Apuntes de Física #1, Ejercicios de Física

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DIN ´AMICA DE LAS PART´ICULAS

Angel de Jes´us Espino Zepeda

Universidad Aut´onoma de Quer´etaro

11 de octubre de 2024

´Indice

• 1. Introducci´on
  • 1.1. Leyes de la Fuerza
  • 1.2. Fuerzas de Fricci´on
  • 1.3. La Din´amica del Movimiento Circular Uniforme
  • 1.4. Ecuaciones del Movimiento: Fuerzas Constantes y No Constantes
  • 1.5. Fuerzas Dependientes del Tiempo: M´etodos Anal´ıticos
  • 1.6. Fuerzas Dependientes del Tiempo: M´etodos Num´ericos
  • 1.7. Fuerzas de Arrastre y el Movimiento de Proyectiles
  • 1.8. Movimiento de un Proyectil contra la Resistencia del Aire
  • 1.9. Marcos No Inerciales y Seudofuerzas
  • 1.10. Limitaciones de las Leyes de Newton
• 2. Metodolog´ıa
  • 2.1. Pregunta
  • 2.2. Pregunta
  • 2.3. Pregunta
  • 2.4. Pregunta
  • 2.5. Pregunta
  • 2.6. Problema
  • 2.7. Problema
  • 2.8. Problema
  • 2.9. Problema
• 3. Conclusi´on
• 4. Bibliograf´ıa

P´endulo c´onico: La relaci´on entre la tensi´on en la cuerda y la fuerza centr´ıpeta es:

T sin θ =

mv^2 r

El rotor: En el rotor, la fuerza normal entre la persona y la pared proporciona la fuerza centr´ıpeta necesaria para mantener el movimiento circular.

Curva peraltada: La fuerza centr´ıpeta en una curva inclinada est´a relacionada con el ´angulo de inclinaci´on θ:

N sin θ =

mv^2 r

1.4. Ecuaciones del Movimiento: Fuerzas Constantes y No Constantes

Para fuerzas constantes, las ecuaciones de movimiento son:

Velocidad: v = v 0 + at Posici´on: x = x 0 + v 0 t + 12 at^2

Para fuerzas no constantes, se requiere resolver ecuaciones diferenciales de la forma:

F (x) = m

d^2 x dt^2

1.5. Fuerzas Dependientes del Tiempo: M´etodos Anal´ıticos

Si la fuerza es una funci´on del tiempo F (t), se resuelve la ecuaci´on diferencial:

m

d^2 x(t) dt^2

= F (t)

1.6. Fuerzas Dependientes del Tiempo: M´etodos Num´ericos

Para fuerzas complicadas o no integrables anal´ıticamente, se usan m´etodos num´ericos como Euler o Runge-Kutta.

M´etodo de Euler vn+1 = vn + an∆t xn+1 = xn + vn∆t

1.7. Fuerzas de Arrastre y el Movimiento de Proyectiles

La fuerza de arrastre que act´ua sobre un objeto en movimiento en un fluido es:

Fd = −

CdρAv^2

donde Cd es el coeficiente de arrastre, ρ es la densidad del fluido, A es el ´area frontal y v es la velocidad.

1.8. Movimiento de un Proyectil contra la Resistencia del Aire

Para un proyectil bajo la influencia de la gravedad y la resistencia del aire, las ecuaciones del movimiento son:

m d^2 x dt^2

CdρAv^2 ˆi

m

d^2 y dt^2 = −mg −

CdρAv^2 ˆj

1.9. Marcos No Inerciales y Seudofuerzas

En marcos de referencia no inerciales, aparecen fuerzas ficticias como:

Fuerza centr´ıfuga: Fcentr´ıfuga = −mω^2 r

Fuerza de Coriolis: FCoriolis = − 2 mω(⃗ ×v⃗ )

1.10. Limitaciones de las Leyes de Newton

Las leyes de Newton no son aplicables en situaciones relativistas o cu´anticas. En el caso relativista:

F =

dp dt

d dt

mv q 1 − v 2 c^2

En el ´ambito subat´omico, donde las part´ıculas obedecen las reglas de la mec´anica cu´antica, las leyes de Newton tambi´en fallan, y se requieren teor´ıas como la mec´anica cu´antica para describir su comportamiento.

2.2. Pregunta 7

Dos superficies est´an en contacto, pero en reposo una respecto a la otra. Sin embargo, cada una ejerce una fuerza de fricci´on sobre la otra. Expl´ıquelo.

Cuando dos superficies est´an en contacto y en reposo relativo, a pesar de no haber movi- miento entre ellas, a´un se ejerce una fuerza de fricci´on conocida como fricci´on est´atica. Esta fuerza de fricci´on est´atica act´ua para evitar el movimiento relativo entre las dos su- perficies. Su funci´on principal es contrarrestar cualquier fuerza externa que intente iniciar el deslizamiento entre las superficies. La fricci´on est´atica no tiene un valor fijo; en cambio, puede variar hasta un m´aximo, que depende del coeficiente de fricci´on est´atica μs y la fuerza normal N que presiona las dos superficies entre s´ı. Este m´aximo se describe por la f´ormula:

fs ≤ μsN

Donde:

fs es la magnitud de la fuerza de fricci´on est´atica, μs es el coeficiente de fricci´on est´atica (que depende de los materiales de las superficies en contacto), N es la fuerza normal, que generalmente es igual al peso del objeto si est´a en una superficie horizontal.

Mientras no haya un intento de movimiento, la fricci´on est´atica simplemente equilibra otras fuerzas aplicadas, como la gravedad en una pendiente o una fuerza externa aplicada lateralmente. Cuando la fuerza aplicada supera el m´aximo valor de la fricci´on est´atica, el objeto comienza a moverse, y la fricci´on est´atica es reemplazada por la fricci´on cin´etica, que generalmente es menor que la fricci´on est´atica. Por lo tanto, aunque las superficies est´an en reposo relativo, la fricci´on est´atica existe para evitar que empiecen a deslizarse una sobre la otra y es proporcional a la fuerza que tiende a provocar el movimiento.

2.3. Pregunta 9

¿Por qu´e los corredores de autos aumentan su velocidad al dar una curva?

Los corredores de autos aumentan su velocidad al dar una curva porque est´an utilizando t´ecnicas que les permiten mantener o incrementar la fuerza centr´ıpeta necesaria para seguir una trayectoria curva sin salirse de la pista. Para entender esto desde un punto de vista f´ısico, se deben considerar las siguientes fuerzas y factores involucrados:

1. Fuerza centr´ıpeta: Para que un autom´ovil mantenga una trayectoria curva, debe actuar una fuerza dirigida hacia el centro de la curva, conocida como fuerza centr´ıpeta.

Esta fuerza es proporcional al cuadrado de la velocidad v del autom´ovil y est´a dada por la siguiente ecuaci´on:

Fc =

mv^2 r donde: Fc es la fuerza centr´ıpeta, m es la masa del autom´ovil, v es la velocidad del autom´ovil, r es el radio de la curva. A medida que el corredor aumenta su velocidad, tambi´en debe incrementar la fuerza centr´ıpeta para mantener la trayectoria curva. Esto puede lograrse mediante la fricci´on entre las llantas y el suelo, o a trav´es de t´ecnicas como tomar la curva en ´angulo (aprovechando el peralte de la curva) o reducir el radio de giro.

2. Fuerza de fricci´on: La fuerza de fricci´on es la que permite que las llantas del au- tom´ovil generen la fuerza centr´ıpeta. A medida que el corredor acelera en la curva, la fuerza de fricci´on debe ser lo suficientemente grande como para evitar que el autom´ovil derrape. Esta fricci´on est´a dada por:

f = μN donde: f es la fuerza de fricci´on, μ es el coeficiente de fricci´on entre las llantas y el pavimento, N es la fuerza normal, que depende de la masa del autom´ovil y del ´angulo de la curva si tiene peralte. Al aumentar la velocidad y aprovechar las caracter´ısticas de la pista (peralte o trazado ´optimo de la curva), los corredores pueden maximizar la fricci´on y, por ende, la fuerza centr´ıpeta.

3. Peralte de la curva: Algunas pistas de carreras tienen curvas con peralte, es decir, la pista est´a inclinada hacia el interior de la curva. Esto permite que parte de la fuerza normal N , que act´ua perpendicular a la pista, contribuya a generar la fuerza centr´ıpeta, lo que permite que los corredores tomen las curvas a mayor velocidad sin perder tracci´on.
4. Trazado ´optimo: Los corredores utilizan un trazado ´optimo en las curvas, conocido como apexing, que consiste en entrar a la curva desde un punto m´as amplio, cortar la curva cerca del v´ertice y salir desde un ´angulo m´as abierto. Esta t´ecnica reduce

Debido a que las gotas grandes tienen mayor masa y, por lo tanto, mayor fuerza gra- vitatoria, alcanzan una velocidad terminal m´as alta que las gotas peque˜nas, las cuales experimentan m´as resistencia relativa al peso. En resumen:

Gotas grandes: Caen m´as r´apido porque tienen mayor masa y alcanzan una mayor velocidad terminal. Gotas peque˜nas: Caen m´as lentamente porque tienen menos masa y la resistencia del aire tiene un efecto m´as significativo en ellas.

Por lo tanto, las gotas de lluvia grandes caen m´as aprisa que las gotas peque˜nas.

2.5. Pregunta 27

Los astronautas que se hallan en un taxi espacial en ´orbita quieren llevan un registro diario de su peso. ¿Puede usted imaginar c´omo podr´ıan hacerlo, considerando que “no tienen peso”?

Los astronautas en un taxi espacial en ´orbita experimentan lo que se conoce como mi- crogravedad, lo que significa que est´an en un estado de ca´ıda libre continua. En este estado, no sienten su peso de la misma manera que en la Tierra, ya que tanto ellos como la nave espacial est´an cayendo hacia la Tierra a la misma velocidad. Sin embargo, pueden llevar un registro de su masa y monitorear cambios en su estado f´ısico utilizando varios m´etodos:

1. Uso de una balanza especial: Aunque los astronautas no puedan medir su peso en la forma tradicional, podr´ıan usar una balanza que funcione en condiciones de microgravedad. Por ejemplo, una balanza de resorte o una balanza que mide la inercia. Al aplicar una fuerza conocida (como empujar o tirar de un objeto), los astronautas pueden medir la resistencia que ofrece su cuerpo y calcular as´ı su masa.
2. Sensores de fuerza: Se pueden utilizar sensores de fuerza o plataformas que midan la reacci´on al empujar o tirar de un objeto. Esto permite a los astronautas calcular su masa a partir de la segunda ley de Newton:

F = ma

donde F es la fuerza aplicada, m es la masa del objeto (en este caso, el astronauta), y a es la aceleraci´on que se impone al objeto.

3. Monitoreo de cambios f´ısicos: Los astronautas pueden llevar un registro de su salud y estado f´ısico, anotando cambios en su masa muscular o en su densidad ´osea, que son m´as relevantes en un entorno de microgravedad. Estos registros pueden com- plementarse con an´alisis m´edicos y estudios de su salud general.

4. Experimentos de flotaci´on: Los astronautas pueden usar experimentos de flotaci´on en los que se comparan su masa con la de objetos de referencia. Por ejemplo, si colocan un objeto conocido en un entorno de microgravedad y lo hacen interactuar con su propio cuerpo, pueden medir la diferencia en comportamiento y deducir su masa a partir de ello.
5. Simulaciones y modelos computacionales: Adem´as de las mediciones f´ısicas, los astronautas pueden utilizar software y modelos computacionales para predecir c´omo su masa y peso podr´ıan cambiar debido a la p´erdida de masa muscular o la densidad ´osea en microgravedad.

Por lo tanto, aunque no puedan medir su peso de la manera tradicional, los astronautas pueden llevar un registro de su masa utilizando balanzas especiales, sensores de fuerza y otros m´etodos que les permiten entender y monitorear su estado f´ısico en un entorno de microgravedad. Estas medidas son importantes para garantizar su salud durante largas misiones espaciales.

2.6. Problema 5

Se usa una barra horizontal para sostener un objeto de 75 kg entre dos muros, como se muestra en la figura. Las fuerzas iguales F ejercidas por la barra contra los muros pueden cambiarse ajustando la longitud de la barra. Al sistema lo sostiene solamente la fricci´on entre los extremos de la barra y los muros. El coeficiente de fricci´on est´atica entre la barra y los muros es de 0 , 41. Halle el valor m´ınimo de las fuerzas F para obtener el equilibrio.

Figura 1: Problema 5

Se nos da un sistema donde una barra horizontal sostiene un objeto de 75 kg mediante la fricci´on con dos muros. El peso del objeto es:

W = m · g = 75 kg · 9 ,81 m/s^2 = 735,75 N

El coeficiente de fricci´on est´atica es μs = 0,41, y la fuerza de fricci´on est´atica m´axima es:

Parte (a): Fuerza m´ınima F para impedir el deslizamiento hacia abajo.

An´alisis de fuerzas Las fuerzas que act´uan sobre el bloque son:

El peso W = mg. La normal N. La fuerza de fricci´on est´atica fs = μsN. La fuerza F que se aplica hacia arriba a lo largo del plano.

La componente del peso paralela al plano es:

W∥ = mg sin(θ)

La componente del peso perpendicular al plano es:

W⊥ = mg cos(θ)

La fuerza normal N se puede expresar como:

N = W⊥ = mg cos(θ)

Sustituyendo N en la expresi´on de la fuerza de fricci´on:

fs = μsN = μsmg cos(θ)

Fuerza de equilibrio

Para que el bloque no se deslice hacia abajo, la suma de las fuerzas en la direcci´on del plano debe ser cero: F + fs − W∥ = 0

Sustituyendo las expresiones:

F + μsmg cos(θ) − mg sin(θ) = 0

Despejando F : F = mg sin(θ) − μsmg cos(θ)

Factorizando mg: F = mg (sin(θ) − μs cos(θ))

Sustituyendo los valores:

F = (7,96 kg)(9,78 m/s^2 ) (sin(22◦) − 0 ,25 cos(22◦))

Calculamos los valores num´ericos:

sin(22◦) ≈ 0 , 3746 cos(22◦) ≈ 0 , 9272

Entonces: F = (7,96)(9,78) (0, 3746 − 0 , 25 × 0 ,9272)

F = (7,96)(9,78) (0, 3746 − 0 ,2318)

F = (7,96)(9,78)(0,1428)

F ≈ 11 ,19 N

Parte (b): Fuerza F necesaria para mover el bloque hacia arriba a velocidad constante.

Para mover el bloque hacia arriba a velocidad constante, la fuerza F debe equilibrar tanto la componente del peso paralela al plano como la fuerza de fricci´on cin´etica fk:

F = W∥ + fk

La fuerza de fricci´on cin´etica es:

fk = μkN = μkmg cos(θ)

Sustituyendo W∥: F = mg sin(θ) + μkmg cos(θ)

Sustituyendo los valores: F = mg (sin(θ) + μk cos(θ))

Sustituyendo μk = 0,15:

F = (7,96)(9,78) (sin(22◦) + 0,15 cos(22◦))

Calculando: F = (7,96)(9,78) (0,3746 + 0, 15 × 0 ,9272)

F = (7,96)(9,78) (0,3746 + 0,1391)

F = (7,96)(9,78)(0,5137)

F ≈ 39 ,33 N

Respuestas

• La fuerza m´ınima F que impedir´a que el bloque se deslice hacia abajo es aproximada- mente 11,19 N.
• La fuerza F necesaria para mover el bloque hacia arriba a velocidad constante es apro- ximadamente 39,33 N.

Parte (b): Radio m´ınimo para tomar una curva sin patinar. La fuerza centr´ıpeta necesaria para que el autom´ovil mantenga la trayectoria circular es:

Fcentr´ıpeta =

mv^2 r La fuerza de fricci´on est´atica m´axima es fs = μsN = μsmg, y para que el autom´ovil no patine:

μsmg =

mv^2 r Cancelando m, resolvemos para el radio r:

r = v^2 μsg Sustituyendo los valores:

• v = 13,33 m/s, - μs = 0,433, - g = 9,78 m/s^2 , tenemos:

r = (13,33 m/s)^2 0 , 433 × 9 ,78 m/s^2

≈ 41 ,95 m

Por lo tanto, el radio m´ınimo para tomar una curva sin patinar es:

r ≈ 41 ,95 m

2.9. Problema 59

Un objeto se deja caer desde el reposo. Halle la velocidad terminal suponiendo que la fuerza de arrastre est´a dada por D = bv^2.

An´alisis

1. Fuerza Gravitacional: La fuerza gravitacional que act´ua sobre el objeto se puede ex- presar como: Fg = mg

donde m es la masa del objeto y g es la aceleraci´on debido a la gravedad.

2. Fuerza de Arrastre: La fuerza de arrastre est´a dada por:

D = bv^2

3. Condici´on de Velocidad Terminal: En la velocidad terminal, la fuerza gravitacional se iguala a la fuerza de arrastre: mg = bv^2 t

donde vt es la velocidad terminal.

Resoluci´on

Despejamos vt en la ecuaci´on anterior:

v t^2 =

mg b

Tomando la ra´ız cuadrada de ambos lados, obtenemos la expresi´on para la velocidad terminal:

vt =

r mg b

Resumen

La velocidad terminal vt de un objeto que se deja caer desde el reposo y que experimenta una fuerza de arrastre dada por D = bv^2 es:

vt =

r mg b

• Esta relaci´on muestra que la velocidad terminal depende de la masa del objeto m y de la constante de proporcionalidad b.
• La velocidad terminal se alcanzar´a cuando la aceleraci´on del objeto se vuelva cero, es decir, cuando la fuerza neta sea cero.

4. Bibliograf´ıa
   1. Resnick, R. (2013). F´ısica (Vol. 1, 5th ed.). Editorial Revert´e.
   2. Serway, R. A., & Jewett, J. W. (2014). F´ısica para ciencias e ingenier´ıa (9ª ed.). Cengage Learning.
   3. Feynman, R. P., Leighton, R. B., & Sands, M. (2010). The Feynman Lectures on Physics, Vol. 1: Mainly Mechanics, Radiation, and Heat. Basic Books.
   4. Alonso, M., & Finn, E. J. (2014). F´ısica: un enfoque basado en la resoluci´on de pro- blemas. Pearson Educaci´on.
   5. Giancoli, D. C. (2014). F´ısica para ciencias e ingenier´ıa (4ª ed.). Pearson Educaci´on.
   6. Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2018). Fundamentos de f´ısica (10ª ed.). Wiley.
   7. Tipler, P. A., & Mosca, G. (2008). F´ısica para la ciencia y la tecnolog´ıa (6ª ed.). Revert´e.
   8. Young, H. D., & Freedman, R. A. (2019). University Physics with Modern Physics (15th ed.). Pearson.
   9. Hewitt, P. G. (2017). F´ısica Conceptual (12ª ed.). Pearson Educaci´on.
5. Alonso, F., & P´aez, J. A. (2017). Introducci´on a la mec´anica cl´asica. Revert´e.
6. Mart´ınez-Garc´ıa, J. C. (2010). Mec´anica cl´asica. McGraw-Hill.