes siguiente con probabilidad u. El primer mes que una banda se hace conocida a nivel internacional nunca est´a de moda. Una banda s´olo percibe utilidades (equivalentes a K[$]) en los meses que es conocida internacionalmente y est´a de moda (parte de esas utilidades corresponden a una satisfacci´on de su ego). Hint: Suponga 0 < x < 1 ∀ x ∈ {q, r, s, t, u}. a) Construya una cadena de Markov que represente la trayectoria de la banda de Jorge y que permita predecir si en un mes dado percibir´an utilidades o no (defina estados adecuados, dibuje el grafo indicando las probabilidades de transici´on o bien escriba la matriz de prob. de transici´on).

b) ¿Llegar´an “Jorge y los Markovianos” a tener ´exito alg´un d´ıa?. c) ¿Admite la cadena una ley de probabilidades estacionarias?. d ) ¿Qu´e estados tienen necesariamente una probabilidad estacionaria igual a 0?. Calcule las proba- bilidades estacionarias. e) ¿Cu´al es (aprox.) el valor esperado de las utilidades percibidas por “Jorge y los Markovianos” en febrero del a˜no 2048?.

5. En la terminolog´ıa forestal un rodal se define como un ´area de cosecha con caracter´ısticas homog´eneas, por ejemplo el a˜no de plantaci´on o el costo de cosecha. Un bosque o predio cualquiera est´a compuesto por muchos rodales. En este problema usaremos algunas de las herramientas aprendidas sobre procesos estoc´asticos dis- cretos para modelar la evoluci´on (o crecimiento) de un bosque. Supondremos que, una vez en edad de explotaci´on, un rodal puede clasificarse como de altura baja si la mayor´ıa de los ´arboles tiene una altura menor a 16 metros, altura media si la mayor´ıa est´a entre los 16 y 21, y altura alta si predominan los ´arboles con m´as de 21 metros. En un per´ıodo de 5 a˜nos un rodal con altura media evoluciona a uno con altura alta con probabilidad 0,7. As´ı mismo, un rodal con altura baja puede permanecer as´ı o con probabilidad 0,4 pasa a tener altura media. Por otro lado, debido a las cosechas parciales o raleos, un rodal con altura alta puede volver a tener altura media, y uno con altura media puede volver a tener altura baja. La cosecha final o tala rasa se traduce en el paso de un rodal con altura alta directamente a uno con altura baja. Esta ´ultima transici´on ocurre con probabilidad p dentro de un per´ıodo de 5 a˜nos y se deja en forma param´etrica pues corresponde a una variable de decisi´on para el planificador forestal. Las transiciones media a media y baja a alta tienen probabilidad nula.

a) Modele la situaci´on descrita para un rodal mediante una cadena de Markov. Observe que para este problema las transiciones corresponden a 5 a˜nos. b) Con objeto de cuidar la fauna y evitar la competencia entre los ´arboles por el sol es recomendable maximizar la diversidad de tama˜nos dentro de un bosque. En otras palabras, conviene que exista la misma proporci´on de ´arboles altos, medios y bajos. Si el ´unico inter´es es mantener lo m´as saludable posible al bosque en el largo plazo ¿qu´e valor de p le recomendar´ıa al planificador forestal?. S´olo indique qu´e criterio usar´ıa para decir que un valor es mejor que otro, no es necesario que calcule el valor ´optimo. Recuerde que un bosque est´a compuesto por muchos rodales.

La primera vez que se planta un rodal es necesario esperar un lapso de tiempo, denominado “fuera de oferta”, debido a que ninguno de los ´arboles est´a en condiciones de ser explotado. Al cabo de 5 a˜nos, la probabilidad que un rodal “fuera de oferta” se mantenga como tal es 0,6. De nos ser as´ı, pasar´a a clasificarse como de altura baja y evolucionar´a de acuerdo a lo descrito en la parte (a). Sin embargo, en este caso, el valor ´optimo de p puede tomar dos valores 0,2 o 0,4 (dependiendo de si el rodal fue atacado por alguna plaga en su primera etapa de crecimiento). Con probabilidad 0,3 un rodal “fuera de oferta” pasa a una situaci´on como la de la parte (a) en la que p vale 0,2. Por ende, con probabilidad 0,1 sucede lo mismo pero p vale 0,4.

c) Modele esta nueva situaci´on como una cadena de Markov. d ) En base a la cadena anterior responda: ¿tiene una ley estable?. ¿es ´unica?. ¿existe una ley de probabilidades estacionarias?. ¿el l´ımite de la matriz de probabilidades de transici´on converge?, y si lo hace ¿las filas de la matriz l´ımite son iguales?. Calcule la probabilidad que un rodal reci´en plantado en el largo plazo tenga altura alta. e) Por ´ultimo, calcule cu´antos a˜nos en promedio un rodal reci´en plantado est´a “fuera de oferta”.

c) Modifique su modelo para esta nueva situaci´on y dibuje el grafo correspondiente, identifique las clases y clasifique los estados. Existir´an probabilidades estacionarias para este sistema?, en caso afirmativo plantee las ecuaciones que permitir´ıan encontrarlas. Entregue una expresi´on para ganancia diaria esperada en el largo plazo.

8. Un inversionista extranjero desea invertir su capital en el mercado accionario nacional. De acuerdo a un estudio que realiz´o, el comportamiento mensual de este mercado puede clasificarse en 3 categor´ıas: En alza (A), estable (E) y en baja (B). Adem´as, este comportamiento mensual es una variable aleatoria que depende ´unicamente del comportamiento en el mes anterior. La siguiente matriz representa las probabilidades de transici´on en el mercado accionario:

A E B

A 0.7 0.2 0.

E 0.3 0.5 0.

B 0.1 0.4 0.

Como el inversionista tiene la posibilidad de ubicar su capital en otro pa´ıs, por lo que ha decidido observar el mercado nacional. La pol´ıtica de inversi´on que seguir´a es tal que si durante 3 meses con- secutivos observa al mercado nacional en alza, invierte sin retirar su dinero, sin embargo, si durante 2 meses consecutivos observa que el mercado est´a en baja invierte en el extranjero sin la posibilidad de reconsiderar su decisi´on. Si invierte en el mercado accionario nacional obtendr´a un ingreso esperado mensual de MA [$], ME [$] o MB [$], si el comportamiento es en alza, estable o baja respectivamente. Si inicialmente el mercado accionario nacional se encuentra estable, responda:

a) Explique por qu´e este problema de inversi´on puede formularse como una cadena de Markov. Repres´entelo con un grafo, identifique y clasifique sus estados. b) ¿Existen probabilidades estacionarias?. c) Suponga que el inversionista finalmente invierte en el mercado nacional, ¿C´omo cambia su respues- ta de la parte anterior?, ¿Cu´al es el ingreso promedio mensual que espera obtener el inversionista en esta situaci´on?.

9. Un hotel opera en un paraje monta˜noso de elevado atractivo tur´ıstico. Cada tarde puede llegar un nuevo cliente solicitando una habitaci´on, lo cual ocurre con probabilidad p, o bien puede no llegar ninguno (con probabilidad q = 1 − p). Una fracci´on α de los clientes se queda en el hotel s´olo una noche (llegan una tarde y se van en la ma˜nana siguiente), mientras que una fracci´on β = 1 − α, decide quedarse una noche m´as disfrutando del hermoso paisaje (i.e. llegan una tarde y se van en la ma˜nana del d´ıa subsiguiente). Nadie pasa m´as de 2 noches en el hotel.

a) ¿Cu´al es el m´aximo n´umero de habitaciones que pueden estar ocupadas simult´aneamente?. b) Modele el estado de ocupaci´on del hotel para cada noche (cu´antas habitaciones est´an ocupadas) como una cadena de Markov. Defina adecuadamente los estados, e indique las probabilidades de transici´on entre ellos. Justifique la existencia de probabilidades estacionarias y calc´ulelas. c) Suponga que el hotel le cobra a sus clientes A [$] por la primera noche de estad´ıa y B [$] por noche adicional (B < A). ¿Cu´al es el valor esperado del ingreso por noche en el largo plazo?. ¿Cu´al es el n´umero promedio de habitaciones ocupadas?. d ) Suponga que el d´ıa que un cliente llega al hotel se realiza un sanitizado de la habitaci´on que ocupar´a, adem´as se le regala un mapa de la zona y un peque˜no objeto de artesan´ıa t´ıpica del lugar (con el logo del hotel), y se le ofrece una bebida por cuenta de la casa. Todo lo anterior tiene un costo de C [$]. ¿Qu´e relaci´on deben cumplir A, B y C para que el hotel pueda financiarse en el largo plazo?.

e) Los d´ıas en que hay s´olo un hu´esped en el hotel, los due˜nos se dan el tiempo de ense˜narle a preparar el plato t´ıpico de la regi´on. ¿Qu´e porcentaje de los clientes se va sin aprender a preparar dicho plato?.

10. a) En una ciudad el 9 % de los d´ıas soleados son seguidos por otro d´ıa soleado y el 80 % de los d´ıas nublados son seguidos por otro d´ıa nublado. Modele este problema como una cadena de Markov. Suponga ahora que el estado del tiempo en un d´ıa cualquiera depende del estado del tiempo en los ´ultimos dos d´ıas, de la siguiente forma:

Si los dos ´ultimos d´ıas han sido soleados entonces con una probabilidad de 95 % hoy tambi´en estar´a nublado. Si ayer estuvo nublado y hoy soleado, hay una probabilidad de un 70 % de que ma˜nana est´e soleado. Si ayer estuvo soleado y hoy nublado entonces 60 % de las veces ma˜nana estar´a nublado. Si han pasado dos d´ıas con el cielo cubierto de nubes, hay una probabilidad de un 80 % de que las nubes quieran quedarse un d´ıa m´as.

b) Con esa informaci´on modele el estado del tiempo en la ciudad como una cadena de Markov. c) Si ayer estuvo nublado y hoy soleado, ¿Cu´al es el n´umero promedio de d´ıas nublados antes del pr´oximo d´ıa soleado?. d ) Si el tiempo en un d´ıa dado dependiera del estado del tiempo en los ´ultimos n d´ıas ¿Cu´antos estados se necesitar´ıan para modelar el tiempo como una cadena de Markov?. e) Generalice a sistemas con memoria finita (N estados, y la probabilidad de estar en un estado dado en un per´ıodo depende del estado de los ´ultimos M per´ıodos).

11. Una empresa de transporte cuenta con una flota de 2 camiones destinados para traslados y fletes. La demanda diaria que enfrenta la empresa es aleatoria, con la siguiente ley de probabilidades:

P r[D = 0] = 0 , 4 P r[D = 1] = 0 , 4 P r[D = 2] = 0 , 2

Al comienzo del d´ıa, se reciben los pedidos por fletes de acuerdo a la distribuci´on anterior y se debe tener en cuenta que un cami´on s´olo puede atender un pedido por d´ıa. Un cami´on que durante un d´ıa ha realizado un flete tiene una probabilidad 0.5 de requerir mantenci´on despu´es del traslado, en cuyo caso al d´ıa siguiente no estar´a disponible para realizar fletes. La mantenci´on de un cami´on demora exactamente un d´ıa y tiene un costo de $10.

a) Defina Nk como el n´umero de camiones disponibles para realizar fletes al comienzo del d´ıa k. Muestre que Nk (k = 1, 2 ,...) puede modelarse como una cadena de Markov. Defina los estados y determine las probabilidades de transici´on de un per´ıodo. b) Determine las probabilidades estacionarias. c) A partir de la respuesta de la parte anterior, ¿Cu´al es el n´umero esperado de fletes que realizar´ıa esta empresa en estado estacionario?. ¿Cu´al es el costo diario promedio por concepto de manten- ci´on?. ¿Cu´anto es lo m´ınimo que esta empresa est´a dispuesta a cobrar por cada flete?.

12. (*) Un conocido mago del Paseo Ahumada ha hecho una respetable fortuna con el siguiente juego de azar: en una mesa tiene tres vasos (no transparentes) boca-abajo y dos bolitas que se colocan (juntas o por separado) debajo de alguno de los vasos. Luego, con una habilidad y rapidez impresionantes, el mago procede a mover las bolitas de un vaso a otro. En cada movimiento cambia de posici´on s´olo una bolita. Esto lo hace incontables veces hasta que un jugador deseoso de apostar le dice “STOP”. En ese

En cada per´ıodo se forman N/2 parejas al azar (suponga N par), cada una de las cuales puede mantener un contacto peligroso con probabilidad p (independiente de lo que hagan las dem´as). Al final del per´ıodo todas las parejas se desarman pudi´endose formar otra vez. Si una pareja que mantuvo un contacto peligroso est´a formada por un individuo que est´a Sano y por uno Infeccioso, quien estaba sano contraer´a la enfermedad pasando a estar Infeccioso al inicio del siguiente per´ıodo. Un individuo Infeccioso permanece en ese estado durante s´olo 1 per´ıodo despu´es de lo cual pasa a ser un individuo Infectado. Los individuos Infectados nunca abandonan esta condici´on, bajo la cual no pueden contagiar a nadie du- rante un contacto peligroso, y la que los hace inmunes a un nuevo contagio (porque ya tiene anticuerpos en su organismo).

a) Considere a un individuo particular de esta poblaci´on, que actualmente se encuentra sano. Si hay i individuos infecciosos, ¿Cu´al es la probabilidad de que este individuo se contagie durante el siguiente per´ıodo?. Llame a esta probabilidad qi. b) Si consideramos Xt como el n´umero de individuos infecciosos al inicio del per´ıodo t, ¿Es posible modelar la situaci´on descrita utilizando cadenas de Markov con Xt como variable de estado?. c) Considere Xt, e Yt como el n´umero de individuos infecciosos y sanos, respectivamente, al inicio del per´ıodo t. Modele la situaci´on descrita como una cadena de Markov. Clasifique los estados, caracterice las clases y encuentre la matriz de transici´on de 1 per´ıodo. Hint: No es necesario que dibuje todo el grafo, basta con identificar las transiciones de los distintos tipos de estado. d ) ¿Existir´a una ley de probabilidades estacionarias?, ¿Cambia su respuesta si permitimos que un individuo pueda mejorar, es decir, pasar de infectado a sano con probabilidad r en un per´ıodo?.

16. Sean X 1 , X 2 , ... variables aleatorias independientes tal que Pr[Xi = j] = αj , con j ≥ 0. Digamos que ocurre un registro en el instante n si Xn > m´ax(X 1 , ..., Xn− 1 ), donde X 0 = −∞, y si ocurre un registro en el instante n, sea Xn el valor de registro. Sea Ri el i−´esimo valor de registro.

a) Argumente que {Ri, i ≥ 1 } es una cadena de Markov y calcule sus probabilidades de transici´on. b) Sea Ti el tiempo entre el i−´esimo y el (i + 1)−´esimo registro. Es {Ti, i ≥ 1 } una cadena de Markov?. Y {(Ri, Ti), i ≥ 1 }? Calcule las probabilidades de transici´on donde corresponda. c) Sea Sn =

∑n i=1 Ti, n^ ≥^ 1. Argumente que^ {Sn, n^ ≥^1 }^ es una cadena de Markov cuando los^ Xi son continuos y encuentre sus probabilidades de transici´on.

17. Autos llegan a un taller de pintura de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa λ [autos/d´ıa]. Sin embargo este taller tiene capacidad para s´olo n autos y los autos que llegan y encuentran el recinto lleno no entran. Suponga que todos los autos son iguales y que pintar cualquiera de ellos demora exactamente un d´ıa, sin embargo dado que el taller es atendido exclusivamente por su ´unico due˜no, la capacidad de trabajo es un auto por d´ıa. Si al comienzo del d´ıa el recinto esta vac´ıo no trabajar´a durante ´este a pesar de que s´ı recibir´a autos durante el transcurso del d´ıa. Modele el n´umero de autos sin pintar al comienzo del d´ıa como una cadena de Markov en tiempo discreto. Clasifique los estados y encuentre expresiones generales para las probabilidades de transici´on.
18. Una tienda comercial ha determinado que los clientes llegan de acuerdo a un proceso de Poisson de par´ametro λ [clientes/semana]. La tienda ofrece un ´unico producto y los clientes llegan sin conocer de antemano cu´al es el precio del producto. Los clientes son heterog´eneos en el sentido que su disposici´on a pagar por el producto es distinta (entendemos por disposici´on a pagar la cantidad de dinero m´axima que el cliente estar´ıa dispuesto a pagar por el producto). Desde el punto de vista de la tienda la disposici´on a pagar, que llamaremos d, del cliente es una variable aleatoria con funci´on de densidad

f (d) continua en [0, ∞) y funci´on de distribuci´on F (d) conocidas. Un cliente compra el producto si su disposici´on a pagar es mayor que el precio al que la tienda vende el producto; en caso contrario se va sin comprar. Suponga que la tienda dispone de inventario infinito.

a) Si la tienda vende el producto a un precio P , ¿cu´al es la probabilidad que un cliente cualquiera que entra a la tienda compre el producto? (a esta probabilidad la llamaremos q(P )). ¿Cu´al es la ley de probabilidad para el n´umero de personas que compra el producto y para el n´umero de personas que se van sin comprar en una semana dada?. ¿Cu´anto vale el ingreso esperado por ventas en una semana cualquiera?. b) ¿Qu´e condiciones debe satisfacer P ∗, el precio que maximiza el ingreso esperado por ventas en una semana cualquiera?.

Suponga ahora que el inventario disponible es de C unidades al comienzo de una semana dada, y no tiene la posibilidad de reabastecerse en caso que se agote el producto.

c) ¿Cu´anto vale B(P, C), el ingreso esperado por ventas para la esa semana si se vende a un precio P ?.

La tienda operar´a durante T semanas sin reabastecerse del producto ni modificar el precio, con un inventario inicial de C unidades.

d ) ¿Puede modelarse el inventario disponible al inicio de cada semana como una cadena de Markov?. ¿Puede modelarse el inventario disponible en cada instante del tiempo como una cadena de Markov en tiempo continuo?. Escriba expl´ıcitamente los modelos si corresponde.

Por ´ultimo, considere que la tienda puede modificar el precio al comienzo de cada semana, manteni´endo- lo constante durante el resto de la semana.

e) Formule un modelo de programaci´on din´amica que permita tomar las decisiones de precio semana a semana, de manera de obtener el m´aximo ingreso esperado en un horizonte de T semanas, con un inventario inicial de C unidades.

Hint: Todas las partes de esta pregunta son independientes y pueden dejarse expresadas en funci´on de resultados de las partes anteriores, a´un cuando no los hayan calculado.

19. (*) Armijo, el colectivero de su barrio, le pide que lo asesore en el desarrollo de un nuevo proyecto de su microempresa de transporte de pasajeros, con el fin de definir la tarifa a cobrar. Nuestro amigo cuenta con 2 veh´ıculos con los que pretende implementar un servicio de arriendo de autos. A las 8 de la ma˜nana de cada d´ıa ´el conocer´a la demanda por arriendos, la cual sigue la siguiente ley de probabilidades. P r[D = 0] =0.4 , P r[D = 1] =0.2 y P r[D ≥ 2] =0.4. Un auto es arrendado por todo el d´ıa, es decir, con cada veh´ıculo se puede atender a lo m´as un cliente diario. Dada la apariencia apacible de Armijo, los clientes abusan de su buena voluntad, por lo que se estima que con probabilidad p =0.7 maltratar´an el autom´ovil durante su uso, por lo que nuestro atribulado colectivero deber´a llevarlo a mantenci´on el d´ıa siguiente, y no podr´a arrendarlo. La mantenci´on demora exactamente un d´ıa, independiente del n´umero de autos a reparar y tiene un costo de $10.000 por veh´ıculo. Con el fin de ayudar a nuestro querido Armijo se pide que responda:

21. Sea {Xn; n = 1,.. .}, una cadena de Markov irreductible que tiene un conjunto numerable de estados. Considere ahora un nuevo proceso estoc´astico {Yn; n = 0,.. .} que s´olo acepta valores de la cadena de Markov que est´en entre 0 y N. Esto es, se define Yn con el n-´esimo valor de la cadena de Markov que est´a entre 0 y N. Por ejemplo, si N = 3 y X 1 = 1, X 2 = 3, X 3 = 5, X 4 = 6, X 5 = 2, entonces Y 1 = 1, Y 2 = 3, Y 3 = 2.

a) ¿Es {Yn; n = 0,.. .} una cadena de Markov?. b) Sea πi la proporci´on del tiempo que {Xn; n = 1,.. .} est´a en el estado i. Si πi > 0 ∀i, ¿qu´e pro- porci´on del tiempo est´a {Yn; n = 0,.. .} en un estado j?. c) Suponga que Xn es recurrente nulo y sea Πi(N ), i = 1,... N la proporci´on del tiempo en {Yn; n = 0 ,.. .}. Si i = j, muestre que Πj (N ) es igual a: Πi(N ) · E[tiempo que el proceso X pasa en j entre retornos a i] d ) Use la parte (c) para argumentar que en el paseo aleatorio sim´etrico el n´umero esperado de visitas a un estado i antes de retornar al origen es 1.

22. Suponga que un sistema queda bien modelado por 2 cadenas de Markov erg´odicas A y B, con proba- bilidades de transici´on PAi ,Aj y PBi ,Bj respectivamente. El sistema se conecta a trav´es de los estados A 1 y B 1 tal como se ilustra en la figura, de manera que las probabilidades de transici´on en una etapa de la nueva cadena quedan bien definidas por:

P (^) A′ 1 ,B 1 = , P (^) A′ 1 ,Aj = (1 − ) · PA 1 ,Aj ∀Aj

P (^) B′ 1 ,A 1 = δ, P (^) B′ 1 ,Bj = (1 − δ) · PB 1 ,Bj ∀Bj El resto de las probabilidades de transici´on no sufren modificaciones.

Figura 3

a) Suponiendo que  > 0 y δ = 0, conteste las siguientes preguntas: Clasifique los estados de la cadena. Justifique la existencia de probabilidades estacionarias. Partiendo del estado A 1 calcule el tiempo esperado de retorno a A 1 condicional a que la primera transici´on es a alg´un estado de A. Encuentre el tiempo esperado de llegar por primera vez al estado B 1 partiendo de A 1 (y ll´amelo μAB ).

b) Suponiendo que  > 0 y δ > 0, conteste las siguientes preguntas: Clasifique los estados de la cadena. Justifique la existencia de probabilidades estacionarias. Encuentre el tiempo esperado μBA de llegar por primera vez al estado A 1 partiendo de B 1. Encuentre las probabilidades estacionarias de la cadena combinada. Puede expresar su re- spuesta en t´ermino de los par´ametros del problema y de las probabilidades estacionarias de las cadenas originales, πAi y πBi.

23. Una tienda mayorista de repuestos para autom´oviles vende un ´unico repuesto el cual puede ser de 2 tipos: Original o Taiwanes. Los repuestos se mantienen en inventario seg´un una pol´ıtica (s, S) de revisi´on semanal para cada tipo de repuestos. Es decir, al comienzo de cada semana revisa el nivel de inventario Ii y si est´a bajo si se encarga una cantidad Si − Ii con i ∈{O, T }. Los pedidos demoran exactamente 1 per´ıodo en estar disponibles, es decir, llegan al inicio de la siguiente semana. Cada semana la tienda recibe el pedido de un ´unico cliente, el que demandar´a una cantidad aleatoria de cada tipo de productos, de manera que con probabilidad qi(k) demandar´a k unidades de repuesto tipo i. Si no hay unidades suficientes de producto tipo i en el inventario, el cliente siempre estar´a dispuesto a sustituirlas por productos del otro tipo. Si con esta sustituci´on todav´ıa faltan unidades, el cliente llevar´a todas las unidades disponibles y se ir´a molesto de la tienda. El costo de mantener inventariada una unidad de producto por una semana es C independiente del tipo de repuesto. El beneficio de vender una unidad de producto tipo i es Bi, con Bi > C. Adem´as, si un cliente no puede satisfacer completamente su pedido, la tienda incurre en un costo de imagen valorado en V , independiente de cu´antas unidades faltaron. Por ´ultimo, existe un costo por poner una orden al proveedor de K y el precio al que la tienda compra cada repuesto es Pi.

a) Modele el inventario de cada tipo de productos al inicio de una semana como una cadena de Markov. Escriba expl´ıcitamente las probabilidades de transici´on y argumente la existencia de probabilidades estacionarias. Hint: No necesita dibujar toda la cadena, sino remitirse a los casos interesantes.

Responda las siguientes preguntas suponiendo conocida la ley de probabilidades estacionarias de la cadena anterior:

b) ¿Cu´al es la probabilidad que un cliente se retire indignado de la tienda?. ¿Qu´e fracci´on de los clientes se retira de la tienda con el pedido que deseaba originalmente? c) ¿Cu´al ser´a el ingreso por unidad de tiempo esperado del due˜no de la tienda?.

De la misma forma si sumamos las i − 1 primeras restricciones veremos que:

fi = i · f 1 =

i N

d ) Para el caso general procederemos exactamente como lo hicimos para el caso particular:

fi = p · fi+1 + (1 − p) · fi− 1 ∀ 0 < i < N

lo que implica que: fi+1 − fi = ρ(fi − fi− 1 ) ∀ 0 < i < N Donde ρ = 1 − p pLa primera ecuaci´on nos dice que:

f 2 − f 1 = ρf 1

Utilizando esto vemos que: fi − fi− 1 = ρi−^1 f 1 Ahora si sumamos las N − 1 primeras ecuaciones tendremos que (utilizando la suma telesc´opica):

fN − f 1 = (

N∑ − 1

i=

ρi) · f 1 ⇒ f 1 =

∑N − 1

i=0 ρ i =^

1 − ρ 1 − ρN

De la misma forma si sumamos las i − 1 primeras restricciones veremos que:

fi = (

N∑ − 1

k=

ρk) · f 1 =

1 − ρi 1 − ρN

6. a) Primero veamos cu´al es el grafo para el caso reducido (s=2 y S=4), el cual se muestra en la figura

Figura 3: Cadena problema 6-

La idea del ejemplo es ver que el n´umero de transiciones es tal que no tiene sentido hacer el grafo. La idea entonces es identificar cada transici´on mediante la probabilidad de ocurrencia. La cadena para el caso general se muestra en la figura 4. Donde:

Figura 4: Cadena problema 6-

Pij =

0 si i > s y j > i ∑αi−j^ si^ i > s^ y^0 < j^ ≤^ i ∞ k=i αk^ si^ i > s^ y^ j^ = 0 ∑^ αT^ −j^ si^ i^ ≤^ s^ y^0 < j^ ≤^ T ∞ k=T αk^ si^ i^ ≤^ s^ y^ j^ = 0

b) La cadena es exactamente la misma, s´olo que los αk toman valores espec´ıficos. Estos son los´ siguientes: αk =

λk^ · e−λ k! No es dif´ıcil ver que todos los estados est´an comunicados entre s´ı y que forman una ´unica clase y dado que la cadena es finita, esta clase es recurrente (claramente cada estado es aperi´odico dado que pii = 0∀i. c) En este caso s´ı podemos visualizar la cadena como un todo, puesto que el n´umero de transiciones es muy bajo. La cadena se muestra en la figura 5.

Figura 5: Cadena problema 6-

De la figura vemos que los estados 0 al s-1 m´as el estado T son transientes y dado que no est´an comunicados entre s´ı cada uno por s´ı solo constituye una clase transiente. Por otro lado los estados del s al T-1 est´an comunicados entre s´ı y forman una clase recurrente (con seguridad despu´es de T-s-1 pasos volveremos a cualquiera de los estados de esta clase). Por otro lado el periodo de los estados de la clase recurrente es T-S-1, dado que existe s´olo una forma de volver a un estado partiendo del mismo, y eso ocurre con seguridad despu´es de T-s-1 etapas. d ) La cadena se muestra el la figura 6. Vemos que existe un ´unico estado recurrente, que forma por s´ı solo una clase recurrente. Todos los otros estados no est´an comunicados entre s´ı y conforman por s´ı solos clases transientes.

7. a) La situaci´on claramente puede ser modelada como una cadena de Markov en tiempo discreto debido a que si defino los estados como el n´umero de pacientes que quedan en el centro en un d´ıa, entonces todas las probabilidades de transici´on pueden ser determinadas a partir de esta informaci´on. De esta forma se tiene que:

n´umero de per´ıodos. Por esto se tiene que:

P (Pasar por el estado M-1) =

∑^ ∞

i=

P (Pasar por M-1 en i transiciones)

P (Pasar por el estado M-1) =

∑^ ∞

i=

P (Quedarme en M por i-1 transiciones) · P (M.M − 1)

P (Pasar por el estado M-1) =

∑^ ∞

i=

(1 − p)M(i−1)^ · M · p · (1 − p)M−^1

P (Pasar por el estado M-1) =

M (1 − p)M−^1 p 1 − (1 − p)M

Por otro lado, la probabilidad de instalar los equipos alg´un d´ıa es equivalente a la probabilidad de llegar alguna vez al estado 0. Sin embargo dado que esta es una cadena erg´odica, se que en el largo plazo con seguridad estar´e en la clase recurrente. Como en este caso la clase recurrente est´a compuesta por el estado 0, se puede decir con seguridad (Probabilidad =1) que en el largo plazo el sistema llegar´a al estado 0 y por lo tanto se podr´an instalar los equipos.

c) En este caso se tiene un n´umero C de camas disponibles y existe la posibilidad que llegue gente al centro asistencial. La cadena asociada se muestra en la figura 8.

Figura 8: Cadena problema 7-

El estado i ser´a la situaci´on en que quedan i pacientes enfermos en el centro, ∀i ∈ { 0 ,... , M }. Para calcular la probabilidad de transici´on entre dos estados cualesquiera condicionaremos sobre el n´umero de personas que se recuperan. Entonces, para j = C:

P (i, j) =

∑^ i

k=

P (i, j|Se mejoran k personas) ·

i! k!(i − k)!

pk(1 − p)i−k

Sin embargo:

P( i, j |Se mejoran k personas) =P(lleguen j − i + k personas)

siempre y cuando j − i + k ≥ 0, entonces:

P (i, j) =

∑^ i

k=m´ax(i−j,0)

P (lleguen j − i + k personas) ·

i! k!(i − k)!

pk^ · (1 − p)i−k

P (i, j) =

∑^ i

k=m´ax(i−j,0)

qj−i+k ·

i! k!(i − k)!

pk^ · (1 − p)i−k

De la misma forma, si j = C, entonces:

P (i, j) =

∑^ i

k=m´ax(i−j,0)

P (lleguen m´as de j − i + k personas) ·

i! k!(i − k)!

pk^ · (1 − p)i−k

P (i, j) =

∑^ i

k=m´ax(i−j,0)

∑^ ∞

z=j−i+k

qz ) ·

i! k!(i − k)!

pk^ · (1 − p)i−k

12. a) Tras un minuto de meditaci´on modelamos los estados como el n´umero de bolitas bajo cada vaso. La cadena se muestra en la figura 9.

Figura 9: Cadena problema 12

La matriz de transiciones es la siguiente:

1 4

1 4 0 0

1 4

1 1 4 4 0

1 4

1 4 0

1 4 0 14 14 14 14 0

b) De acuerdo a la definici´on r 1 = r 2 = r 3 = 2 y r 4 = r 5 = r 6 = 1 Entonces: π 1 = π 2 = π 3 = 19 y π 4 = π 5 = π 6 = 29. Por otro lado para que −→π sea ley estable debe cumplir con:

−→π = −→π · P

∑^6

i=

πi = 1

πi ≥ 0 ∀i