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Goals
When you have completed
this chapter, you will be
able to:
1 Organize data into a fre-
quency distribution.
2 Portray a frequency distribu-
tion in a histogram, frequency
polygon, and cumulative fre-
quency polygon.
3 Present data using such
graphical techniques as line
charts, bar charts, and pie
charts.
FPO
Objetivos de
aprendizaje
Al concluir el capítulo, será
capaz de:
OA1 Explicar el concepto de
tendencia central.
OA2 Identificar y calcular la
media aritmética.
OA3 Calcular e interpretar la
media ponderada.
OA4 Determinar la mediana.
OA5 Identificar la moda.
OA6 Calcular la media
geométrica.
OA7 Explicar y aplicar
medidas de dispersión.
OA8 Calcular e interpretar la
varianza y la desviación
estándar.
OA9 Explicar el teorema de
Chebyshev y la regla empírica.
OA10 Calcular la media y la
desviación estándar de datos
agrupados.
Descripción de datos
Medidas numéricas
El Derby de Kentucky se celebra el primer sábado de mayo en
Churchill Downs, Louisville, Kentucky. La pista mide una milla y cuarto.
La tabla del ejercicio 82 muestra los ganadores desde 1990, su
margen de victoria, el tiempo del ganador, y las ganancias sobre una
apuesta de 2 dólares. Determine la media y la mediana de estas dos
últimas variables (vea ejercicio 82 y objetivo 4).
3.1 Introducción
En el capítulo 2 iniciamos el estudio de la estadística descriptiva. Para transformar un cúmulo de datos en bruto en algo con significado, organizamos los datos cuantitativos en una distri- bución de frecuencias y después representamos los resultados en una gráfica de barras. De manera similar organizamos los datos cuantitativos en una distribución de frecuencias y los presentamos gráficamente en un histograma. Aprendimos otras técnicas para graficar, como las gráficas de pastel para representar datos cualitativos, y polígonos de frecuencias para representar datos cuantitativos. En este capítulo se presentan dos formas numéricas de describir datos cuantitativos: las medidas de ubicación y las medidas de dispersión. A las medidas de ubicación a menudo se les llama promedios. El propósito de una medida de ubicación consiste en señalar el cen- tro de un conjunto de valores. Usted está familiarizado con el concepto de promedio, medida de ubicación que muestra el valor central de los datos. Los promedios aparecen a diario en televisión, en el periódico y otras publicaciones. He aquí algunos ejemplos:
- La casa promedio en Estados Unidos cambia de dueño cada 11.8 años.
- Un estadounidense recibe un promedio de 568 pie- zas de correspondencia cada año.
- El hogar estadounidense promedio tiene más televi- sores que personas. Hay 2.73 televisores y 2. personas en el hogar típico.
- La pareja estadounidense promedio gasta 20 398 dólares en su boda, mientras que su presupuesto es 50% menor. Esta cifra no incluye el costo de la luna de miel ni del anillo de compromiso.
- El precio promedio de un boleto de teatro en Esta- dos Unidos es de 7.50 dólares, según la Asociación Nacional de Propietarios de Teatros.
Si sólo toma en cuenta las medidas de ubicación de un conjunto de datos o si compara varios conjuntos de datos utilizando valores centrales, llegará a una conclusión incorrecta.
Además de las medidas de ubicación, debe tomar en consideración la dispersión —denomi-
nada con frecuencia variación o propagación— de los datos. Por ejemplo, suponga que el
ingreso anual promedio de los ejecutivos de compañías relacionadas con internet es de $80 000, igual que el ingreso promedio de ejecutivos de compañías farmacéuticas. Si sólo atiende a los ingresos promedio, podría concluir, equivocadamente, que las dos distribuciones de salarios son idénticas o casi idénticas. Un vistazo a los rangos salariales indica que esta conclusión no es correcta. Los salarios de los ejecutivos de las empresas de internet oscilan entre $70 000 y $90 000; en cambio, los salarios de los ejecutivos de marketing de la indus- tria farmacéutica van de $40 000 a $120 000. Por consiguiente, aunque los salarios promedios son los mismos en las dos industrias, hay más propagación o dispersión en los que perciben los ejecutivos de la industria farmacéutica. Para describir la dispersión considere el rango, la desviación media, la varianza y la desviación estándar. En principio se explican las medidas de ubicación. No existe una única medida de disper- sión; de hecho, existen varias. Consideraremos cinco: la media aritmética, la media pondera- da, la mediana, la moda y la media geométrica. La media aritmética es la medida de ubicación que más se utiliza y que se publica con mayor frecuencia, por lo cual se le considerará como parámetro para una población y como estadístico para las muestras.
3.2 La media poblacional
Muchos estudios incluyen todos los valores que hay en una población. Por ejemplo, la tienda de menudeo Reynolds Road, de Carpets by Otto, tiene 12 empleados. El monto promedio de comisiones que ganaron el mes pasado fue de $1 345. Éste es el valor poblacional, puesto
58 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas
OA1 Explicar el concepto de
tendencia central.
Estadística en acción ¿Se ha topado alguna vez con un estadounidense promedio? Pues bien, se llama Robert (nivel nomi- nal de la medición); tiene 31 años (nivel de razón); mide 1.77 metros (otro nivel de razón de la medición); pesa 78 kilo- gramos; calza del 9 ; su cintura mide 85 cm de diámetro y viste trajes talla 40. Además, el hom- bre promedio come 1. kg de papas fritas; mira 2 567 horas el televisor y se come 11.77 kg de plá- tanos al año, además de que duerme 7.7 horas cada noche. La estadounidense pro- medio mide 1.64 metros de estatura y pesa 64 kg, mientras que la modelo estadounidense promedio mide 1.65 metros y pesa 53 kg. Un día cualquiera, casi la mitad de las muje- res en Estados Unidos está a dieta. Idolatrada en la década de los cincuen- ta, Marilyn Monroe se consideraría con sobrepe- so según los estándares de hoy. Usaba vestidos de las tallas 14 a la 18, y era una mujer saludable y atractiva.
½
3.3 Media de una muestra
Como se explicó en el capítulo 1, con frecuencia se selecciona una muestra de la población para estimar una característica específica de la población. Por ejemplo, el departamento de aseguramiento de la calidad de Smucker’s nece- sita cerciorarse de que la cantidad de mermelada de fresa en un recipiente cuya etiqueta indica que contiene 12 onzas, realmente contenga dicha canti- dad. Sería muy costoso y lento revisar el peso de cada recipiente. Por lo tanto, se selecciona una muestra de 20 recipientes, se determina la media de ella, y se utiliza ese valor para calcular la cantidad de mermelada que hay en cada recipiente. En el caso de los datos en bruto, de los datos no agrupados, la media es la suma de los valores de la muestra, divididos entre el número total de valores de la muestra. La media de una muestra se determina de la siguiente manera:
Media de la muestra
MEDIA DE UNA MUESTRA (3-2)
donde:
es la media de la muestra; se lee: X barra.
n es el número de valores de la muestra. X representa cualquier valor particular. ∑ (^) es la letra mayúscula griega sigma e indica la operación de suma. ∑X es la suma de X valores de la muestra.
La media de una muestra o cualquier otra medición basada en una muestra de datos reci- be el nombre de estadístico. Si el peso promedio de una muestra de 10 contenedores de mer- melada de fresa Smucker’s es de 41 onzas, se trata de un ejemplo de estadístico.
ESTADÍSTICO Característica de una muestra.
X
X
X
n
Suma de todos los valores de la muestra Número de valores de la muestra
60 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas
Media de datos no agrupados de una muestra.
Ejemplo SunCom estudia la cantidad de minutos que consumen sus clientes que cuentan con un plan tarifario de cierto teléfono celular. Una muestra aleatoria de 12 clientes arroja la siguiente can- tidad de minutos empleados el mes pasado.
90 77 94 89 119 112 91 110 92 100 113 83
¿Cuál es el valor de la media aritmética de los minutos consumidos?
Solución De acuerdo con la fórmula (3-2), la media muestral es:
El valor de la media aritmética de los minutos consumidos el mes pasado por los usuarios de teléfonos celulares de la muestra es de 97.5 minutos.
Media muestral
X
X
n
90 77 #^ #^ #^83
Suma de todos los valores en la muestra Número de valores en la muestra
3.4 Propiedades de la media aritmética
La media aritmética es una medida de ubicación muy utilizada. Cuenta con algunas propieda- des importantes:
1. Todo conjunto de datos de intervalo —o de nivel de razón— posee una media.
Recuerde del capítulo 1 que los datos del nivel de razón incluyen datos como edades, ingresos y pesos, y que la distancia entre los números es constante.
2. Todos los valores se encuentran incluidos en el cálculo de la media.
3. La media es única. Sólo existe una media en un conjunto de datos. Más adelante en el
capítulo descubrirá un promedio que podría aparecer dos o más veces en un conjunto de datos.
4. La suma de las desviaciones de cada valor de la media es cero. Expresado simbólica-
mente,
Como ejemplo, la media de 3, 8 y 4 es 5. De esta manera:
De esta manera la media es un punto de equilibrio de un conjunto de datos. Para ilustrar- lo, imagine una regla con los números 1, 2, 3, …, 9 uniformemente espaciados. Suponga que se colocaran tres barras del mismo peso sobre la regla en los números 3, 4 y 8 y que el punto de equilibrio se colocara en 5, la media de los tres números. Descubriría que la regla se equi- libra perfectamente. Las desviaciones debajo de la media (3) son iguales a las desviaciones por encima de la media (3). El esquema es:
La media tiene un punto débil. Recuerde que el valor de cada elemento de una muestra, o población, se utiliza cuando se calcula la media. Si uno o dos de estos valores son extrema- damente grandes o pequeños comparados con la mayoría de los datos, la media podría no ser un promedio adecuado para representar los datos. Por ejemplo, suponga que los ingresos anuales de un pequeño grupo de corredores de bolsa en Merrill Lynch es de $62 900, $61 600, $62 500, $60 800 y $1 200 000. El ingreso medio es de $289 560; claro, no es representativo del grupo, ya que todos, salvo un corredor, tienen ingresos entre $60 000 y $63 000. Un ingre- so ($1.2 millones) afecta en exceso la media.
1
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
X
_
( X X ) (3 5) (8 5) (4 5)
( X X ) 0
3.4 Propiedades de la media aritmética 61
La media como punto de equilibrio.
La media se ve afectada en exceso por valores inusual- mente grandes o pequeños.
3.5 Media ponderada
La media ponderada, que constituye un caso especial de la media aritmética, se presenta cuando hay varias observaciones con el mismo valor. Para entender este tema, suponga que el Wendy’s Restaurant vende refrescos medianos, grandes y gigantes a $0.90, $1.25 y $1.50. De las 10 últimas bebidas que se vendieron 3 eran medianas, 4 grandes y 3 gigantes. Para determinar el precio promedio de las últimas 10 bebidas vendidas recurra a la fórmula (3-2).
El precio promedio de venta de las últimas 10 bebidas es de $1.22. Una forma más fácil de calcular el precio promedio de venta consiste en determinar la media ponderada: multiplique cada observación por el número de veces que aparece. La media ponderada se representa como X
w, que se lee: “X subíndice w”.
En este caso, las ponderaciones son conteos de frecuencias. Sin embargo, cualquier medida de importancia podría utilizarse como una ponderación. En general, la media ponderada del conjunto de números representados como X 1 , X 2 , X 3 , …, Xn con las ponderaciones correspon- dientes w 1 , w 2 , w 3 , … , w (^) n, se calcula de la siguiente manera:
MEDIA PONDERADA (3-3)
Que se abrevia de la siguiente manera:
Observe que el denominador de una media ponderada siempre es la suma de las pondera- ciones.
Xw
( wX )
w
Xw
w 1 X 1 w 2 X 2 w 3 X 3 #^ #^ #^ wn Xn
w 1 w 2 w 3 #^ #^ #^ wn
Xw
X
X
3.5 Media ponderada 63
OA3 Calcular e interpretar
la media ponderada.
Ejemplo Carter Construction Company paga a sus empleados que trabajan por hora $16.50, $19.00 o $25.00. Hay 26 empleados contratados para trabajar por hora, 14 de los cuales reciben la tari- fa de $16.50; 10 la tarifa de $19.00 y 2 la de $25.00. ¿Cuál es la tarifa promedio por hora que se paga a los 26 empleados?
Solución Para determinar la tarifa media por hora, multiplique cada una de las tarifas por hora por el número de empleados que ganan dicha tarifa. De acuerdo con la fórmula (3-3), la tarifa media por hora es
El salario promedio ponderado por hora se redondea a $18.12.
Xw
Autoevaluación 3-2 Springers vendió 95 trajes para caballero Antonelli a un precio normal de $400. Durante la venta de primavera rebajaron los trajes a $200 y vendieron 126. Al final de la venta de liquidación, redujeron el precio a $100 y se vendieron los restantes 79 trajes. a) ¿Cuál fue el precio promedio ponderado de un traje Antonelli? b) Springers pagó $200 por cada uno de los 300 trajes. Haga algún comentario sobre la ganancia de la tienda por traje, si un vendedor recibe $25 de comisión por cada uno que vende.
Ejercicios
- En junio, una inversionista compró 300 acciones de Oracle (una compañía de tecnología de la información) a $20 cada una. En agosto compró 400 acciones más a $25. En noviembre compró otras 400 acciones, pero el precio bajó a $23 cada título. ¿Cuál es el precio promedio ponderado de cada acción?
- Bookstall, Inc., es una librería especializada que se dedica a la venta de libros usados por internet. Los libros de pasta blanda cuestan $1.00 cada uno y los de pasta dura, $3.50 cada uno. De los 50 libros que se vendieron el pasado martes por la mañana, 40 eran de pasta blanda y el resto de pasta dura. ¿Cuál fue el precio promedio ponderado de un libro?
- Loris Healthcare System tiene 200 empleados en su personal de enfermería. Cincuenta son auxi- liares de enfermería; 50 enfermeras practicantes, y 100 son enfermeras tituladas. Las auxiliares de enfermería ganan $8 la hora; las enfermeras practicantes $15 y las tituladas $24 la hora. ¿Cuál es el salario promedio ponderado por hora?
- Andrews and Associates se especializa en leyes empresariales. Cobran $100 la hora de investiga- ción de un caso; $75 la hora de asesoría y $200 la hora de redacción de un expediente. La sema- na pasada uno de los socios dedicó 10 horas a dar asesoría a una clienta, 10 horas a investigar el caso y 20 horas a la redacción del expediente. ¿Cuál fue el monto medio ponderado por hora de honorarios por servicios legales?
3.6 Mediana
Ya se ha insistido en que si los datos contienen uno o dos valores muy grandes o muy peque- ños, la media aritmética no resulta representativa. Es posible describir el centro de dichos datos a partir de una medida de ubicación denominada mediana. Para ilustrar la necesidad de una medida de ubicación diferente de la media aritmética, suponga que busca un condominio en Palm Aire. Su agente de bienes raíces le dice que el precio típico de las unidades disponibles en este momento es de $110 000. ¿Aún insiste en seguir buscando? Si usted se ha fijado un presupuesto máximo de $75 000, podría pensar que los condominios se encuentran fuera de su presupuesto. Sin embargo, la verificación de los precios de las unidades individuales podría hacerle cambiar de parecer. Los costos son de $60 000, $65 000, $70 000, $80 000 y de $275 000 en el caso de un lujoso penthouse. El importe promedio aritmético es de $110 000, como le informó el agente de bienes raíces, pero un precio ($275 000) eleva la media aritmética y lo convierte en un promedio no representati- vo. Parece que un precio de poco más o menos $70 000 es un promedio más típico o repre- sentativo, y así es. En casos como éste, la mediana proporciona una medida de ubicación más válida.
MEDIANA Punto medio de los valores una vez que se han ordenado de menor a mayor o de mayor a menor.
El precio mediano de las unidades disponibles es de $70 000. Para determinarlo, ordene los precios de menor ($60 000) a mayor ($275 000) y seleccione el valor medio ($70 000). En el caso de la mediana los datos deben ser por lo menos de un nivel ordinal de medición.
64 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas
OA4 Determinar la
mediana.
Precios ordenados Precios ordenados de menor a mayor de mayor a menor $ 60 000 $275 000 65 000 80 000 70 000 ← Mediana → 70 000 80 000 65 000 275 000 60 000
66 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas
Número de encue
stado
s
Aceite para año
Amor Lamoure Soothing
Smell Nice Far Out
Moda
GRÁFICA 3-1 Número de encuestados que prefieren ciertos aceites para baño
Ejemplo Recuerde los datos con respecto a la distancia en millas entre las salidas en la I-75 que atra- viesa Kentucky. Esa información se repite a continuación.
¿Cuál es la distancia modal?
11 4 10 4 9 3 8 10 3 14 1 10 3 5 2 2 5 6 1 2 2 3 7 1 3 7 8 10 1 4 7 5 2 2 5 1 1 3 3 1 2 1
Solución El primer paso es organizar las distancias en una tabla de frecuencias. Esta tarea le ayudará a determinar la distancia que se presenta más a menudo.
La distancia que se presenta con mayor frecuencia es una milla. Se repite ocho veces, es decir, hay 8 salidas separadas por una milla. Así que la distancia modal entre salidas es una milla. ¿Cuál de estas tres medidas de ubicación (media, mediana o moda) representa mejor la ubicación central de estos datos? ¿Es la moda la mejor medida de ubicación para representar los datos de Kentucky? No. La moda sólo toma en cuenta la escala nominal de medición, y la
Distancia en millas entre salidas Frecuencia 1 8 2 7 3 7 4 3 5 4 6 1 7 3 8 2 9 1 10 4 11 1 14 1 Total 42
En resumen, es posible determinar la moda para todos los niveles de datos: nominal, ordi- nal, de intervalo y de razón. La moda también tiene la ventaja de que no influyen en ella valo- res extremadamente grandes o pequeños. No obstante, la moda tiene sus desventajas, por las cuales se le utiliza con menor frecuen- cia que a la media o la mediana. En el caso de muchos conjuntos de datos no existe la moda, porque ningún valor se presenta más de una vez. Por ejemplo, no hay moda en el siguiente conjunto de datos de precios: $19, $21, $23, $20 y $18. Sin embargo, como cada valor es dife- rente, podría argumentar que cada valor es la moda. Por el contrario, en el caso de algunos conjuntos de datos hay más de una moda. Suponga que las edades de los miembros de un club de inversionistas son 22, 26, 27, 27, 31, 35 y 35. Las edades 27 y 35 son modas. Así, este agrupamiento de edades se denomina bimodal (tiene dos modas). Alguien podría cuestionar la utilización de dos modas para representar la ubicación de este conjunto de datos de edades.
3.7 Moda 67
variable millas se mide utilizando la escala de razón. Se ha calculado que la media es de 4. millas. Vea la página 59. ¿Es la media la mejor medida de ubicación para representar estos datos? Probablemente no. Hay muchos casos en que la distancia entre salidas es larga. Estos valores afectan la media, pues la hacen demasiado grande y no representativa de las distan- cias entre salidas. ¿Y qué hay de la mediana? La distancia mediana es de 3 millas. Esto es, la mitad de las distancias entre salidas son de 3 millas o menos. En este caso, la mediana de 3 millas entre salidas probablemente es una medida más representativa.
Desventajas de la moda.
Ejercicios
- ¿Qué informaría usted como valor modal de un conjunto de observaciones si hubiera un total de: a) 10 observaciones y no hubiera dos valores iguales; b) 6 observaciones, todas iguales; c) 6 observaciones con valores de 1, 2, 3, 4 y 4?
En los ejercicios 18 a 20, determine a) la media, b) la mediana y c) la moda.
- Los siguientes son los números de cambios de aceite de los últimos 7 días en Jiffy Lube, que se ubica en la esquina de Elm Street y Pennsylvania Avenue.
- El siguiente es el cambio porcentual en el ingreso neto del año pasado al presente en una mues- tra de 12 compañías constructoras de Denver.
- Las siguientes son las edades de 10 personas que se encuentran en la sala de videojuegos del Southwyck Shopping Mall a las 10 de la mañana.
Autoevaluación 3-3 1. Una muestra de personas solteras, residentes en Towson, Texas, que reciben pagos por segu- ridad social reveló los siguientes subsidios mensuales: $852, $598, $580, $1 374, $960, $878 y $1 130. a) ¿Cuál es la mediana del subsidio mensual? b) ¿Cuántas observaciones se encuentran debajo de la mediana? ¿Por encima de ella?
- El número de interrupciones de trabajo en la industria del automóvil en meses muestreados son de 6, 0, 10, 14, 8 y 0. a) ¿Cuál es la mediana del número de interrupciones? b) ¿Cuántas observaciones se encuentran por debajo de la mediana? ¿Por encima de ella? c) ¿Cuál es el número modal de interrupciones de trabajo?
41 15 39 54 31 15 33
5 1 10 6 5 12 7 8 2 5 1 11
12 8 17 6 11 14 8 17 10 8
3.8 Solución con software
Con un paquete de software de estadística determine varias medidas de ubicación.
3.9 Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda 69
3.9 Posiciones relativas de la media,
la mediana y la moda
Observe el histograma de la gráfica 3-2. Se trata de una distribución simétrica que también tiene forma de campana. Esta distribución posee la misma forma a cualquier lado del centro. Si el polígono estuviera doblado a la mitad, las dos mitades serían idénticas. En cualquier dis- tribución simétrica, la moda, la mediana y la media siempre son iguales. Son equivalentes a 20 años en la gráfica 3-2. Hay distribuciones simétricas que no tienen forma de campana.
Ejemplo La tabla 2-4 de la página 30 muestra la ganancia que obtuvo Applewood Auto Group el mes pasado por la venta de 180 vehículos. Determine los precios de venta medio y mediano.
Solución Los montos medio, mediano y modal de las ganancias se presentan en el informe de la siguien- te captura de pantalla de Excel (los cuales aparecen resaltados). (Recuerde que las instruccio- nes para crear la salida aparecen en la sección de Comandos de software localizada al final del capítulo.) En el estudio se incluyen 180 vehículos, así que los cálculos con una calculadora resultarían tediosos y propensos a error.
La ganancia promedio es de $1 843.17 y la mediana de $1 882.50. La diferencia entre estos valores es menor a $40, así que cualquiera de estos dos valores es razonable. También es posi- ble ver en la captura de pantalla de Excel que se vendieron 180 vehículos, y que la ganancia total fue de $331 700.00. Más adelante se explicará el significado de error estándar, desviación estándar y otras medidas reportadas en esta salida, en éste y en otros capítulos. ¿Qué podemos concluir? La ganancia típica de un vehículo es de aproximadamente $1 850. La gerencia de Applewood puede usar este valor para realizar la proyección de sus ingresos. Por ejemplo, si la distribuidora puede incrementar el número de ventas en un mes, de 180 a 200, puede obtener una estimación adicional de $37 000 de ganancia, calculada median- te 20($1 850).
En una distribución en forma de campana la media, la mediana y la moda son igua- les.
El número de años correspondiente al punto más alto de la curva es la moda (20 años). Como la distribución es simétrica, la mediana corresponde al punto en el que la distribución se divide a la mitad (20 años). El número total de frecuencias que representan muchos años se encuentra compensado por el número total que representa pocos años, lo cual da como resultado una media aritmética de 20 años. Cualquiera de estas tres medidas sería adecuada para representar el centro de la distribución. Si una distribución no es simétrica, o sesgada, la relación entre las tres medidas cambia. En una distribución con sesgo positivo la media aritmética es la mayor de las tres medidas. ¿Por qué? Porque en ella influyen, más que sobre la mediana o la moda, unos cuantos valo- res extremadamente altos. Por lo general, la mediana es la siguiente medida más grande en una distribución de frecuencias con sesgo positivo. La moda es la menor de las tres medidas. Si la distribución tiene un sesgo muy pronunciado, como en el caso de los ingresos sema- nales de la gráfica 3-3, la media no sería una medida adecuada. La mediana y la moda serían más representativas.
70 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas
Simétrica (cero sesgo)
Años
Frecuencia
Media = 20 Mediana = 20 Moda = 20
y
x
GRÁFICA 3-2 Distribución simétrica
Una distribución sesgada no es simétrica.
Moda $
Frecuencia
Mediana $
Media $
Sesgada a la derecha (sesgo positivo)
Ingreso semanal
y
x
GRÁFICA 3-3 Distribución con sesgo positivo
Por el contrario, si una distribución tiene un sesgo negativo, la media es la menor medi- da de las tres. Por supuesto, la media es sensible a la influencia de una cantidad extremada- mente pequeña de observaciones. La mediana es mayor que la media aritmética y la moda es la más grande de las tres medidas. De nuevo, si la distribución tiene un sesgo muy pronuncia-
3.10 Media geométrica
La media geométrica resulta útil para determinar el cambio promedio de porcentajes, razones, índices o tasas de crecimiento. Posee amplias aplicaciones en la administración y la econo- mía, ya que con frecuencia hay interés en determinar los cambios porcentuales de ventas, salarios o cifras económicas, como el producto interno bruto, los cuales se combinan o se basan unos en otros. La media geométrica de un conjunto de n números positivos se define como la raíz enésima de un producto de n variables. La fórmula de la media geométrica se escribe de la siguiente manera:
72 CAPÍTULO 3 Descripción de datos: medidas numéricas
OA6 Calcular la media
geométrica.
La media geométrica nunca es mayor que la media arit- mética.
MEDIA GEOMÉTRICA (3-4)
La media geométrica siempre es menor o igual (nunca mayor que) que la media aritmética. Todos los datos deben ser positivos. Como ejemplo de media geométrica, suponga que usted recibe 5% de incremento sala- rial este año y 15% de incremento el siguiente. El incremento porcentual anual promedio es de 9.886, no de 10.0. ¿Por qué razón? Comience calculando la media geométrica. Recuerde, por ejemplo, que 5% de incremento salarial equivale a 105%, que se expresa como 1.05.
Este resultado puede verificarse suponiendo que su ingreso mensual fue de $3 000 para comenzar y que recibió dos incrementos de 5 y 15%.
El incremento total de su salario es de $622.50. Esto equivale a:
El siguiente ejemplo muestra la media geométrica de diversos porcentajes.
Ejemplo La recuperación de una inversión que realizó Atkins Construction Company durante cuatro años consecutivos fue de 30%, 20%, 40% y 200%. ¿Cuál es la media geométrica de la recu- peración de la inversión?
Solución El número 1.3 representa 30% de la recuperación de la inversión, que es la inversión^ original^ de 1.0 más la recuperación de 0.3. El número 0.6 representa la pérdida de 40%, que es la inver- sión original de 1.0 menos la pérdida de 0.4. Este cálculo supone que el total de la inversión de cada periodo se reinvierte o se convierte en la base de la siguiente. En otras palabras, la base del segundo periodo es 1.3 y la base del tercer periodo es (1.3)(1.2) y así sucesivamente. En consecuencia, la media geométrica de la tasa de recuperación es de 29.4%, que se determina por medio del siguiente cálculo:
De esta manera, la media geométrica es la raíz cuarta de 2.808. Así, la tasa promedio de recu- peración (tasa de crecimiento anual compuesta) es de 29.4%.
Observe, asimismo, que si calcula la media aritmética [(30 20 40 200) 4 52.5],
obtendrá un número mucho más grande, lo que dispararía la tasa de recuperación real.
Total $622.
Incremento 2 $3 150 (.15) 472.
Incremento 1 $3 000 (.05) $150.
$622.48 que es alrededor de $622.
MG
n
2 ( X 1 )( X 2 ) ( Xn )
MG 1 (1.05)(1.15) 1.
MG
n
2 ( X 1 )( X 2 ) ( Xn )
4
4
Otro modelo de aplicación de la media geométrica se relaciona con la determinación de un cambio porcentual promedio durante cierto periodo. Por ejemplo, si usted ganó $30 000 en 2000 y $50 000 en 2010, ¿cuál es la tasa anual de incremento durante el periodo? Ésta es de 5.24%. La tasa de incremento se determina a partir de la siguiente fórmula.
3.10 Media geométrica 73
En el recuadro anterior, n es el número de periodos. Un ejemplo mostrará los detalles para determinar el incremento porcentual anual.
Ejercicios
- Calcule la media geométrica de los siguientes incrementos porcentuales: 8, 12, 14, 26 y 5.
- Estime la media geométrica de los siguientes incrementos porcentuales: 2, 8, 6, 4, 10, 6, 8 y 4.
- A continuación se enlista el incremento porcentual de ventas de MG Corporation durante los pasa- dos 5 años. Determine la media geométrica del incremento porcentual de ventas en ese periodo.
Autoevaluación 3-5 1. El incremento porcentual de ventas de los pasados 4 años en Combs Cosmetics fue de 4.91, 5.75, 8.12 y 21.60. a) Determine la media geométrica del incremento porcentual. b) Determine la media aritmética del incremento porcentual. c) ¿La media aritmética es igual o mayor que la media geométrica?
- La producción de camiones Cablos se elevó de 23 000 unidades en 2000 a 120 520 unidades en 2010. Calcule la media geométrica del incremento porcentual anual.
Ejemplo Durante la década de los noventa y hasta los primeros años de 2000, Las Vegas, Nevada, fue la ciudad de mayor crecimiento en Estados Unidos. La población se incrementó de 258 295 en 1990 a 607 876 en 2009. Es un incremento de 349 581 personas o 135.3% durante el periodo. ¿Cuál es el incremento anual promedio?
Solución Hay 19 años entre 1990 y 2009, así que^ n^ ^ 19. De esta manera, la fórmula (3-5) de la media geométrica, aplicada a este problema, se transforma en:
El valor de 0.0461 indica que el crecimiento anual promedio durante el periodo fue de 4.61%. Expresado en otros términos, la población de Las Vegas creció a una tasa de 4.61% por año de 1990 a 2009.
TASA DE INCREMENTO
DURANTE EL TIEMPO (3-5)
9.4 13.8 11.7 11.9 14.
MG n
B
Valor al final del periodo
Valor al inicio del periodo
MG
B
19 Valor al final de periodo
Valor al inicio del periodo
B
