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Instituto Universitario de Tecnología: “Antonio José de Sucre”
Asignatura: Matemática I
Profesor: Ing. MSc. Fernando José Rivas
Aplicaciones de la Derivada.
Tangente de la Recta Pendiente a la gráfica de una función en un punto dado
Definición:
Sea F(x) una función real de variable real. La Pendiente de la Recta Tangente a la gráfica de
una función en el punto
[ a , f (a)]
, es la Derivada de esa función evaluada en el punto “a”,
es decir:
m=
df (a)
dx
Donde:
m: pendiente de la recta tangente ala gráfica en x=a
df (a)
dx
: derivada de lafunción evaluada en x=a
Ejemplo 1: Seala función f
x
= 3 x
3
− 8 x
2
Hallar el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de dicha funciónen
x= 6
Primero se debe derivar la función con respecto a la variable x:
df
dx
= 9 x
2
− 16 x+ 5
Luego se evalúa dicha derivada en x=6, es decir:
df ( 6 )
dx
2
Entonces , la pendiente de la recta tangente a la gráfica de F(x) en x = 6 es:
m= 233
Ecuación de la recta tangente usando la fórmula Punto Pendiente.
Sea el punto
P
t
( x
t
, y
t
donde la Recta tangente toca la gráfica de la Función f(x) y sea m la
pendiente de dicha recta, obtenida a través de la derivada mediante el procedimiento
descrito anteriormente, entonces, la ecuación de la recta tangente vendrá dada por:
y − y
t
=m( x−x
t
Donde
x
t
:valor de x del punto donde la recta tangente tocala gráfica de f ( x )
y
t
=valor de la función cuando toma el valor de x
t
Ejemplo 2 : Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función del
ejemplo anterior:
La función será: f
x
= 3 x
3
− 8 x
2
Y
x= 6
De aquí que:
x
t
Y la coordenada y del punto tangente será:
Cuando x = 6 y
t
=f ( 6 ) = 3 ( 6 )
3
2
Es decir : y
t
Por lo tanto, las coordenadas del punto donde pasa la recta tangente será:
P
t
Y del ejemplo anterior se sabe que
m= 233
Entonces la ecuación de la recta tangente será:
y − y
t
=m( x−x
t
( y− 392 )= 233 ( x− 6 )
Ejemplo 4:
Ejemplo 5
Aplicación de la Derivada de una función en la Cinemática
Para los problemas que veremos en esta entrada será necesario recordar algunos
conceptos de la Física relacionados con el Movimiento rectilíneo uniforme que
posiblemente estudiaste en el bachillerato.
Recordemos que la velocidad se encuentra expresada por:
v=
d
t
Esta igualdad modela el movimiento de un punto sobre una recta en una distancia en un
tiempo con una velocidad uniforme
De la ecuación anterior podemos obtener que la distancia es:
d =v ⋅ t
Ahora si consideramos a un par de puntos (d 1
, t
1
) y (d
2
, t
2
)tales que:
d
1
¿ v t
1
d
2
¿ v t
2
Así al sustituir en tendríamos que:
d
2
−d
1
=v (t
2
−t
1
) ⇒ v=
d
2
−d
1
t
2
−t
1
que es justo la velocidad media.
Supongamos ahora que el movimiento ya no es de velocidad uniforme y que la función de
distancia recorrida del punto p en un tiempo t está dada como:
d=d (t )
Por lo que ahora la función de velocidad media de p en un intervalo
[t
1
, t
2
]
se define
como:
Problema 1
Supongamos que tenemos una partícula cuyo movimiento se encuentra modelado por la
función:
d (t )= 4 t
2
− 6 t+ 6
con la distancia expresada en metros y el tiempo en segundos.
Se nos pide encontrar:
1 Su distancia recorrida cuando
- Su velocidad al iniciar su movimiento
- La velocidad alcanzada transcurridos 3 segundos
- La velocidad final a los 5 segundos
- Su aceleración
Solución:
- Veamos que la podemos obtener evaluando la función de movimiento cuando t= 0
d ( 0 )= 4 ¿
- Para la velocidad al iniciar basta derivar d y evaluarla t= 0 con :
v (t)=d
'
(t)= 8 t− 6
v ( 0 )=− 6
m
s
- Evaluemos la función v en t = 3
v ( 3 ) ¿ 8 ( 3 )− 6
m
s
Ahora cuando t= 5 :
v ( 5 ) ¿ 8 ( 5 )− 6
m
s
Observamos con lo anterior que la velocidad es creciente.
Problema 2
Un proyectil es lanzado, tenemos que la función que describe la altura alcanzada al tiempo
t es:
d (t )=− 3 t
2
¿En qué instante alcanza su altura máxima y cuál es su valor?
Solución:
Comenzaremos derivando la función d :
d
'
(t)=− 6 t+ 54
Igualamos a cero para encontrar el máximo:
d
'
(t)= 0 ⇔− 6 t+ 54 = 0
¿ ⇔ t= 9
Aplicando el Criterio de la segunda derivada comprobamos que
se trata de un máximo cuando t = 9 :
d
‘‘
(t)=− 6 < 0
Así para obtener el valor de la altura basta sustituir en la función :
d ( 9 ) ¿
243 m
Problema 3
Tenemos que la distancia recorrida por una partícula se expresa mediante la función:
d (t )= 2 t
3
− 5 t
2
donde consideramos a d en metros y a t en segundos.
¿Cuál es su velocidad cuando:
t= 1
t=
t= 0?
Solución:
Primero obtenemos la función velocidad derivando d:
v (t)=d
'
(t )= 6 t
2
− 10 t+ 10
Ahora evaluamos los valores que nos piden:
Con t= 1
v ( 1 )= 6 ¿
∴ v ( 1 )= 6
m
s
t=
v (
2
∴ v
m
s
t= 0 :
v ( 0 )= 6 ¿
∴ v ( 0 )= 10
m
s
Después de ver estos problemas te dejamos a continuación una lista de ejercicios para
que puedas practicar el tema visto en esta entrada.
donde se está considerando a m expresada en kilómetros y a t en horas.
Se requiere obtener:
Su distancia recorrida cuando
Su velocidad al iniciar su movimiento
La velocidad alcanzada transcurridas 2 horas
La velocidad final a las 6 horas
Su aceleración
