apuntes economia-matematicas, Esquemas y mapas conceptuales de Economía

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ACTIVIDAD EVALUATIVA EJE 2

JEISON ANDRES AVILA LESMES

DOCENTE

FERNADO BARRIOS

FUNDACION UNIVERSITARIA AREANDINA

FACULTAD CIENCIAS ECONOMICAS

METODOS MATEMATICOS

Una empresa desea maximizar su producción con la siguiente función de producción f ( x , y )=−x 2

• 2 y Cuenta con un presupuesto máximo dado por: x 2
• y 2 ≤ 1 La empresa puede producir factores nulos pero no negativos. Así, el problema para la empresa es el siguiente: máx=−x 2
• 2 y Sujeto a 1 −x 2 − y 2 ≥ 0 x ≥ 0 y ≥ 0 Dado que todas las restricciones del problema son cóncavas, el problema está cualificado, y las condiciones KKT son suficientes y necesarias para resolver la optimización. Definimos la lagrangiana del problema y las condiciones: L=−x 2

+ 2 y + μ 1 (^1 −x

2 − y

• μ 2 (^ x )^ + μ 3 (^ y )

1. Lx=−^2 x−^2 x^ μ 1 +μ 2 =^0
2. Ly=^2 −^2 y^ μ 1 +^ μ 3 =^0

3. μ 1 ( 1 −x

2 − y 2

4. μ 2 (^ x)^ =^0
5. μ 3 (^ y^ )=^0 Así, definimos los casos Caso 1 2 3 4 5 6 7 8 μ 1 0 0 0 0 + + + + μ 2 0 0 + + 0 0 + + μ 3 0 + 0 + 0 + 0 + Caso 1:

− 2 x − 2 x μ 1 + μ 2 = 0 2 − 2 y μ 1 +μ 3 = 0 μ 1 = 0 μ 2 = 0 μ 3 = 0 De lasegunda ecuacióntenemos que 2 = 0 , por lo cual se descarta el caso 1

Caso 7 { − 2 x − 2 x μ 1 + μ 2 = 0 2 − 2 y μ 1 + μ 3 = 0 1 −x 2 − y 2 = 0 x= 0 μ 3 = 0 De latercera ecuacióntenemos que y 1 =− 1 ∧ y 2 = 1 , como y ≥ 0 , entonces y=1. De la segunda ecuacióntenemos que μ 1 = 1 , de la primera ecuación tenemos que μ 2 = 0 Dado que todaslas desigualdades se cumplen , disponemos de un posible puntoóptimo

( x

¿ , y ¿

Por lo tanto, el único argumento maximizador es el del caso 6, a saber: Argmax=( 0 , 1 ) Max ( f ) = 2 Por lo cual, dado dicho presupuesto, la empresa debe usar 0 unidades de y y 1 unidad de x.

El algoritmo Karush-Kuhn-Tucker: diferencias y similitudes con algoritmos lagrangianos y hamiltoniano: Si bien, el algoritmo de Lagrange fue una revolución para la resolución de problemas de optimización estática, es el procedimiento KKT su verdadera generalización, dado que los multiplicadores de Lagrange están sujetos o restringidos a solucionar problemas únicamente de esquina, es decir, de igualdad. KKT elimina esta problemática y da pautas para solucionar interiormente un problema, lo cual facilitó en gran medida desarrollar cálculos de máximos y mínimos multivariadamente. El algoritmo hamiltoniano, una vez se pasa de evaluar momentos discretos a continuos, significó poder desarrollar una teoría de control óptimo, para resolver optimizaciones dinámicas. Si bien, todos lo métodos funcionan muy parecido, KKT es mucho mas general que los multiplicadores de Lagrange, y el método de solución por condiciones de Pontryagin funciona únicamente para resolver optimizaciones de ecuaciones diferenciales, por lo que es un cálculo mas riguroso. Todos parten del principio de derivada parcial y de concavidad/convexidad en las funciones. Así mismo, a medida que se avanza en la dificultad de resolución (Lagrange<KKT<Hamiltoniano) los teoremas para la cualificación de un problema resultan mas complejos e inflexibles.