¡Descarga Apuntes Álgebra Lineal II (Parte 2) y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!
Demostración
P
. D
.
Im T
=
span
TCB)
T(vile Im
T
T(uz)E Im T
TCun)E Im T
:
T(B)
EIm
T
=
span
T(B)
=
Im
T
=
Sea
we Im T
,
entonces
w
=
T(u)
para algún
ve. Como B es base de
,
, ...,
XnelF tales
que
u
=
X1 vi
X2Vz
+ 7nVn
=
w
=
T(u)
=
T(x+ v ,
X2V
=
11T(vi) + XeT(vz)
--
xnT(vn)
Espan
T(p)
Im TE
Span
T(p)
· Im T
=
span
TCB)
Teorema
de
dimensión
Sean
y espacios
vectoriales
y
sea
T
:
lineal.
Si
es de dimensión
finita
entonces
dim Ker
T
dim ImT
=
dim
Demostración
Sea n
:=
dim
y
K
:
=
dim Ker T
.
Sea [Vi
,
V
...,
vKY una
base de Ker T
.
Por el teorema de
reemplazo
podemos
extender esta
base
a una base de ↑ Vi
, V2 ...,
UK ,
U + 1 ,
UKte ,. .,
Un
· Nota :
si
k
= n
,
entonces T
=
To
,
y
entonces dim ImT
=
0
y
k
o
=
n
Supongamos
que
k
n.
Afirmación
: [T(UK
,
T(UK
, ...,
T(Un)]
es una
base de Im T .
"
Genera
Por la
proposición
anterior
,
span
[T(vi)
,
T(Vz)
, ...,
T(vn)]
=
Im T.
Pero
T(vi)
= 0
T(vz)
= 0
, ...,
T(UK)
=
0
,
pues
[V
,
Ve-- ,
UKl es una base
de Ker
T
=>
Span
[T(ukm)
,
T(Un
,
...,
T(un)Y
=
Im
T
"
Independencia
lineal
Suponemos que
Xk T(um)
Xn
+zT (Vk+
z)
.
XnT(vn)
=
0
=> T
(Xk
Uk
Xnv)
=
=>
Xk
XnunEKer T
Como [V
,
Vz
, ...,
UK
Y es una base
de Ker T
,
M, Mz,
.
.
., MrE
tales
que
k+ Uk + 1
Xx
= -.
7nvn
=
MeV
,
M2Vz
MUk
=
Xk
XnUn-MVitMeret-MUk
= O
Como
[V
.,
Va
...
Un
Y es linealmente
independiente ,
= O
, que
O
....,
ME O
,
xx+ 1
= 0
,
7 k+
z
= 0
, ...
Xn
=
0
=> [T(VK1)
,
TCUz)
,
...,
T(un)]
es linealmente independiente
.
[T(UKH)
,
T(Ukre)
, ...,
T(un)
Y
es una
base de Im T
=>
dim ImT
= n-W
·: dim Ker T
dim
ImT
=
k
n-k
=
n
=
dim
Proposición
Sea
T
:
lineal
.
Entonces KerT
= 503
#T es
inyectiva
.
Demostración
Suponemos que
Ker T
=
[0]
Suponemos
que
T(v)
=
T(V2)
= T
(vi)
T(uz)
= 0
v
,
veEKer T
Como Ker
T
=
,
entonces vi-Vz
vi=Ve
:
T es
inyectiva
Suponemos que
Tes
inyectiva
. Sea
veker T
.
Entonces
T(v)
= 0
,
pero
T(v)
=
0
=
T(O)
=> v
= 0
por inyectividad
·: Her
T
=
503
·
Nota
:
para
demostrar
inyectividad
basta entonces demostrar
que
Ker T
=
[0] o
que
T(v)
= 0 = v
= 0
Teorema
Sean
Y
espacios
vectoriales tales
que
dim-dim
y
sea
T
:
lineal
.
Los
siguientes
enunciados
son
equivalentes
:
9
Tes
inyectiva
b
T
es
suprayectiva
c ran
T
=
dim
d
nul
T
=
Demostración
a
= b
Suponemos que
Tes
inyectiva
.
Por el corolario anterior
,
Ker
T
=
201 .
Entonces
dim
(Im
T)
=
dim
=
dim .
Pero Im T
es un subespacio
de
.
Por lo
tanto
Im
T
=
.
Por
lo tanto
,
Tes
suprayectiva
.
Base
ordenada
sea un
espacio
vectorial de dimensión finita .
Una base
ordenada
de es una
base con un orden
específico
.
Vector coordenado
Sea B
=
(Vi
,
Va
, ...,
unh una
base ordenada
de. Si ve
,
7x
,
, ...,
MetF
tales
que
v
= X1v , + XzVet-
.
Definimos al vector coordenado de v
relativo a
B
Como
X
V
B
·
Xe
·
In
Nota
:
Dada
B
una
base ordenada de
,
la función
Y
:
if
n
es lineal
.
V
VB
Representación
matricial de transformaciones
respecto
a bases
Sea T
:
lineal
y
sean Bi
=
[vi
,
va
...,
un
y
V
=
(wi
,
we , ...,
umy bases
ordenadas de y
respectivamente.
T (vi)
=
Xincuit Xeicuat---
Xmicum
T
(rz)
=
X
Xzzzt-
Xmzwm
.
T(un)
=
Xincuit12ncunt---
Xmn (n
Definimos la
representación
matricial de T con
respecto
a las
bases
ordenadas
B
y
Y
como
sigue
:
111 712
...
Sin
T
=
xei 22
...
Ten
8 ·...
Xma Ame--
Amn
Nota
:
Si T
:
y
S
:
, respectivamente
,
si
T
= s
alineales
y B,
son
bases
ordenadaa
en
y
y
T
B
= S
B
, por
unicidad
,
T
=
U
Suma
de transformaciones
Dados
T
:
y
S
:
lineales
,
definimos
T + U
:
T + S
v
=
Tu + Tv
Multiplicación
transformación
por
escalar
Si XEFF
,
definimos
XT
:
XTv
=
XTv
Teorema
[T
:
Teslineal
?.
Entonces
L
,
es un
espacio
vectorial .
Nota
:
Sean
B
y
Y bases
ordenadas
de
y
respectivamente
.
Definimos
y
4
:
2 Mmyn #F
,
donde n
= dim
,
medim
,
como
UT
= T
p
Teorema
r
es una
transformación lineal
Demostración
P.
D .
4
T
S
=
4T
Sean
B
=
Evi
, Vz ...,
Un]
y
=
Sci
,
we
, ...,
Wa
?
tie tie fin
z
Tvj = tijwi
,
j
=
1
,
2
....,n
T
B
=
te taz-- ten
tie
tme-tun
Sie Siz
3 as
Sin
S(Vj = Sigui , j
,
2
,
S
=
See- San
Se
Soy Sme"-- Sin
T
Svj
=
Tvj
Svj =
tijtSij
wi
t
Ser tie
S12-
FintSin
T
Steitsen
teatsee---
tentsen
=
TB
5
o
%
.
8
tritSmi tmztSme" tint
Smn
tie tie
fin
Sie S12: Sin
=
te taz--- ten
t
=
S
8
. S Se
tie
tme-tun
Soy Sme"-- Sin
Matriz identidad
I
·
...
O
g 1 0 ... O
[Iva
=
1
=
In
,
n
=
d
· %
g
O 0
.
0 -
B
Si d
y
B
no son
la
misma base ordenada
,
I
a
no es
la matric
identidad
Por otro lado
,
si
T
:
y
T c
=
In
,
entonces
T
=
I
Teorema
Sean
y
espacios
vectoriales de dimensión finita ,con
bases ordenadas
B
y
V
respectivamente
. Sea
T
:
una
transformación lineal .
Entonces Vue
Tu
a
=
T VB
Transformación asociada a una
matriz
Sea AEMmxn
(If)
.
Definimos Caiffn
#M
,
La(X)
=
Ax
.
La es una
transformación lineal
.
·
Propiedades
Sea
AEMmxn((F)
y
sean
B
y
U
bases
ordenadas canónicas
de
IF
y
#m
,
respectivamente
. Entonces
:
·
La B
= A
·
LA
=
A
=
B
LA
B
=
LA + LB
·
Si
T
:
Fl es lineal
,
entonces
[CEMmyn(IF) tal
que
T
=
LC
:
SI
AEMmyn(IF)
y EEMnxp(IF) ,
entonces LAE
=
LALE
Si
m
=
n
,
(In
=
Ifn
Transformaciones invertibles
Sean
y espacios
vectoriales
y
sea
T
:
una
transformación
lineal
.
Decimos
que
Tes invertible si
7T"
:
tal
que
TT
=
I
y
TT
=
I
T
es invertible
si
y
solo si
Tes
inyectiva
y
suprayectiva
.
Proposición
Sea T
:
una
transformación lineal
.
Si
Tes invertible
,
entonces
TI
es
una transformación lined
.
Demostración
Sean wi
,
wee
Notemos
que
Ju
,
Nee
tal
que
T
v:
=
Wi
,
T
ve
=
we
T"
Witwe
=
T
"
TV
T Ve
=
T T
Wit
= Vi +
Ve
=
T "C
T
"
We
Sean wt
YeF
Eve
talque
T
* Tu
=
T
1 TXv
=
Xv
=
XT
Wa
·: T
es lineal
Proposición
Sea T
:
lineal
e
invertible
. Entonces es
de dimensión finita
si
y
solo Si es
de dimensión finita .
Además
,
en este
caso
,
dim-dim
Demostración
=>
Asumimos
que
dim
=
n
. Seab
= Evi
,
Ve
...,
uny
una base
de &
Entonces
T B
=
&T vi
,
T ve
, ...,
T
un
Y
genera
Im T
=
Entonces es dedimensión
finita
y
dim
En
,
es
decir
,
dimdim
=
Consideramos
T-
:
·
Aplicando
el caso anterior tenemos
que
si
dim es
finita
,
entonces dim es finita
,
y
además
,
dim
Edim
por
lo
tanto
en
cualquier
caso
tenemos dim-dim
Matriz invertible
AtMnyn
If
es
invertible si
7BEMnxn
. tal
que
AB
=
In
y
BA
=
In
Isomorfismo
Sean
y
espacios
rectoriales.
Decimos
que y
son
isomorfismos si
existe
T
..
tal
que
Tes lineal e invertible.
A
esta
le
llamamos un
Isomorismo
.
Ser isomorfos es una
relación de equivalencia
entre
espacios
vectoriales .
·
Reflexividad
Sea
un espacio
vectorial
,
entonces
I
:
es un
isomorfismo
2 .
Simetría
Suponemos que
es
isomorfo a
.
Entonces
existe
T
:
lineal
e
invertible .
Luego
,
T-
:
es
lineal
e
invertible
=
es
isomorfo
a
Transitividad
Suponemos que
es
isomorfo a
y que
es
isomorfo a .
Entonces existe
T
:
lineal e invertible
,
existe
S
: -
lineal e invertible
.
Entonces ST
:
,
Steslineal e
invertible.
Por
lo
tanto
,
es
Isomorfo a -
Teorema
Sean
,
espacios
vectoriales de dimensión
finita
.
Entonces
y
son
isomorfos si
y
solo
si dim-dim
Demostración
Si
y
sonisomorfos
,
existe
T
:
lineal e invertible. Entonces
dim1-dim
=
Suponemos
dim-dim
. Seab
= (Vi
, Vz, ...,
unh
una
base
de
y
sea
=
Si
,
wz ...
un una
base de Sabemos
que
existe T
:
lineal tal
que TVj
=
j
Im T
=
span
T
=
span
& T
vi
,
T
va
, ...,
T un)
=
span
EW
,
Wa
...,
wil
=-
Tes
suproyectiva
Como
T
:
y
dim
=dim
,
entonces Tes
biyectiva
,
=>
Tesunisomorfismo
,
es
decir
,
y
son
isomorfos
.
Teorema
Sean
Y
espacios
vectoriales
de dimensión n
y
m
,
respectivamente
. Sean
B
y
U
bases ordenadas
de
y
, respectivamente
.
Definimos
:
Mmyn If como
#(T)
=
T.
% es un
isomorfismo
