Aquí entenderemos la base de la proporciónes lógicas, Apuntes de Análisis presupuestario y principios contables

¡Descarga Aquí entenderemos la base de la proporciónes lógicas y más Apuntes en PDF de Análisis presupuestario y principios contables solo en Docsity!

E-Book ISBN978-987-1676-32-3. Fecha de catalogación: 19/12/2014.

“Los profesores de hoy tienen la difícil misión de enseñar a tener curiosidad,

a pensar por uno mismo y a perderle el miedo a los problemas, mucho más

que a enseñar unos cuantos teoremas o unas cuantas reglas operativas que el

alumno, si ha mantenido su mente ágil y una sólida preparación básica,

podrá leer sin dificultad de cualquier libro o manual el dia que lo necesite”

La Matematica en la escuela (1966) del Dr. Luís Santalo.

INTRODUCCIÓN

Al presentar esta primera Serie Didáctica en la cátedra de Álgebra y Geometría Analítica se tuvieron en cuenta los siguientes aspectos: El alumno debe estar ya en condiciones de considerar las matemáticas como una ciencia lógica. Los contenidos temáticos deberán ser desarrollados de manera que se adapten a la experiencia y madurez de un estudiante del primer año de la universidad. La incorporación de los medios para desarrollar las habilidades que permitirán al estudiante acceder con mayor eficiencia a cursos más avanzados. Teniendo en cuenta estos aspectos, con esta presentación se intenta reflejar el consenso de que las matemáticas deben tener significación y en consecuencia llevar a los estudiantes a una lectura y aprovechamiento por sí mismos de libros y textos específicos a la disciplina. En el desarrollo de los capítulos se incluyen las explicaciones teóricas con ejemplos. Los temas desarrollados corresponden a Lógica Proposicional, Conjuntos

INDICE

• I.- CALCULO PROPOSICIONAL
  • I.1.- Introducción
  • I.2. - Proposiciones y Funciones proposicionales
  • I.3. -Proposiciones simples y proposiciones compuestas
  • I.4. -Conectivos lógicos y operaciones lógicas
  • I.5. -Fórmulas proposicionales o fórmulas lógicas - I.5.1. -La negación lógica - I.5.2. - Conjunción lógica (o producto o multiplicación lógica)
  • lógica) I.5.3. - Disyunción lógica (o adición lógica, o suma, o alternativa - I.5.4. - Condicional (o implicación) - I.5.4.1. - Condición necesaria y suficiente - I.5.5.- Bicondicional
  • I.6. - Fórmulas equivalentes
• II.- Elementos de la Teoría de Conjuntos
  • II.1. - Esquemas proposicionales (Funciones o formas proposicionales)
  • II.2. - Igualdad de Conjuntos, Inclusión y pertenencia
  • verdad II.3. - Operaciones con formas (o funciones) proposicionales. Conjuntos de
  • II.4. - Funciones proposicionales. Cuantificadores
• III. - Conjuntos Numéricos
  • III.1. Los Números Naturales - III.1.1. Características del conjunto de Números Naturales - III.1.2. Orden en el conjunto de los Números Naturales
    • III.1.3. La adición y multiplicación en los números Naturales
      • Completa III.1.4. Aplicación en los Números Naturales: Principio de Inducción
        • III.1.4.1. Sumatoria
        • III.1.4.2. Teorema de Inducción Completa
  • III.2. Los Números Enteros - III.2.1.-Caracterización del conjunto de los Números Enteros - III.2.2.- Orden en los números Enteros - números Enteros III.2.3.- Las operaciones adición y producto en el conjunto de los
    • III.3. Los Números Racionales
      • III.3.1.- Caracterización del conjunto de los Números Racionales
      • III.3.2.- Relaciones de orden en los Racionales
      • números Racionales III.3.3.- Las operaciones adición y producto en el conjunto de los
    • III.4. Los Números Irracionales
    • III.5. El conjunto de los Números Reales
      • III.5.1.- Caracterización del conjunto de los números Reales
      • números reales. El cuerpo de los números reales III.5.2.- Las operaciones adición y producto en el conjunto de los
      • III.5.3.- Intervalos
    • III.6.- Conjuntos Ordenados
      • III.6.1.- El conjunto de las n-uplas ordenadas de números reales
      • III.6.2.- Operaciones en IRn
• IV.- El conjunto de los Números Complejos - IV.1.- Conjugado de un Complejo - IV.2.- La Unidad Imaginaria - IV.2.1.- Propiedades - IV.3.- Formas Binómicas - IV.4.- Módulo de un Complejo - IV.4.1.- Propiedades del módulo - IV.5.- Forma polar de un número complejo - IV.5.1.- Operaciones con números complejos en forma polar
  • Guía Práctica
  • Bibliografía

I.- CALCULO PROPOSICIONAL

I.1.- Introducción

La estructura actual de la matemática es formalista, es decir deductiva, desempeñando la axiomática un papel muy importante. Para la demostración matemática se dispone únicamente de los contenidos de los axiomas y de los recursos de la lógica. La lógica es la ciencia que estudia los métodos y principios usados para distinguir el razonamiento correcto del incorrecto. En el siglo pasado, nuevos aportes dieron lugar a un desarrollo intensivo de la lógica, que sufrió una transformación completa y adoptó un carácter semejante al de una disciplina matemática. Nació así una nueva lógica, llamada también lógica matemática, formal, deductiva o simbólica La lógica formal, considerada como el estudio de operaciones con símbolos apropiados, debe ubicarse en el álgebra como un capítulo especial; aparece entonces como una parte de la matemática. Los capítulos más importantes de esta ciencia son: el cálculo proposicional, la teoría de la identidad, teoría de las clases y teoría de las relaciones. A los efectos de este curso, resulta suficiente dedicar nuestro estudio al Calculo proposicional que nos permitirá familiarizarnos con el uso de las proposiciones y de las distintas operaciones lógicas que con ellos podemos efectuar, como asimismo a su representación simbólica.

I.2. - Proposiciones y Funciones proposicionales

El primer concepto que debemos fijar perfectamente es el de: Proposición : es cualquier expresión para la cual tiene sentido inequívoco decir si es verdadera o falsa. Por ejemplo son proposiciones:

• 3 es un número entero (verdadero)
  • 1,5 es un número natural (falso)

En cambio no son proposiciones, pues no podemos determinar si realmente son verdaderas o falsas, las siguientes expresiones:

• X + 1 = 5
  • X es mayor que 2

Denotaremos con letras minúsculas a las proposiciones (generalmente las últimas del alfabeto); p, q, r, etc. y con V y F los términos verdadero y falso respectivamente, que serán llamados “valores de verdad” de las proposiciones.

I.3. -Proposiciones simples y proposiciones compuestas

Una proposición es simple cuando ninguna otra de sus partes es a su vez una proposición (manteniendo el significado de los términos). Por ejemplo son proposiciones simples: p: Alberto escribe q: El pizarrón es rectangular

Una proposición es compuesta cuando alguna de sus partes es a su vez proposición, manteniendo el significado de sus términos. Por ejemplo a partir de las proposiciones simples p y q podemos construir las nuevas proposiciones compuestas: r: Alberto no escribe

I.5. -Fórmulas proposicionales o fórmulas lógicas

Combinando proposiciones simples mediante los conectivos lógicos obtendremos fórmulas proposicionales , cuyos valores de verdad se definen mediante tablas de verdad. Dada una fórmula proposicional definiremos como variable proposicional a cada una de las proposiciones simples relacionadas a través de los conectivos lógicos que intervienen en dicha fórmula proposicional. Fórmulas proposicionales o fórmulas lógicas son por ejemplo:

~ p; p  q; p  q; p  q; p  q (I)

Si realizamos ciertas combinaciones, obtenemos otras fórmulas más complejas, por ejemplo:

(p  q)  q; (r  t)  q; etc...

En primer lugar determinaremos los valores de verdad de las fórmulas lógicas dadas en (I), construyendo la tabla de verdad.

I.5.1. -La negación lógica Dada una proposición, podemos obtener su negación o refutación con ayuda de la palabra “no”. Dos proposiciones, de las cuales la segunda es la negación de la primera, se llaman contradictorias o antitéticas. Se puede prescindir de la palabra “no”, anteponiendo a la proposición dada la expresión “no es cierto que”. Por ejemplo, sea la proposición: p: 1 es un número positivo Su negación es: “1 no es un número positivo” o también: “no es cierto que 1 es un número positivo”.

A la negación de la proposición p la simbolizamos así: ~ p.

Según que p sea verdadera o falsa, ~ p será respectivamente falsa o verdadera. Podemos resumir esto mediante un cuadro que se llama tabla de valores de verdad, o simplemente tabla de verdad de la negación.

Por ejemplo: si p representa: 3 + 8 = 9 (Falsa) ~ p representa: 3 + 8  9 (Verdadera)

I.5.2. - Conjunción lógica (o producto o multiplicación lógica)

Es la unión de dos o más proposiciones por la palabra “y”. Se la representa mediante el símbolo  colocado entre las proposiciones que afirmamos suceden simultáneamente. Sea por ejemplo: p: Hace calor q: Tengo apetito

La conjunción de ambas proposiciones es la proposición: s: Hace calor y tengo apetito que se representa así: s = p  q

Si suponemos que p y q son verdaderas, la conjunción es verdadera; pero si al menos una de las proposiciones simples que la componen es falsa, entonces la conjunción es falsa.

p (^)  p V F F V

Una segunda acepción, la disyunción excluyente , considera que una proposición p  q que se lee “o p o q” es verdadera si las proposiciones componentes asumen diferentes valores de verdad. La disyunción excluyente de p y q viene definida por la siguiente tabla de verdad:

I.5.4. - Condicional (o implicación)

Como en el caso de la disyunción, hay diferencias entre los usos de la implicación en lógica y en el lenguaje cotidiano. En el lenguaje ordinario usamos la implicación en sentido formal; tendemos a unir dos proposiciones mediante las palabras “si..entonces” sólo si hay una conexión entre sus formas y sus contenidos; si suponiendo verdadero el antecedente nos vemos obligados a suponer verdadero el consecuente; si podemos deducir el consecuente a partir del antecedente, sobre la base de ciertas leyes. Por ejemplo: Si Sócrates es un hombre, entonces Sócrates es mortal”. En cambio en lógica, se utiliza la implicación en sentido material o implicación material , la que tiene sentido aún cuando no exista ninguna especie de conexión entre sus dos miembros. El símbolo pq denota la proposición: si p entonces q, y la llamaremos condicional, la proposición p se llama antecedente y la proposición q es el consecuente del condicional De esta forma, tiene sentido lógico enunciar: “Si Sócrates es un hombre, entonces Sócrates es mortal”.

p q (^) p  q V V F V F V F V V F F F

“Si 2x25 entonces París es la capital de Francia”.

La verdad o falsedad de una implicación material depende sólo de la verdad o falsedad del antecedente y consecuente. La siguiente tabla de verdad determina los valores de verdad de pq de acuerdo a los posibles valores de verdad de p y q.

Veamos ahora el uso y la importancia de la noción del condicional en matemática. Demostrar o probar un condicional p  q significa poner en evidencia la imposibilidad de que siendo verdadero el antecedente p sea falso el consecuente q. Es importante observar que para demostrar que un dado condicional p  q es verdadero es suficiente realizar uno de estos procedimientos: i) suponer V(p)  V, verificar que V(q)  V ii) suponer V(q)  F, probar que V(p)  F

I.5.4.1. - Condición necesaria y suficiente

En matemática aparecen condicionales que se prueban. Tales condicionales son denominados “teoremas”. En un teorema p  q, se llama; hipótesis a p y tesis a q. Por ejemplo sea el teorema:

p q (^) p  q V V V V F F F V V F F V

Observamos que p  q es una forma de expresar dos condicionales simultáneos: p  q y q  p

Trataremos de fijar algunas pautas que nos permitan construir la tabla de verdad para cualquier fórmula proposicional, que podemos formar. Estas son: i) Reconocer las variables proposicionales que intervienen en la fórmula proposicional formada; cada una de ellas encabezará una columna de la tabla. ii) En general, si las variables intervinientes son “n” las alternativas posibles de valores de verdad son 2 n^. De esta forma la tabla de verdad a construir tendrá 2 n^ renglones. iii) Efectuar la distribución adecuada de cada uno de los valores que integran la fórmula proposicional. Cada una de esas partes encabezará una columna de la tabla, la última columna estará encabezada por la fórmula en su expresión completa. iv) El valor de verdad que le corresponde a cada una de las partes de la fórmula proposicional dependerá de los valores de verdad asignados a las variables.

Sea por ejemplo la fórmula proposicional: (p  q)  q Construyamos su tabla de verdad:

Observemos: i) La tabla de verdad posee cuatro renglones, puesto que nuestra fórmula proposicional posee dos variables proposicionales, luego 2 2  4.

p q p  q (p  q)  q V V V V V F V F F V V V F F F V

ii) Los valores de verdad de la fórmula proposicional (p  q)  q son cuatro. Si fijamos nuestra atención en una de las filas, por ejemplo la segunda, vemos que: los dos primeros cuadriculados corresponden a una de las alternativas de valores de verdad de las variables p y q, en donde p es V y q es F; en el tercer cuadriculado ponemos el valor de verdad de p  q que resulta: V; en el último cuadriculado del renglón el valor que tiene el condicional (p  q)  q que es: F. De esto deducimos que la fórmula es falsa cuando la conjunción p  q es: V y la variable proposicional q es: F.

I.6. - Fórmulas equivalentes Sean las fórmulas proposicionales: p  q y (p  q)  (q  p) Con estas dos fórmulas proposicionales dadas construyamos otra fórmula proposicional, esta es: p  q  [(p  q)  (q  p)]. Construyamos su tabla de verdad:

Observaciones: i) Los respectivos renglones de las columnas 1 y 2 asumen los mismos valores de verdad para toda asignación de valores dados a las variables proposicionales.

P q p  q (1)

p  q q  p (p  q)  (q  p) (2)

V V V V V V V

V F F F V F V

F V F V F F V

F F V V V V V

p  (q  r)  (p  q)  (p  r)  Leyes distributivas: p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

(p  q)  p  (q)  Leyes de Morgan: (p  q)  p  (q)

La fórmula proposicional: (p  q)  [(p  q)  (q  p)] la hemos obtenido asociando el bicondicional a las fórmulas (p  q) y (p  q)  (q  p) respectivamente. En la observación ii) que se deduce de la tabla de verdad para dicha fórmula proposicional podemos dar la siguiente definición. Definición: Una fórmula proposicional es tautología si y solo si asume el valor V cualesquiera sean los valores dados a las variables proposicionales. Partiendo de esta definición diremos que dos fórmulas proposicionales son equivalentes si y sólo si el bicondicional asociado a ellas es una tautología. Sea ahora la fórmula proposicional p  (p). Construyamos su tabla de verdad.

Vemos que cualesquiera sea la proposición a quien representa la variable proposicional con valores de verdad V o F la proposición p  (p) es falsa. Por lo que podemos enunciar otra definición.

p (^)  p p  (  p) V F F F V F

Definición: Una fórmula proposicional es contradictoria si y sólo si asume el valor F para cada asignación de valores dados a las variables proposicionales. Por ejemplo la fórmula p  (p) es contradictoria. Definición: Una fórmula proposicional es contingente si y sólo si no es tautológica ni contradictoria.

Implicaciones asociadas

Sea la fórmula proposicional p  q que la llamaremos condicional directo. A partir de este condicional directo podemos formar otras fórmulas proposicionales, a saber: q  p p  q q  p Estas implicaciones se llaman recíproco, contrario y contrarrecíproco, que junto a la condicional p  q se denominan conjugadas y cualesquiera de ellas puede tomarse como condicional directo.

Podemos esquematizar lo expuesto de la siguiente forma: