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1. Nociones de Geodesia. GPS
1.1. Introducción
La geodesia estudia la forma, dimensiones y campo gravitatorio
de la Tierra en territorios extensos. Como ya sabemos, esta es su prin-
cipal diferencia con la Topografía, la cual basa sus trabajos en superfi-
cies de extensión reducida en las cuales puede considerarse desprecia-
ble la esfericidad terrestre.
Como decíamos en páginas anteriores, la gran evolución que han
experimentado los distintos aparatos, que nos han llevado a conseguir
precisiones antes sólo imaginables tras complejos trabajos, ha llegado a
dificultar sobremanera el establecimiento de una separación clara entre
ambas ciencias. En esencia, la Geodesia comienza sus trabajos allí don-
de termina la Topografía. De todas formas, no debe acometerse el estu-
dio de estas ciencias por separado, pues están íntimamente relacionadas,
de tal manera que la Topografía necesitará apoyarse en la Geodesia para
una gran cantidad de aplicaciones prácticas.
El campo abarcado por la Geodesia es muy amplio, razón por la
Nociones de Geodesia. GPS
cual resulta preciso dividirla en distintas ramas
:
- Geodesia Esferoidal : estudia la forma y dimensiones de la
Tierra y el empleo del elipsoide como superficie de referencia.
Estudio de métodos de resolución de problemas sobre dicha
superficie (medida de distancias, etc.).
- Geodesia Física : estudia el campo gravitatorio de la Tierra,
partiendo de mediciones del mismo (mediante estaciones gra-
vimétricas). Estudio de los problemas de reducción y de des-
viación de la vertical.
- Astronomía Geodésica : estudia los métodos astronómicos
que permiten determinar las coordenadas geográficas sobre la
superficie terrestre de una serie de puntos fundamentales cono-
cidos con el nombre de “Datum” o “Puntos astronómicos fun-
damentales” sobre los cuales se basará el cálculo de las poste-
riores redes geodésicas.
- Geodesia espacial o cósmica : utiliza satélites artificiales pa-
ra sus determinaciones
Desde un punto de vista práctico, una de las mayores utilidades
de la Geodesia es que mediante sus técnicas es posible representar car-
tográficamente territorios muy extensos. Esto se consigue mediante el
establecimiento de una red de puntos distribuidos por toda la superficie
terrestre, de los cuales se determinarán sus coordenadas, así como su
elevación sobre el nivel del mar con muy elevada precisión.
López-Cuervo, S.: Topografía, Madrid, 1993, págs. 307 y ss..
Nociones de Geodesia. GPS
1.2. Geoide y elipsoide de referencia
La palabra g eoide significa “forma de la Tierra” y fue introducida
por Listing en el año 1873. El geoide es un esferoide tridimensional
que constituye una superficie equipotencial imaginaria que resulta de
suponer la superficie de los océanos en reposo y prolongada por debajo
de los continentes y que sería la superficie de equilibrio de las masas
oceánicas sometidas a la acción gravitatoria y a la de la fuerza centrífuga
ocasionada por la rotación y traslación del planeta, de manera que la
dirección de la gravedad es perpendicular en todos los lugares.
El geoide tiene en cuenta las anomalías gravimétricas (debidas
a la distribución de las masas continentales y la densidad de los compo-
nentes de la Tierra) y el achatamiento de los polos, por el cual es una
superficie irregular con protuberancias y depresiones.
Por tanto, y resumiendo, podemos concluir que el Geoide será el
lugar geométrico de los puntos que se encuentran en equilibrio bajo la
acción de las siguientes solicitaciones:
- Fuerzas de atracción gravitatoria del resto de los puntos de la
superficie del mismo.
- Fuerzas de atracción gravitatoria del resto de los astros del
Sistema Solar.
- Fuerza centrífuga, debida al movimiento de rotación de la Ti e-
rra.
Mediante el estudio de estas solicitaciones o fuerzas y los po-
tenciales que las mismas producen es posible llegar a la definición
Jorge Franco Rey
geométrica del geoide.
En la Fig. 2 podemos ver la red española de estaciones gravimé-
tricas. Se trata de una información disponible en el Banco de datos gra-
vimétricos, de la Dirección General del Instituto Geográfico Nacional,
parte de la cual se halla presente en la red Internet, tal y como se indica
en el pie de la figura. Asimismo, también se dispone de datos sobre las
anomalías gravimétricas, etc., los cuales no incluimos por no conside-
rarlos necesarios en el marco de esta obra.
Fig. 2: Red de estaciones gravimétricas. Fuente: Instituto Geográfico
Nacional (http://www.ign.es)
Las mediciones gravitatorias se realizan mediante unos aparatos
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Fig. 4: Gráfica obtenida a partir de los datos registrados por el gravímetro
de la Cueva de los Verdes. Fuente: http://www.mat.ucm.es/deptos/iag/lanzinstacueva.htm
En la Fig. 5 podemos ver una representación del Geoide en la que
las variaciones altimétricas son desniveles con respecto al elipsoide de
referencia (magnitud N en la Fig. 11) y están dibujadas con diferentes
colores. En la Fig. 6 se muestra otra representación del Geoide, esta vez
mediante curvas de nivel con una equidistancia de 10 metros. Ambas
imágenes han sido obtenidas partiendo de una malla cartesiana de coor-
denadas X (longitudes), Y (latitudes) y Z (elevaciones del geoide sobre
el elipsoide de referencia WGS84), publicada por la “United States
Defense Mapping Agency” con un intervalo de 10º (Fig. 7), tanto en
longitud como en latitud.
El Departamento de Geodesia y Geofísica de la “National Ima-
gery and Mapping Agency (NIMA)” , de Estados Unidos, publica un
modelo del geoide referido también al elipsoide WGS84 con un inter-
valo de 0,25º, el cual permite obtener representaciones mucho más de-
Nociones de Geodesia. GPS
talladas, como la que podemos ver en la Fig. 9.
La elevación en cualquier punto del geoide sobre el elipsoide de
referencia indicado (llamada altura geoidal u ondulación del geoide,
ver ξ 1.7 ) puede calcularse efectuando una interpolación lineal entre
los cuatro puntos de la malla más cercanos. Con la utilización del soft-
ware adecuado es posible generar sin grandes dificultades los distintos
mapas de elevaciones presentados.
Fig. 5: Representación del Geoide. Obtenida mediante el tratamiento de la malla con intervalo de 10º publicada por la USDMA con el programa de tra-
tamiento digital de imágenes ER-Mapper 5.5 (versión de evaluación)
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Fig. 8: Representación del Geoide en la zona de Alaska. Fuente: United
States National Geodetic Survey (NGS).
Fig. 9: Representación del geoide a partir de la red publicada por la
NIMA, con un intervalo de 0,25º. Fuente: Peter H. Dana, Department of
Geography, University of Texas at Austin
Jorge Franco Rey
Para la correcta definición del Geoide es necesario establecer el
concepto de nivel medio del mar , en contraposición con el que podría-
mos llamar nivel instantáneo , pues la superficie real de los mares no se
adapta con exactitud al Geoide, debido a la existencia de mareas y co-
rrientes.
Por lo tanto, podríamos definir al Geoide como la superficie
equipotencial que se corresponde con el nivel medio de los océanos.
Como ya apuntábamos al principio de este capítulo, la desigual distribu-
ción de las masas continentales, así como la densidad variable de los
materiales que componen nuestro Planeta, hacen que el Geoide no sea
una superficie regular y que, en cambio, presente protuberancias y de-
presiones, apartándose de la superficie regular media en desniveles que
alcanzan hasta los ±100 metros (Fig. 10).
Fig. 10: Modelo tridimensional del geoide en el que se han amplifica-
do sus ondulaciones para una mejor comprensión. Imagen obtenida con ER- Mapper 5.
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la utilización de las ecuaciones matemáticas necesarias, se buscará man-
tener el paralelismo entre el eje menor del elipsoide y el eje de rota-
ción de la Tierra.
En la Fig. 11 vemos la comparación entre las tres superficies es-
tudiadas, es decir, entre la superficie terrestre real, el Geoide y el elip-
soide de referencia.
En topografía, es admisible la sustitución del elipsoide de refe-
rencia por una esfera de radio medio.
Fig. 11: Geoide, elipsoide de referencia y superficie terrestre.
Como decíamos, los trabajos geodésicos llevados a cabo por los
diferentes países han dado lugar a la definición de numerosos elipsoides
de referencia, de forma que las medidas efectuadas por cada país están
referidas al elipsoide elegido, lo que dificulta sobremanera la conexión
de trabajos de ámbito internacional.
Nociones de Geodesia. GPS
Como es lógico, la tendencia desde entonces ha sido la de inten-
tar establecer una cartografía uniforme, referida a un mismo elipsoide.
En este sentido, y haciendo un poco de historia, fue Hayford, en el año
1910, el que estableció un elipsoide para la representación de EEUU,
que fue adoptado en el año 1924 por la Asamblea Internacional de Geo-
desia y Geofísica como elipsoide internacional de referencia , con los
parámetros:
297
1
- 288 , 00
=
=
α
a
Este elipsoide fue perfeccionado con posterioridad gracias a de-
terminaciones obtenidas mediante satélites artificiales, estableciéndo-
se uno con parámetros muy parecidos, que se adoptó como internacio-
nal en 1964, por la Unión Astronómica Internacional, en Hamburgo. Los
parámetros fueron los siguientes:
298 , 25
1
- 160 , 00
=
=
α
a
Pocos años después, en 1967, fue Veis el que, basándose en nue-
vos datos disponibles, estableció unos nuevos parámetros para este elip-
soide. Son los siguientes:
0 , 005 298 , 255
1
- 142 6 m
= ±
= ±
α
a
Nociones de Geodesia. GPS
Tabla 1: Elipsoides de referencia utilizados en cartografía
- Airy 1830 6,377,563.396 6,356,256.909 299.32496 0. Nombre del elipsoide a b α e
- Modified Airy 6,377,340.189 6,356,034.448 299.32496 0.
- Australian National 6,378,160.000 6,356,774.719 298.25000 0.
- Bessel 1841 (Namibia) 6,377,483.865 6,356,165.383 299.15281 0.
- Bessel 1841 6,377,397.155 6,356,078.963 299.15281 0.
- Clarke 1866 6,378,206.400 6,356,583.800 294.97869 0.
- Clarke 1880 6,378,249.145 6,356,514.870 293.46500 0.
- Delambre 1800 6,375,635.000 6,356,564.000 334.00000 0.
- Everest (India 1830) 6,377,276.345 6,356,075.413 300.80170 0.
- Everest (Sabah Sarawak) 6,377,298.556 6,356,097.550 300.80170 0.
- Everest (India 1956) 6,377,301.243 6,356,100.228 300.80170 0.
- Everest (Malaysia 1969) 6,377,295.664 6,356,094.668 300.80170 0.
- Everest (Malay&Sing 1948) 6,377,304.063 6,356,103.039 300.80170 0.
- Everest (Pakistan) 6,377,309.613 6,356,108.571 300.80170 0.
- Modified Fischer 1960 6,378,155.000 6,356,773.320 298.30000 0.
- Helmert 1906 6,378,200.000 6,356,818.170 298.30000 0.
- Hough 1960 6,378,270.000 6,356,794.343 297.00000 0.
- Indonesian 1974 6,378,160.000 6,356,774.504 298.24700 0.
- Hayford 1910 (Interna- 6,378,388.000 6,356,911.946 297.00000 0.
- Krassovsky 1940 6,378,245.000 6,356,863.019 298.30000 0.
- GRS 80 6,378,137.000 6,356,752.314 298.25722 0.
- South American 1969 6,378,160.000 6,356,774.719 298.25000 0.
- Struve 1924 6,378,298.300 6,356,657.100 294.73000 0.
- Walbeck 1819 6,376,896.000 6,355,833.000 302.80000 0.
- WGS 72 6,378,135.000 6,356,750.520 298.26000 0.
Jorge Franco Rey
WGS 84 6,378,137.000 6,356,752.314 298.25722 0.
Tras la definición del elipsoide de referencia, surge la pregunta
sobre la necesidad del mismo y su relación con las observaciones que
se efectúan sobre la superficie terrestre. Debe quedar claro que estas
últimas deberán ser corregidas ( reducción ) y referidas al elipsoide,
pues éste último será la base para la posterior elaboración mapas y pla-
nos. Posteriormente ampliaremos este concepto.
1.3. Ángulo radial de la vertical
Ya sabemos que la Tierra no es perfectamente esférica, sino que
tiene forma elipsoídica debido a la rotación. De no existir ésta, la direc-
ción de la plomada siempre coincidiría con el radio de la Tierra. Como
hemos visto, cada punto de la superficie terrestre está sometido a dos
fuerzas:
- atracción gravitatoria debida a la masa terrestre, en la direc-
ción del centro de gravedad de la Tierra.
- fuerza centrífuga (nula en los polos y máxima en el ecuador),
en la dirección del radio del paralelo imaginario en que se en-
cuentre dicho punto.
La resultante de estas dos fuerzas en cada punto es la ver-
tical (vertical astronómica o vertical física) , que seguirá la dirección
del radio terrestre en el ecuador y en los polos, pero a otras latitudes
formará un ángulo con el mismo, al que se llama ángulo radial de la
vertical. Este ángulo es máximo aproximadamente a los 45º de latitud,
alcanzado un valor de unos 11 minutos. No debemos confundir este
concepto con el de las desviaciones de la vertical, que vemos en el si-
Jorge Franco Rey
1.4. Desviación de la vertical
Se conoce como desviación de la vertical en un punto P del te-
rreno, al ángulo que existe entre la vertical astronómica y la normal al
elipsoide (vertical geodésica).
Fig. 13: Desviación de la vertical
Para el estudio de las variaciones de la vertical astronómica en
función de las variaciones en el valor de la gravedad, se utilizan unos
aparatos especiales denominados clinómetros
(Fig. 14).
Existen diferentes tipos de clinómetros. En la Fig. 14 se muestran dos de ellos, de
larga base, de tipo WT (Water Tube), pues están basados en el principio de los
vasos comunicantes, midiendo la diferencia de inclinación entre dos puntos separa-
dos una distancia determinada. Los clinómetros de corta base suelen ser de péndu-
Nociones de Geodesia. GPS
Fig. 14: Clinómetros de larga base (WT, Water Tube) instalados en el
interior de la Cueva de los Verdes, siguiendo direcciones perpendiculares. Fuente: http://www.mat.ucm.es/deptos/iag/lanzinstacueva.htm
A partir de estas variaciones y del conocimiento de la vertical
geodésica, puede determinarse la desviación entre ambas, mediante la
aplicación de la ecuación de Laplace. La deducción y explicación de
ésta es ciertamente compleja y, desde luego, se sale de los objetivos de
esta obra
.
Los puntos en los que se calcula la desviación de la vertical se
conocen como Puntos de Laplace y tienen gran importancia en Geode-
sia, ya que conociendo las desvi aciones de la vertical en dos puntos, es
posible determinar la separación existente entre el geoide y el elipsoi-
de.
La desviación de la vertical es nula en el Datum geodésico.
lo. Entre ellos caben destacar los tipos VMR y los Ostrovsky, ambos presentes
también en las instalaciones de la Cueva de los Verdes, en la isla de Tenerife.
El tema de la desviación de la vertical y los puntos de Laplace está ampliamente
desarrollado, y con gran claridad en el Manual de Geodesia y Topografía, de Mario
Ruiz Morales (v. bib.).
