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Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
Una ecuación diferencial es aquella que contiene las derivadas de una o más variables
dependientes con respecto a una o más variables independientes. Una ecuación diferencial
se dice ordinaria cuando la función incógnita sólo depende de una variable independiente.
En contraposición, en las ecuaciones en derivadas parciales la función incógnita depende de
varias variables independientes.
A veces las ecuaciones diferenciales de primer orden se escriben en la forma
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
Por ejemplo, si suponemos que y representa la variable dependiente en (y −x) dx +4x dy =
0 entonces y 0 = dy/dx, y al «dividir» ambos miembros de la ecuación por dx obtenemos la
expresión equivalente 4xy0 +y = x.
En general, una ecuación diferencial de primer orden adopta la forma
F(x,y, y
l
)= 0, o bien
dx
dt
= F ( t , x ) ,donde x=x(t)
Se llama solución de una ecuación diferencial de primer orden a una función derivable con
derivada continua, que al ser sustituida en la ecuación
F(x,y, y
l
)= 0, o bien
dy
dx
= f ( x , y ) , la convierte en una identidad.
Se denomina problema de valores iniciales al problema
F ( x , y , y
l
y
x
0
= y
0
(forma implícita)
y
l
= f
x , y
y ( x
0
)= y
0
(forma explícita)
cuyo objetivo es hallar una solución de la ecuación diferencial que verifique una
determinada condición, en este caso que la función y(x) valga y0 en x = x0.
Geométricamente, en un problema de valores iniciales se trata de hallar una curva plana
que satisfaga la ecuación diferencial considerada y que además pase por el punto (x0, y0).
Físicamente, el problema consiste en determinar la trayectoria descrita por un móvil cuyo
movimiento viene modelizado por la ecuación dada y cuya posición inicial es conocida (de
ahí su denominación), esto es, sabiendo que en el instante t0, el móvil está en el punto x0.
Bajo ciertas hipótesis, los problemas de valores iniciales admiten solución única. La
solución general de una ecuación diferencial ordinaria es una expresión que proporciona
todas las posibles soluciones de la misma. Si la ecuación diferencial es de primer orden, la
solución general depende de una constante arbitraria. Precisamente, dando valores a esa
constante se van obteniendo las diferentes soluciones, conocidas como soluciones
particulares.
y
l
= y
y
RESOLUCIÓN. La ecuación diferencial y 0 = y tiene como solución general la familia de
funciones y = Cex, dondeC es una constante arbitraria. La curva que verifica que y (0) = 3,
es decir, que pasa por el punto (0,3), es y = 3e x. Si cambiamos las condiciones iniciales
exigiendo, por ejemplo, que y (1) = −2, estaremos buscando la curva de la familia que pasa
por el punto (1,−2). Esta curva no es otra que la que se obtiene para C = −2e −1, con lo cual
y = −2e x−1.
Las ecuaciones diferenciales poseen una extraordinaria importancia en las aplicaciones en
todos los campos científico-tecnológicos, porque surgen de forma natural al modelizar
problemas que se presentan en el mundo real. En este tema nos limitaremos a estudiar las
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, que son las que comparecen con
mayor frecuencia en tales aplicaciones.
Ecuaciones con variables separadas
En el caso más simple de la ecuación dy/dx = f(x), es fácil obtener la solución mediante
integración indefinida:
Y =
f ( x ) dx + C
Esta expresión contiene una constante arbitraria que se puede calcular si se conoce el valor
que queda
- Se obtiene así la ecuación diferencial F(x, y, y) = 0 por la pendiente perpendicular
Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior
En una ecuación diferencial lineal de orden n homogénea, el conjunto de soluciones tiene
estructura de espacio vectorial de dimensión n, por lo que basta encontrar n soluciones
linealmente independientes para obtener la solución general. El conjunto de soluciones de
cualquier ecuación diferencial lineal de orden n completa tiene estructura de espacio afín,
que tiene como espacio vectorial asociado el conjunto de soluciones de la ecuación
homogénea asociada. En consecuencia, si se conoce la solución general de la ecuación
homogénea asociada, para tener la solución general de la ecuación completa es suficiente
encontrar un punto de ese espacio afín, es decir, una solución particular de esta ecuación.
Pero incluso en este caso, a veces, resulta difícil encontrar n soluciones linealmente
independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea. Solamente en el caso más
sencillo, en el que los coeficientes de la ecuación son constantes, existe un método general
que permite calcular las soluciones en función de los coeficientes de la ecuación. Si los
coeficientes de la ecuación diferencial son funciones analíticas se pueden obtener
soluciones en forma de series de potencias, y resolver de esta forma muchas ecuaciones
particulares, como las ecuaciones de Legendre y Bessel, que tienen una importancia
especial por sus múltiples aplicaciones en problemas relativos a vibraciones de membranas,
flujos de calor y propagación de corrientes eléctricas.Como en el caso general, las
ecuaciones diferenciales lineales de orden superior no siempre pueden ser resueltas
explícitamente en términos de funciones elementales conocidas, por lo que resulta
necesario determinar las condiciones para poder garantizar la existencia y unicidad de la
solución.
Una ecuación diferencial de orden n se denomina lineal si es lineal respecto a la variable
dependiente y, y a todas sus derivadas hasta el orden n, de modo que se puede expresar de la
forma: P0(x)⋅yn) + P1(x)⋅yn-1) + ... + Pn-1(x)⋅y' + Pn(x)⋅y donde P = G(x) (10.1.1) 0, P1, ..., Pn son
funciones definidas en un intervalo (a, b) de la recta real.
Se denomina problema de valor inicial o problema de Cauchy de la ecuación diferencial de orden n
(10.1.1), al problema que consiste en encontrar una solución ϕ(x) de la ecuación diferencial que
verifique n condiciones iniciales ϕ(x0) = y0, ϕ’(x0) = y1, ..., ϕn-1)(x0) = yn-1, siendo x0 ∈ (a, b), y0,
y1, ..., yn-
El orden de la ecuación anterior L(y) = G(x), que es también el del operador, está
determinado por el valor de n. Los puntos en los que la función P0(x) se anula se
denominan puntos singulares de la ecuación. Estos puntos introducen dificultades en su
resolución y requieren un tratamiento especial por lo que a partir de ahora se supone que
P0(x) ≠ 0 en el intervalo (a, b). En este caso se puede dividir toda la ecuación por P0 y (x) y
expresarla de la forma:
n) + P1(x)⋅yn-1) + ... + Pn-1(x)⋅y' + Pn. El operador lineal asociado L está definido por:
(x)⋅y = G(x). L = Dn + P1⋅Dn-1 + ... + Pn
Cuando los operadores tienen coeficientes constantes las propiedades del operador D
permiten realizar operaciones entre ellos utilizando las mismas reglas que en el caso de
operaciones con polinomios. A continuación se estudian las características especiales de
estos operadores.Sean A y B dos operadores con coeficientes constantes definidos por:
A = a0⋅Dn + a1⋅Dn-1 + ... + an con a0, a1, ..., an B = b
constantes y
0 ⋅Dn + b1⋅Dn-1 + ... + bn con b0, b1, ..., bn
Si a
constantes
0 ≠ 0 y b
La suma A + B, el producto A⋅B y el producto por escalares k⋅B son también operadores
con coeficientes constantes; además se verifican todas las propiedades que tienen las
operaciones con polinomios. Para probar esta afirmación se demuestra que existe una
correspondencia biunívoca entre los operadores con coeficientes constantes de orden n y los
polinomios de grado n, que conservan estas operaciones.
1. Segunda ley de Newton: Esta ley establece la relación entre la fuerza aplicada
sobre un objeto, su masa y la aceleración que experimenta. Matemáticamente, se
expresa como F = ma, donde F es la fuerza neta aplicada sobre el objeto, m es su
masa y a es la aceleración que adquiere el objeto como resultado de la fuerza
aplicada. Esta ley es esencial para comprender cómo los objetos responden a una
fuerzas que actúan sobre ellos y cómo cambian su velocidad en función de estas
fuerzas.
2. Ley de Hooke: Esta ley describe el comportamiento elástico de los materiales,
específicamente para resortes o sistemas elásticos lineales. Establece que la fuerza
necesaria para estirar o comprimir un resorte es directamente proporcional a la
distancia por la cual se estira o comprime. Matemáticamente, se puede expresar
como F=−kx, donde F es la fuerza aplicada, k es la constante del resorte (que
depende de su rigidez), y x es la deformación (la distancia desde la posición de
equilibrio). La ley de Hooke es válida siempre que la deformación no sea excesiva y
el material del resorte se comporte de manera elástica.
Estas leyes son fundamentales para comprender y predecir el comportamiento de sistemas
físicos en diversas situaciones, desde el movimiento de objetos en el espacio hasta la
respuesta de materiales a fuerzas externas.
