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ecuaciones diferenciales, con aplicaciones y si no pero con esto solo pretendo descargar un documento
Tipo: Apuntes
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¡No te pierdas las partes importantes!
En este capítulo consideraremos problemas que dan lugar a algunos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que se estudiaron en el capítulo anterior. En primer lugar, se formulará el problema en forma matemática, y a partir de este se obtendrá la ecuación diferencial correspondiente; después se resolverá la ecuación y se interpretará la solución en términos de las cantidades que intervienen en el problema original. RAZÓN DE CRECIMIENTO Y DE DECRECIMIENTO. Fechado con radiocarbono alrededor de 1950, el químico Willard Libby invento un método que emplea al carbono radioactivo para determinar las edades aproximadas de fósiles. La teoría del fechado con radiocarbono se basa en que el isotopo del carbono 14 se produce en la atmósfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. La razón dice la cantidad de C-14 al carbono ordinario en la atmosfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad proporcional del isotopo presente en todo organismo vivo es igual a la de la atmosfera. Cuando muere un organismo la absorción del C-14, sea por respiración o alimentación, cesa, Así, si se compara la cantidad proporcional del C-14 presente por ejemplo en un fósil, con la relación constante que existe en la atmosfera. Es posible obtener una estimación razonable de su antigüedad. El método se basa en que se sabe que la vida media del C-14 radioactivo es, aproximadamente, 5600 años. Se analizo un hueso fosilizado y se encontró que contenía la milésima parte de la cantidad original de C-14, calcule la edad del fósil EJERCICIOS 1.
a. La ecuación diferencial que representa dicha situación. b. Si se sabe que después de tres horas se observa que se tiene 400 bacterias, y que al cabo de 10 horas hay 200. ¿Cuál es el número inicial de bacterias?
c. La ecuación diferencial que representa dicha situación. d. ¿Qué cantidad de núcleos radiactivos originales estarán presentes después de 450 años? e. ¿En cuánto tiempo quedará solamente la décima parte del número inicial?
despreciable en comparación con toda la población. En otras palabras, la población aumenta en forma aproximadamente continua. Si suponemos, que la razón de cambio de la población es proporcional al número de individuaos en un tiempo, ¿Cuál es el modelo matemático que representa dicha situación? EJERCICIOS 2.
a) Calcule la cantidad reunida al término de cinco años, cuando se depositan $500000 en una cuenta de ahorro que rinde 20% de interés anual compuesto continuamente. b) ¿En cuántos años se habrá duplicado el capital inicial? PROBLEMAS DE MEZCLAS En los problemas relacionados con mezclas, se supone que una sustancia fluye hacia una cierta mezcla de un recipiente, con una cierta rapidez, y la mezcla se mantiene uniforme mediante agitación. Además, la mezcla uniforme deberá salir del recipiente y pasar a otro (en condiciones generalmente diferentes); en todo caso se busca determinar la cantidad de la sustancia presente en la mezcla en cualquier tiempo t. Si se representa por x la cantidad de la sustancia en el tiempo t, ¿cuál es la ecuación diferencial que modela esta situación? EJERCICIOS 3.
de la familia en ángulo recto se llama trayectoria ortogonal de la familia dada. Ejemplo: Consideremos la familia de circunferencias
con centro en el origen y radio c. Cada recta que
Procedimiento para determinar las trayectorias ortogonales de una familia de curvas dadas:
Paso 2: A partir de la ecuación diferencial de la familia de curvas se debe obtener la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales (ortogonal significa perpendicular, es decir, el producto de las pendientes es igual a – 1) ( , ) 1 dx f x y dy =−
Ejemplo1: Demostrar que las trayectorias ortogonales de la familia de circunferencias 2 2 2
Paso1: Se deriva la ecuación 2 2 2
y x dx dy dx dy x y dx dy 2 x + 2 y = 0 , + = 0 , =− Paso 2: A partir de la ecuación diferencial de la familia de curvas se obtiene la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales
Paso 3: Se resuelve ahora la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales, separando variables Lny Lnx Lnk x dx y dy = = + (la constante de integración en este caso nos conviene escribirla como un
Ejemplo 2: Determine las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas
Paso 1: Primero se obtiene la ecuación diferencial de la familia dada
Debemos eliminar el parámetro c, para ello despejamos c en la ecuación 2
reemplazar este valor en la ecuación diferencial
Paso 2: Se determina la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales
Determine las trayectorias ortogonales de cada familia de curvas dada. En cada caso trace algunas curvas de la familia y de sus trayectorias ortogonales. a. 3
b. 2
2 e.
f. 2 3
g. 2
h.
2 2
3 2
k.
l.
n.
que pasa por el punto (0,5).
que pasa por el punto (0,10).
2 sean las trayectorias ortogonales de la familia de elipses
2 2
2
esta ecuación diferencial queda inalterada si sustituimos dx dy por - dx dy
. ¿Qué se puede concluir de tal resultado?
2
2 2