Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Tipo: Apuntes
1 / 22
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Aplicaciones físicas
Índice
La densidad en cualquier punto de una lámina semicircular de radio a es proporcional a la distancia desde el centro del círculo. Determinar el centro de masa de la lámina.
Solución:
0 , (^23) πa
RESOLUCIÓN. Sin pérdida de generalidad situamos la lámina en el semiplano superior de un sistema carte- siano de modo que el centro del semicírculo coincida con el origen de coordenadas (Figura 2). La función de densidad es entonces de la forma μ(x, y) = k√x^2 + y^2 ((x, y) ∈ D), donde k 6 = 0 es una constante de propor- cionalidad.
Figura 2. Calculamos la masa de la lámina D y sus momentos de primer orden efectuando un cambio a polares: x = r cos θ , y = r sen θ , con |J(r, θ )| = r ( 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ r ≤ a). El valor de la masa será: ∫∫ D^ μ(x,^ y)^ dx dy^ =^ k
∫ (^) π 0 dθ
∫ (^) a 0 r
(^2) dr = ka^3 π
Ya que D es simétrico respecto a x = 0 y el integrando es impar en x: ∫∫ D^ xμ(x,^ y)^ dx dy^ =^0.
Por otra parte: (^) ∫∫
D^ yμ(x,^ y)^ dx dy^ =^ k
∫ (^) π 0 sen^ θ^ dθ
∫ (^) a 0 r
(^3) dr = ka^4
Se concluye que el centro de masa de la lámina está en el punto ( 0 , 3 a/ 2 π).
Una lámina ocupa la parte del disco x^2 + y^2 ≤ 1 en el primer cuadrante. Determinar su centro de masa si la densidad es proporcional al cuadrado de la distancia desde el eje OX para cualquier punto.
Solución: (^1516) π ( 1 , 2 ).
RESOLUCIÓN. La función de densidad es de la forma μ(x, y) = ky^2 ((x, y) ∈ D), donde k 6 = 0 es una constante de proporcionalidad y D = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 } denota la lámina en cuestión (Figura 3).
Figura 3. Calculamos la masa de D y sus momentos de primer orden efectuando un cambio a polares: x = r cos θ , y = r sen θ , |J(r, θ )| = r ( 0 ≤ θ ≤ π/ 2 , 0 ≤ r ≤ 1 ). El valor de la masa será: ∫∫ D^ μ(x,^ y)^ dx dy^ =^ k
∫ (^) π/ 2 0 sen
(^2) θ dθ^ ∫^1 0 r
(^3) dr = kπ
Por otra parte: (^) ∫∫ D^ xμ(x,^ y)^ dx dy^ =^ k
∫ (^) π/ 2 0 sen
(^2) θ cos θ dθ^ ∫^1 0 r
(^4) dr = k 15 , ∫∫ D^ yμ(x,^ y)^ dx dy^ =^ k
∫ (^) π/ 2 0 sen
(^3) θ dθ^ ∫^1 0 r
(^4) dr = k 10 B
= 215 k. Se concluye que el centro de masa de la lámina está en el punto ( 16 / 15 π) ( 1 , 2 ).
Encontrar los momentos de inercia Ix, Iy, I 0 para la lámina D, siendo D la región del primer cuadrante acotada por la parábola y = x^2 y la recta y = 1, y con una densidad dada por la función μ(x, y) = xy.
Solución: Ix = 10 1 , Iy = 16 1 , I 0 = 1380.
RESOLUCIÓN. La región D se muestra en la Figura 5.
Figura 5. Se tiene: Ix =
∫∫ D^ xy
(^3) dx dy =^ ∫^1 0 y
(^3) dy^ ∫^
√y 0 x dx^ =^
∫ (^1) 0 y
(^4) dy = 1 10 ,
Iy =
∫∫ D^ x
(^3) y dx dy =^ ∫^1 0 y dy
∫ √y 0 x
(^3) dx = 1 4
∫ (^1) 0 y
(^3) dy = 1 16 ,
I 0 = Ix + Iy = 1380.
Calcular el momento de inercia del recinto encerrado por la elipse b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2 , z = 0 respecto al eje OY. Considérese la densidad superficial μ constante.
Solución: Iy = 14 a^3 bμπ.
RESOLUCIÓN. Sin pérdida de generalidad suponemos a, b > 0.
Figura 6. Si D denota el recinto encerrado por la elipse en cuestión (Figura 6), se trata de calcular la integral
Iy = μ
∫∫ D^ x
(^2) dx dy.
Para ello efectuamos un cambio a coordenadas polares generalizadas: x = ar cos θ , y = br sen θ , con |J(r, θ )| = abr ( 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ r ≤ 1 ). Se tiene entonces:
Iy = a^3 bμ
∫ (^2) π 0 cos
(^2) θ dθ^ ∫^1 0 r
(^3) dr = 1 4 a
(^3) bμπ.
Hallar el valor promedio de la función
f (x, y, z) = √ 1 + x (^21) + y (^2) + z 2
en el interior de la esfera S = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1 }^.
Solución: √^32 − 32 ln
RESOLUCIÓN. Sea R el sólido encerrado por S, esto es, R = {(x, y, z) ∈ R^3 : x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1 } (Figura 8), y sea V su volumen.
Figura 8. Como es bien conocido, V = 4 π/3. No obstante, podemos calcular V como una integral triple haciendo un cambio a esféricas: x = ρ cos θ sen ϕ, y = ρ sen θ sen ϕ, z = ρ cos ϕ, con |J(ρ, θ , ϕ)| = ρ^2 sen ϕ (0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ ρ ≤ 1), de modo que
∫ ∫ ∫ R^ dx dy dz^ =
∫ (^2) π 0 dθ
∫ (^) π 0 sen^ ϕ^ dϕ
∫ (^1) 0 ρ
(^2) dρ = 4 π 3.^ (1)
Similarmente,
∫ ∫ ∫ R √^ dx dy dz 1 + x^2 + y^2 + z^2 =
∫ (^2) π 0 dθ
∫ (^) π 0 sen^ ϕ^ dϕ
∫ (^1) 0 √^ ρ^2 1 + ρ^2 dρ^ =^4 π
∫ (^1) 0 √^ ρ^2 1 + ρ^2 dρ.^ (2)
Integrando por partes:
∫ (^) ρ 2 √ 1 + ρ 2 dρ = ρ
1 + ρ^2 −
1 + ρ^2 dρ = ρ
1 + ρ^2 −
∫ (^1) + ρ 2 √ 1 + ρ 2 dρ.
OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL
De aquí 2
∫ (^) ρ 2 √ 1 + ρ 2 dρ = ρ
1 + ρ^2 −
∫ (^) dρ √ 1 + ρ 2 ,
o bien
∫ (^) ρ 2 √ 1 + ρ 2 dρ = ρ 2
1 + ρ^2 − (^12)
∫ (^) dρ √ 1 + ρ 2 = ρ 2
1 + ρ^2 − 12 ln
ρ +
1 + ρ^2
Consecuentemente,
∫ (^1) 0 √^ ρ^2 1 + ρ^2 dρ^ =^
ρ 2
1 + ρ^2
0 − 12 ln
ρ +
1 + ρ^2
0 = √^12 − 12 ln
En virtud de (1), (2) y (3), el valor promedio pedido es 1 V
∫ ∫ ∫ R √^ dx dy dz 1 + x^2 + y^2 + z^2 =^
2 ln
Se considera un semicono que forma en el vértice un ángulo de 60o. Hallar el centroide del volumen cortado en dicho semicono por una esfera de radio 2 con centro en el vértice del cono.
Solución:
RESOLUCIÓN. Sea R el volumen en cuestión (Figura 10). Sin pérdida de generalidad suponemos que R tiene densidad 1.
Figura 10. Si referimos R a un sistema de coordenadas cartesianas situándolo en el semiespacio superior de manera que el vértice del cono coincida con el origen y su eje con el eje OZ, criterios de simetría y paridad muestran que su centroide debe estar situado sobre dicho eje; por tanto, sólo necesitamos calcular la tercera componente. A tal fin, efectuamos un cambio a coordenadas esféricas, teniendo en cuenta que en este nuevo sistema de coordenadas la ecuación del semicono es ϕ = π/( 3 · 2 ) = π/6 y la de la esfera, ρ = 2, por lo que las ecuaciones y el jacobiano del cambio son:
x = ρ cos θ sen ϕ, y = ρ sen θ sen ϕ, z = ρ cos ϕ;
|J(ρ, θ , ϕ)| = ρ^2 sen ϕ ( 0 ≤ θ ≤ 2 π, 0 ≤ ϕ ≤ π/ 6 , 0 ≤ ρ ≤ 2 ).
No se pierde generalidad suponiendo que la densidad del sólido R es constantemente igual a 1 (su valor real no afecta al cálculo del centroide). En tal caso, la masa de R coincide con su volumen:
∫ ∫ ∫ R^ dx dy dz^ =
∫ (^2) π 0 dθ
∫ (^) π/ 6 0 sen^ ϕ^ dϕ
∫ (^2) 0 ρ
(^2) dρ = 8 π 3 (^2 −
Por otra parte, (^) ∫ ∫ ∫
R^ z dx dy dz^ =
∫ (^) π/ 2 0 dθ
∫ (^) π/ 6 0 sen^ ϕ^ cos^ ϕ^ dϕ
∫ (^2) 0 ρ
(^3) dρ = π.
Consecuentemente, el centroide de R es el punto ( 0 , 0 , 3 ( 2 + √ 3 )^ / 8 ).
Se considera el sólido homogéneo limitado por las superficies x^2 + y^2 = 4 x, z = 0 y x^2 + y^2 = 4 z. Calcular sus momentos de inercia respecto a los ejes de coordenadas, expresándolos en función de su volumen.
Solución: Ix = 5518 V , Iy = 17518 V , Iz = 809 V.
RESOLUCIÓN. Sea R el sólido en cuestión (Figura 13). Suponemos sin pérdida de generalidad que la densidad es constantemente igual a 1.
Figura 13.
Por simetría y paridad podemos restringir el cálculo del volumen y los momentos de inercia a la porción de R situada en el primer octante y duplicar luego el resultado. Aplicando un cambio a cilíndricas estándar, resulta:
1 2 V^ =
∫ ∫ ∫ R^ dx dy dz^ =
∫ (^) π/ 2 0 dθ
∫ (^) 4 cos θ 0 r dr
∫ (^) r (^2) / 4 0 dz = (^14)
∫ (^) π/ 2 0 dθ
∫ (^) 4 cos θ 0 r
(^3) dr = 42 ∫^ π/^2 0 cos
(^4) θ dθ = 23 B
= 3 π.
2 Ix^ =
∫ ∫ ∫ R^ (y
(^2) + z (^2) ) dx dy dz =^ ∫^ π/^2 0 dθ
∫ (^) 4 cos θ 0 r dr
∫ (^) r (^2) / 4 0 (r
(^2) sen (^2) θ + z (^2) ) dz
=
∫ (^) π/ 2 0 sen
(^2) θ dθ^ ∫^ 4 cos^ θ 0 r
(^3) dr^ ∫^ r^2 /^4 0 dz^ +
∫ (^) π/ 2 0 dθ
∫ (^) 4 cos θ 0 r dr
∫ (^) r (^2) / 4 0 z
(^2) dz
= 4 4 3 B
3 3 B
= 556 π.
OCW-ULL 2011/12 CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL
2 Iy^ =
∫ ∫ ∫ R^ (x
(^2) + z (^2) ) dx dy dz =^ ∫^ π/^2 0 dθ
∫ (^) 4 cos θ 0 r dr
∫ (^) r (^2) / 4 0 (r
(^2) cos (^2) θ + z (^2) ) dz
=
∫ (^) π/ 2 0 cos
(^2) θ dθ^ ∫^ 4 cos^ θ 0 r
(^3) dr^ ∫^ r^2 /^4 0 dz^ +
∫ (^) π/ 2 0 dθ
∫ (^) 4 cos θ 0 r dr
∫ (^) r (^2) / 4 0 z
(^2) dz
= 5 ·^4
3 3 B
= 1756 π.
2 Iz^ =
∫ ∫ ∫ R^ (x
(^2) + y (^2) ) dx dy dz =^ ∫^ π/^2 0 dθ
∫ (^) 4 cos θ 0 r
(^3) dr^ ∫^ r^2 /^4 0 dz = (^14)
∫ (^) π/ 2 0 dθ
∫ (^) 4 cos θ 0 r
(^5) dr = 44 3 B
= 803 π.
De las igualdades anteriores se infiere el resultado requerido.
Dado el sólido R de volumen V limitado por un semicono circular recto de radio a y altura h, se pide hallar:
(a) el centroide de R;
(b) el momento de inercia de R con respecto al eje del cono.
Solución: (a) (x, y, z) =
0 , 0 , 34 h
; (b) Iz = 103 a^2 V.
RESOLUCIÓN. Referimos R a un sistema cartesiano situándolo en el semiespacio superior de manera que su vértice sea el origen de coordenadas y su eje, el eje OZ (Figura 14). Se pide calcular el centroide de R, lo que implícitamente proporciona el dato de que R tiene densidad constante k.
Figura 14. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que k = 1, ya que el valor real de k no afecta al cálculo del centroide y, en caso de que fuese k 6 = 1, la expresión que obtendremos para el momento de inercia permanecería válida sin más que reemplazar en ella el volumen por la masa. Aprovechando la simetría del recinto respecto del eje OZ podemos calcular el volumen V de R cuadruplicando el correspondiente a la porción de R situada en el primer octante. Para resolver la integral triple que resulta haremos un cambio de variables a coordenadas cilíndricas: x = r cos θ , y = r sen θ , z = z, con |J(r, θ , z)| = r. Mediante semejanza de triángulos (ver Figura
r = ah z,
CÁLCULO INTEGRAL VECTORIAL OCW-ULL 2011/
de manera que los límites de integración tras el cambio a las nuevas variables serán: 0 ≤ θ ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ a, hr/a ≤ z ≤ h. Consecuentemente,
V =
∫ ∫ ∫ R^ dx dy dz^ =^4
∫ (^) π/ 2 0 dθ
∫ (^) a 0 r dr
∫ (^) h hr/a^ dz^ =^2 πh
∫ (^) a 0 r
1 − ra
dr = 13 πha^2.
(a) El centroide es el punto (x, y, z) cuyas coordenadas satisfacen
V x =
∫ ∫ ∫ R^ x dx dy dz,^ V y^ =
∫ ∫ ∫ R^ y dx dy dz,^ V z^ =
∫ ∫ ∫ R^ z dx dy dz. Al ser R simétrico respecto de los planos x = 0 e y = 0 y los correspondientes integrandos impares en x e y, respectivamente, las integrales que comparecen en los segundos miembros de las dos primeras igualdades anteriores son nulas; en otras palabras, x = y = 0, lo que coincide con nuestra percepción física de que el centroide debe estar situado sobre el eje OZ. Calcularemos ahora z. Teniendo en cuenta nuevamente la simetría de R respecto de los planos x = 0 e y = 0 junto con la paridad del integrando en las variables x e y, y efectuando un cambio de variables a coordenadas cilíndricas, obtenemos
Mxy =
∫ ∫ ∫ R^ z dx dy dz^ =^4
∫ (^) π/ 2 0 dθ
∫ (^) a 0 r dr
∫ (^) h hr/a^ z dz^ =^ πh
2 ∫^ a 0 r
1 − r 2 a^2
dr = 14 πh^2 a^2 ,
de donde z = (^) V^1 Mxy = 34 h. Se concluye que (x, y, z) =
0 , 0 , 34 h
(b) Aprovechando de nuevo la simetría de R respecto de los planos x = 0 e y = 0 junto con la paridad del integrando en las variables x e y, y efectuando un cambio a cilíndricas en la integral extendida a la porción de R situada en el primer octante, encontramos que el momento de inercia de R respecto a su eje (eje OZ) es
Iz =
∫ ∫ ∫ R^ (x
(^2) +y (^2) ) dx dy dz = 4 ∫^ π/^2 0 dθ
∫ (^) a 0 r
(^3) dr^ ∫^ h hr/a^ dz^ =^2 πh
∫ (^) a 0 r
3 ( 1 − r a
dr = 101 πha^4 = 103 a^2 V.
