Continuidad de una Función
Determinar los valores de las constantes y , para que
sea continua en todo su dominio.
a b f x
( )
f x
=( )
3
x-
1
2
si x
≤
-
1
2
ax
+ 3
b
si -
1 <
x
< 2
4
x
+ 7
si x
≥
2
Tenemos que para que una función sea continua en
se deben cumplir:
f x
( )
x
=
c
(i) exista,
f c
( )
(ii) existe,
f x
lim
x
⇾
c
( )
(iii)
f x
=
f c
lim
x
⇾
c
( ) ( )
Determinar los valores de a y b requiere estudiar la
continuidad en los puntos donde tiene un cambio de
comportamiento. Estos puntos son y , en estos
puntos vamos a garantizar que los limites laterales existan y
sean iguales.
f x
( )
x
=
-
1
x
= 2
Para
x
=
-
1
Por definición de la función sabemos que para valores de
esta es , siendo un polinomio de
segundo grado y por lo tanto su dominio es , entonces
sabemos que el valor pertenece a su dominio y esta
definido.
x
≤
-
1
f x
=3
x-
1
( ) 2
R
x
=
-
1
f
1=3
-
1
-
1
( ) ( )2
⇒
f
1 = 3 1
-
1( ) ( )
⇒
f
1 = 2( )
De igual forma por definición de continuidad tenemos:
f x
=
f x
=
f x
lim
x
⇾
-
1( ) lim
x
⇾
-
1
-
( ) lim
x
⇾
-
1+( )
f x
=
f x
lim
x
⇾
-
1
-
( ) lim
x
⇾
-
1+( )
3
x-
1=2
ax
+3
b
lim
x
⇾
-
1
-
2lim
x
⇾
-
1+
3 1
-
1 =
-
2
a
+ 3
b
( )
⇒
3
-
1 =
-
2
a
+ 3
b
(Ecuación I)
2 =
-
2
a
+ 3
b
⇒
-
2
a
+ 3
b
= 2
Para
x
= 2
Por definición de la función sabemos que para valores de
esta es , siendo un polinomio de primer
grado y por lo tanto su dominio es , entonces sabemos que
el valor pertenece a su dominio y esta definido.
x
≥
2
f x
= 4
x
+ 7( )
R
x
= 1
f
2 = 4 2 +7( ) ( )
⇒
f
2 = 8 + 7( )
⇒
f
2 = 15( )
De igual forma por definición de continuidad tenemos:
f x
=
f x
=
f x
lim
x
⇾
2 ( ) lim
x
⇾
2
-
( ) lim
x
⇾
2+( )
f x
=
f x
lim
x
⇾
2
-
( ) lim
x
⇾
2+( )
2
ax
+ 3
b
= 4
x
+ 7lim
x
⇾
2
-
lim
x
⇾
2+
2
a
2 + 3
b
= 4 2 + 7( ) ( )
4
a
+ 3
b
= 8 + 7
⇒
4
a
+ 3
b
= 15
(Ecuación II)
4
a
+ 3
b
= 15
Tenemos un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas
-
2
a
+ 3
b
= 2
4
a
+ 3
b
= 15
Multiplicamos por menos la primera ecuación
2
a -
3
b
=
-
2
4
a
+ 3
b
= 15
Sumamos las dos ecuaciones y tenemos
6
a
= 13
⇒
a
=13
6
Sustituimos el valor de a en cualquier ecuación y obtenemos b
-
2+3
b
=2
13
6
⇒
-
+3
b
=2
13
3
⇒
3
b
=2+13
3
3
b
=6 + 13
3
⇒
3
b
=19
3
⇒
b
=19
9
Capitulo 2 - Límite de Funciones y Continuidad
Autor: Ing. A.Hurtado
37
Ejemplo