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Propiedades del^ producto interno
· S ,F= IR
- (^) yv+ w = v (^) + w, u = v, 0 +^ w, u = v, n +^0 , w
2. v, Xw =^ Xw, u =^ X w ,u =^7 u, w
· Si= E · (^0) , Utw^ =^ vtw, u^ =^ v, 0 +^ w, =^ v^ , 0 +^ w, u = 4 , V^
2. v, xw = Xw, 0 = Xw, 0 = Xwu = Xu, w
sesquilineal
Otras propiedades
A
XV =
Xjj,^ V
j
= j = 1
b0. u = (^05) , u = 08 =^0 cv, 0 = v, 08 = 0 = 0
dvu)=^ 07)u^ =^0
esi viv = w, v Vuel, entonces u =^ c
La (^) norma
Sea Vun^ espacio vectorial con producto interno^. Definimos
VII :^ =^ v, s
IlvII (^) es la (^) norma de V. Propiedades de^ las^ normas · 11 XUIl^ =^ 1XIlull
- Il ull (^0). Además lull =^0 v =^0
3. u, u =^ lull IIv/l
(desigualdad de^ Cauchy-Schwartz) · Ilutull^ =^ lull^ +^1 ull^ (desigualdad del^ triángulo
Corolario
· Ilu-ull = llu + c - v)ll = Ilull + 1 - vll = lull + Ilul)
· lull = 10 -v + (^) ull = (^) /lu-vll + (^) lul · 11 wll-1rl = (^) /10 -ull · IIvl-llul = (^) IIv-ul = (^) 10-ull
· Dull-lrll = 10-ull
Ángulo entre^ vectores
Sea V un espacio vectorial sobre IR con producto interno. Sean^ u, v^0.
Definimos el ángulo O^ entre u y v como el único DE O, Il tal^ que
cos 0 = v, v
Ilull Irll
Vectores (^) ortogonales Decimos (^) que u, (^) , v (^) son
ortogonales si^ u,^
v =^0
Conjunto (^) ortogonal Sea S (^) un (^) conjunto de vectores. Decimos (^) que S (^) es (^) un (^) conjunto ortogonal Sl (^) cualesquiera dos^ vectores^ distintos^ en^ S^ son^ ortogonales. Conjunto ortonormal Sea Sun (^) conjunto de vectores. Decimos^ que S^ es un (^) conjunto ortonormal (^) si S^ es un (^) conjunto (^) ortogonal y cada vector de S es de norma Igual a^ (cada^ vector^ es^ unitario. Proposición
Sea S un conjunto ortogonal de vectores distintos de cero. Entonces S
es linealmente^ independiente. Demostración
Sean Vi, V2, ..., NKES. Suponemos que X Vi +^ 12Vzt----XVk =^0
0 = 7 v +^ 12Vet XVk, v,^ = X1 v, v +^ X2 Ven t^ ...^ Xk UN, Un
0 =^ X1 (^) vi 2 , porque^ Ses^ ortogonal. Como Vi FO (^) , entonces X^1 =^0. Análogamente, haciendo^ el^ producto interno con V2, V3 (^) , (^) ..., etc. Obtenemos Xz=^0 , X3 =^0 , (^) ..., Xx =^0. Por lo (^) tanto, Ses linealmente (^) independiente.
Demostración
OESt (^0) , y =^0 VyES Si (^) uve St^ +, y = v (^) , (^) y +^ v, y =^0 +^0 =^0 VytS
·: Cuest
- reSt, xEF Xv, y = X (^0) , y = 10 =^0 fy -St
·: Xuest
Teorema de^ la (^) proyección
Sea V^ unespacio vectorial con producto interno. Sea un subespacio
de de^ dimensión^ finita. Sea^ ye (^) , entonces^ existen^ unos ↓
únicos vectores UEW , zEW-tales que y =^ u + z
Además, si [Vi^ , (^) ..., V Y (^) es una base ortonormal de (^) , entonces
u =
j =^1
Y,Vjvj Demostración Definimos K
U :^ = 7 , Vi Vj, Ot
j=^1 Zi = y - r ↓
Por demostrar que ze
· z
, V
= 0 Vj
z, uj = y -^0 , uj = y , wy
, uj
- j (^) y, usvs, (^) v N = y, Vj
s =^ y,^ Vs vs,^ y^
y, Vj
y, uj Vj,g
y, Vj
y, vj
· Sea we fijo (^) y arbitrario w =^ X, v (^) , +^7282 +^ -^ -^ -^ +^ XkUk z, w^ = z (^) ,^ X1v, +^ X22^ +^ -^ -^ -^ +^ 7kvk^ =^ x1z, vi +^ 72z, v2^ +^.^ +^ Xz, Uk = (^) X1. 0 + 12 - 0 + 0 .. (^) + (^) X. (^0)
Como cu fue^ arbitrario^ ze
I
· Hemos demostrado que existen ue y ze 'tales que y = utz
Para demostrar unicidad,
supongamos que^ y^ = (^) u + (^) z = u + z, donde (^) uue (^) y z , zt => (^) u - u = (^) z - z
u- uz , z-^ zt
=> (^) U-UE^ I
Como
·
= [02 = u -u= 0 = u = 0 = z = z
Corolario
El (^) vector u (^) del teorema de la (^) proyección es el vector de W^ más cercano (^) a (^) y. Es dear, (^) y-u-y-w VweW
Demostración
Como antes I y =^ ufz^ con^ re^ y ze
Sea we
2
y -^ w^ 2 =^ v+z^ -^ w^ =^ unw^ +^ z^ , u^ -we^ , ze
= u - ma + zz= y - u^2
= y-w y uwe
Proyección (^) ortogonal Sea (^) V (^) un (^) espacio vectorial con (^) producto interno. (^) Sea Wun (^) subespacio de
V, W de dimensión finita. Definimos P · S
W P y Y,^ Vj^ Vj^ donde [V, ..., un Y es (^) una base
ortonormal de .^ P^ es la proyección ortogonal sobre^ el^ espacio
Además, p^
2 = p
Corolario Sea S70, S^ subconjunto de^.^ Entonces^ SIS
Si es un subespacio de =
Proceso de
ortogonalización de (^) Gram Schmidt Supongamos EWi, .., cun 3 linealmente (^) independiente. Escogemos Vi :^ =^ WI Sea Vz^ =z-CWi (^) p. a (^).^ CEF O = Ve , Vi^ = We-CW (^) , Wa
, -C^ Wa, W
= Wa (^) , W^.^ -^ C^ Wi, We
Transformación adjunta.
Sea Ti^ una transformación lineal, (^) y espacios vectoriales con (^) sus propios productos^ internos.^ Se^ puede^ demostrar^ que^ existe^ una^ única
transformación linea S :^ tal que TC), w =^ v, S (w)
- VE , WE A S (^) se le (^) llama la (^) adjunta de T.
Proposición
Sea Aman (1R)^. Entonces Ker ((a) =^ Im (LATI Demostración Sea XEIRn XEKer LaCE La(x) =^0 Es^ La(x), (^) y =^0 VyEIRm = X, LAT y = 0 VyEIRe
