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UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS B ´ASICAS
DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICAS
Curso: C
ALCULO II
Profesor: Victor Hugo Gil A. 03 / 10 / 2017
EJERCICIOS # 1
Instrucciones. Primero lea cuidadosa y detalladamente el taller, despu´es, responda de manera clara y ordenada.
Justifique todas las respuestas.
1. Emplear los cinco rect´angulos de la figuras A y
B para determinar dos aproximaciones del ´area de la
regi´on que se encuentra entre la gr´afica de f (x) =
−x
2
+ 5 y el eje x entre x = 0 y x = 2.
2. La gr´afica de f consta de segmentos de recta, como
se muestra en la figura. Evaluar cada integral definida
utilizando f´ormulas geom´etricas.
1
0
−f (x) dx
4
3
3 f (x) dx
7
0
f (x) dx
11
5
f (x) dx
11
0
f (x) dx
10
4
f (x) dx
3. Suponga que f y g son funciones integrables y que
2
1
f (x) dx = − 4 ,
5
1
f (x) dx = 6,
5
1
g(x) dx = 8.
Utilice las propiedades de la integral definida para determinar
2
2
g(x) dx
1
5
g(x) dx
3
1
3 f (x) dx
5
2
f (x) dx
5
1
[f (x) − g(x)] dx
5
1
[4f (x) − g(x)] dx
4. La gr´afica de f consta de segmentos de recta y
un semic´ırculo, como se muestra en la figura. Evaluar
cada integral definida utilizando f´ormulas geom´etricas.
2
0
f (x) dx
6
2
f (x) dx
2
− 4
f (x) dx
6
− 4
f (x) dx
6
− 4
|f (x)| dx
6
− 4
[f (x) + 2] dx
5. Grafique los integrandos y utilice ´areas para evaluar las integrales:
4
− 2
x
3 / 2
1 / 2
(− 2 x + 4) dx
3
− 3
9 − x
2 dx
1
− 2
|x| dx
1
− 1
(2 − |x|) dx
1
− 1
1 − x
2 ) dx
6. Un objeto en el origen en el instante t = 0 tiene ve-
locidad, medida en metros por segundo,
v(t) =
t/ 20 si 0 ≤ t ≤ 40
2 si 40 < x ≤ 60
5 − t/ 20 si t > 60
Haga un bosquejo de la curva velocidad. Exprese la
poci´on del objeto en t = 140 como una interal definida y
ev´aluela mediante f´ormulas de la geomet´ıa plana.
7. Utilice la definici´on de integral definida (sumas de Riemann) para comprobar las siguientes igualdades:
b
a
dx = b − a
b
a
x dx =
(b
2 − a
2 )
b
a
x
2 dx =
(b
3 − a
3 )
8. A diferentes alturas en la atm´osfera de la Tierra, el sonido viaja a distintas velocidades. La velocidad del sonido
s(x) (en metros por segundo) puede modelarse mediante
s(x) =
− 4 x + 341 si 0 ≤ x < 11. 5
295 si 11. 5 ≤ x < 22
x + 278. 5 si 22 ≤ x < 32
x + 278. 5 si 32 ≤ x < 50
x + 404. 5 si 50 ≤ x ≤ 80
donde x es la altura en kil´ometros. ¿C´ual es la velocidad media del sonido sobre el intervalo [0, 80]?
9. Una part´ıcula est´a movi´endose a lo largo de una l´ınea, as´ı, su velocidad es v(t) = t
3 − 10 t
2
por segundo en el tiempo t.
a) ¿ C´ual es el desplazamiento de la part´ıcula en el tiempo 1 ≤ t ≤ 5?
b) ¿ C´ual es la distancia total recorrida por la part´ıcula en el tiempo 1 ≤ t ≤ 5?
10. Use el Teorema Fundamental del C´alculo para calcular las siguientes integrales definidas:
