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Conjuntos equinuméricos
Dos
conjuntos
A
y
B tienen la
misma
cardinalidad (son
equinuméricos)
si-f
: A
B
biyectiva
.
Se denota
como
A
= B
Conjunto
finito
Un
conjunto
a es finito (de cardinalidad nl si J nEIN
tal
que
1Al
=
IINn
Observaciones
Sea
A IN
· A es
finito
·
A
=
IN
Conjunto
infinito
Un
conjunto
es infinito si no es
finito
.
Observaciones
Sea
AB
·
Si
B
es
finito
entonces
A
es
finito
·
Si
A
es
infinito ,
entonces
B
es infinito
Conjunto
numerable
Decimos
que un conjunto
A
es
numerable
si
Al
=
INI
Si A
es
numerable
entonces
A
se
puede
poner
en una lista .
Conjunto
contable
Decimos
que
A
es
contable
si
A
es
finito o
A
es
numerable
.
Podemos
decir
contable
o a lo más numerable.
Teorema
Supongamos que para
cada mEIN
el
conjunto
Am
es
numerable
.
Entonces
, o
m = 1
Am es numerable
Demostración
Como
cada Am es
numerable
,
las
podemos
listar
:
An
= [
,
,
....
3
Az
[ ,
Azz
,
,
Au
= [
,
,
·
..
El mismo
procedimiento
de antes me
permite
ponerlo
en una
lista
.
IN
= Yo
Diagonalización
de
Cantor (Teoremal
El intervalo
,
no es
numerable ·
IR
=
c
Demostración
Por contradicción asumimos que
el intervalo
,
1 es
numerable
·
0
.
1
= {X
,
X ,
X ,
00 ·
3
Escribimos
cada Xj
en su
forma decimal
Xj
= 0 . Aj19jzAjz
.. -
Acuerdo : no
permitimos expresiones
que
terminen en
una cadena
infinita
de
9's
X
=
.
..
Xz
= 0
. 021Azz
23 ...
X
= 0
...
8
Definimos
bj
=
Tomamos
= 0 .
bibzbsba
...,
LE O
,
Debe ser cierto que
C
XKP
. A ,
KEIN
es decir ,
las
representaciones
decimales de
C
y
XK coinciden
Nos fijamos
en la posición
: la
posición
I
de XV es Akk y
la
posición
de
b. Por
lo
tanto
,
A
=
b
&
Por
construcción
de by ,
lo anterior es imposible ·
Por
lo tanto ,
0
,
1 es no
numerable.
Teorema
Sea
A
cualquier
conjunto
. No existe una
función
suprayectiva
de A en
PCA)
(conjunto potencia
de Al
Observación
IN
<
/P(IN)
<
P(P(IN)
...
=>
P(IN)
es no
numerable
Resta
Sea (-a)
el
inverso
aditivo
de
.
Definimos la
resta de b-a
como
sigue
:
b-a
: =
b
(
a)
División
Si af
,
entonces es el inverso multiplicativo
de G .
Definimos
la
división como
sigue
: =ab , si
b
0
b
Potencias
Si nEIN ,
entonces
G
=
A
·
Si
G
,
entonces
= (G-1)n
·
Si a
= 0
,
entonces C
%
Propiedades
.
Si ab
= 0 ,
entonces
a
= 0 o b
= 0
2 .
(ab)
= (
a)b
3 .
= ab
·
=
7 (a
Propiedades
de orden
de
IR .
JPEIR
,
P# que
satisface
·
SigEP
y
beP ,
entonces
atbeP
·
SIgEP y
bEP
,
entonces
abep
·
Tricotomía
Si aEIR
,
entonces
una y
solamente una de las
siguientes
opciones
es verdadera :
i)
a
EP
ii)
aEP
in) a
= 0
Desigualdades
Escribimos
:
·
alb si
b-a
EP
·
by asi alb
·
geb
si ab
a
=
b
·
b
a si
b
Además , se cumplen
las
siguientes
propiedades
·
Si
alb ,
entonces a
c
<
b +
c
·
si alb
y
,
entonces ac ba
·
Si gab
y
,
entonces ac"ba
Teorema
No existe
ningún
número racional c
tal
que
c
= 2
Demostración
Por contradicción , suponemos que
7 a ,
be ,
a ,
b O tal
que
a.
Además , suponemos que
a y
b son primos
relativos
=> a = zb
Entonces
a 2
es par.
Entonces a es par
. Por lo tanto ,
a
= 25 p
. a.
Se
. Sustituyendo
= [b2 = s
= [b = ) zs = b . Entonces b es par
. Entonces ,
es par
.
Como
a y
d son pares
es un
factor común
.
Entonces
no
existe
ningún
racional
c tal
que
c
= Z
Cota
superior
Sea
SER
.
Decimos
que
S
es acotado superiormente
(S está acotado
por
arriba) si
JuEIR tal
que
s
zu
VSES
Además
,
decimos que
o es cota superior
de S
Supremo
Sea
AIR.
Supongamos
que
A
está acotado
superiormente
. Decimos
que
& es el
supremo
de A si
·
a
= 2
VatA
·
Si
atB YaEA
,
entonces
LEB
Proposición
Sea z
una
cota
superior
de A ER
. Los
siguientes
enunciados son
equivalentes
:
· z
=
sup
(A)
Por
lo tanto , G es la
cota superior
más
pequeña
de
AB
esde en
Proposición
Sean
A
y
B
no vacíos.
Si
ab VaEA
,
FbEB
,
entonces
Sup
(A)Einf(B)
Demostración
Sea
bEB
fijo
y
arbitrario. Entonces b es cota
inferior de A
.
Por
lo tanto , sup
A existe Y
Sup
Alb VbEB
Entonces sup
(A)
es cota
inferior
de
B
.
Por definición de
infimo
,
sup
A inf
B
Propiedad
arguimediana
IN
no está acotado en
IR
Demostración
-CEIR tal
que
na VnEIN
.
Por
el axioma del supremo,
sup
IN
=: 2
Entonces U-
no es cota superior
de IN , por
lo tanto ,
meIN tal que
2-m.
Entonces Y mt
. Esto contradice el hecho de que
V
es
mayor
o
igual
que todos los naturales .
· IN no
está acotado
superiormente
en IR
Corolario
(propiedad arquimediana
Sea EEIR
. Si Es ,
entonces -neI tal que n
E
Demostración
Sea
X =.
Por el teorema anterior
,
X no es cota superior
de
IN
E
Entonces -neI
tal
que
Xn , es decir ,
n
LE
E M
Corolario
(propiedad arquimediana)
Si
y 30
,
J
NyEIN
tal
que
My-1-y
<
My
Demostración
Sea Ey
: [mEIN
y
m .
Por
Arquímedes,
Ey
y
por
el
principio
del buen orden de IN ,
MyEIN
tal que
My
es el mínimo de
Ey
.
Notemos que
i
y my
porque
NytEy
in My-Ey porque si
ny-(y,
entonces
My-EEy
,
lo cual
contradice que
hy
era el mínimo elemento de Ey .
Densidad
de Q
Sean
X , y
ElR
.
Si
X
y
,
entonces
-rEQ
tal
que
XL r Y
Demostración
Supongamos
que
X) O
Como
y-X
0
= <
my
=
nx
ny
M
Como nx , por
el corolario anterior , -meIN tal que
m-1nxm
Como
m1nx
=> m
ny
=
nxmmy
= x m
Y
M
Si x
,
entonces
peIN
tal que
X + p
0 (por Arquímedes
=> X +
p(y
p
Por
el caso anterior ,
-reQtal
que
x +
p
<
r
<
y
p
= X
<
r-pLy
r
p
Q
Densidad de
los
irracionales
Sean x , y
EIR
. Entonces JCEIR Q tal que
X
y
Demostración
Por
el
teorema
anterior ,
-reQ tal
que
X
< <
y
.
Podemos
2
suponer
que
r + 0
X <r 24
y y
r2EQ
Nota ,
r
= m .
Sir 2
=
p p
. a .
g
,
m ,
n + 0 ,
entonces
M
2
=
pn
=
29
qm
Proposición
7CEIR
,
,
tal
que
2
= 2
Nota
: la
longitud
de cualquiera de estos intervalos se
define
como b-a .
Si aEIR
,
definimos
·
(a
,
: =
(XEIRa
< x]
·
a ,
:
(xea
=
x)
=
IR
· (-
,
a)
:
(XExa)
·
,
a = = (xEIRX
=
a)
Teorema
(Intervalos)
Sea
SER con al menos dos
elementos tal
que ,
si X , y
ES
,
X-Y ,
entonces X
, Y
S.
Entonces
,
decimos que
S
es un
intervalo
.
Intervalos anidados
Una sucesión (In) de intervalos es anidada si
[7[z
=
[
...
Teorema (Intervalos anidados)
Sea In
= an ,
bn una sucesión
de intervalos
anidados cerrados
y
acotados
.
Entonces :
·
In
0
n = 1
Demostración
Consideremos el
conjunto
A-Sai
,
Az ,
Az
,
bi
es una cota superior
de A
, pues
AnEbi
AnEIN
Sea
C
Sup
A
Afirmación 2
=
bm
AmEI
bz
es una cota superior
de A
, pues
An Ebz
AnEIN
bs es
una cota superior
de
A
, pues
AnEbs
AnEIN
Entonces
L1bi
,
21
b
,
C < Dz
,
...
=>
21bm
Em EIN
=>
An bm Vn
,
mEIN
=> LE An ,
bn UnEIN
=>
CEIn
Int
Corolario (Intervalos
anidados
Sea In
=
[an
,
bn]
una sucesión anidada
de
intervalos cerrados
y
acotados. Si inflbn-an neIN) = 0
,
entonces n
In consiste
de un sólo número .
Demostración
<+
sup
San
neIN
B
=
inf(bm
meIN
Tenemos
An2BEbm
Un
,
meIN
VECO
,
Eno
es cota inferior de Ebn-An neIN
=> -
mEIN tal
que
bm-amE
Pero OLB-a
=
bm-AmE
Como esto es cierto
VECO
, B-
= 0
=> L
B
=>
0
In
=
(2)
=
[B)
n
1
Sucesión
Una sucesión
(real) es una
función X
:
IN
IR
.
En vez de escribir
X :
N/IR
y
X (n)
,
escribimos
(Xn)
y
Xn .
Convergencia
Sea (an) una sucesión. Decimos
que
(an)
converge
a
< sl
VEXO
INEIN
tal
que si
nEN
,
entonces
An-2E
Nota
: si
(An)
converge
,
entonces
converge
a un único número .
Como
el límite
es único ,
podemos
escribir lim An =
l
n
c
Teorema
Sea
(An)
una sucesión que
converge
a
O
.
Si
(Xn)
es una sucesión
talque
NEIN
y
XEIR
que
satisfacen
que
Xn-XCAn
EnEIN
,
entonces (Xn)
converge
y
Xn
·
(an)
(bn)
converge
y converge
a
L.
p
·
((an)
converge
y converge a
C
·
S
.
AnEO
EneIN
y
BFO ,
entonces
(an)
convergey
(bn)
converge
a
C
B
Demostración
Demostración para
la suma de sucesiones
Sea Es ,
entonces :
·
En Ni An-
· E
Un Nz bn-B
<
Sea N
= máx{Ni ,
N
. Si n
N
,
entonces
:
An
B
= an
bn
E
= E
=> (an
bn
2 + B
Demostración para
el producto
de socesiones
Como an C
, entonces
An M UnEIN
Sea Es ,
entonces :
E
·
En Ni An-a
L
2 B
E ·
Un Nz bn-B -IM
Sea N = máx{Ni ,
N
. Si n
N ,
entonces
:
Anbn-(aB
=
Anbn-AntanB-LBAnbn-AnB
AnB-CB
= an
An-B
Ban-
ME +
B
2
E
E = E
2M
2B
22
< (an) (bn)
aß
Demostración
para
multiplicación por
escalar
Sea
E
,
entonces
NEItal que
EnN
an-C
Luego
,
si n N ,
se tiene que
Can-c
=
c an-CE
= E
C
=> c An "C
Demostración
para
división de sucesiones
An
An &
= G
bn bn
B
B
