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CENTRO PREUNIVERSITARIO ESTADÍSTICA
UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN CENTRO PREUNIVERSITARIO
TEMA 01: TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIASTEMA 01: TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIASTEMA 01: TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN
CENTRO PREUNIVERSITARIO
UNIVERSIDAD NACIONAL (^) CURSO
ESTADÍSTICA
181
ESTADÍSTICA
Alcance (A): [menor dato; mayor dato] Rango (R): mayor dato - menor dato Intervalo de clase (I ):i [ ; >
Ancho de clase (w ):i w = L - Li s i
Marca de clase (x ):i x =i
Frecuencia absoluta (f ):i número de datos en cada intervalo. Frecuencia absoluta acumulada (F )i F = f 1 1
F = f + f 2 1 2 F = f + f + f 3 1 2 3
Frecuencia relativa (hi): h =i
Frecuencia relativa acumulada (Hi): H =i
límite inferior (L )i
límite superior (L )s
L +Li s 2
...
fi n total dedatos
Fi n
Las características (variables) de una población o muestra, para lo cual se recopilan, organiza, analizan y clasifican los datos a fin de obtener algunas conclusiones.
Términos usados Tablas de distribución de frecuencias
estudia
la variable se clasifica en
tener en cuenta
En una tabla de distribución de frecuencias de k intervalos se cumple lo siguiente:
- f DP hi i
- F DP Hi i
- Sh = 1 = Hi k
- Sf = n = Fi k
son términos usados
Variable: Es la característica por estudiar (peso, edad, talla, etc.) Población: Es el conjunto de t o d o s l o s e l e m e n t o s q u e presentan la característica por estudiar. Muestra: Es una parte de la población que se toma para hacer el estudio.
...
Variable cualitativa
Son variables cuyos valores son cualidades, propiedades o atributos de la población.
Variable cuantitativa
Son variables cuyos valores se obtienen como resultado de medir o contar.
Nominal Ordinal
Discreta Continua
No existen reglas fijas para determinar el número de i n t e r v a l o s. S i s o n m u y pequeños, podría perderse información, y si son muy grandes, podrían producirse irregularidades. Para tener un valor adecuado aproximado se emplea la regla se Sturges: k = 1 + 3,3logn k = número de intervalos n = total de datos
Otra expresión que se puede emplear es k »
ESTADÍSTICA CENTRO PREUNIVERSITARIO
CENTRO PREUNIVERSITARIO^ UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN
- En el siguiente cuadro estadístico, calcule “a + b + m + n”.
A) 6,20 xi fi hi B) 9,30 5 2 0. C) 5,20 10 4 m D) 5,30 15 3 0. E) 4,10 20 a 0. 25 2 n 30 b 0.
- En el siguiente cuadro de frecuencias: Determine la suma de las frecuencias relativas del primer y tercer intervalo de clase.
A) 0,36 I fi B) 0,45 20-30 8 C) 0,50 30-50 9 D) 0,55 50-80 12 E) 0,60 80-90 11
- La siguiente tabla muestra el peso correspondiente de un cierto número de alumnos. Calcule “f2 + f3” y “h3”.
A) 20; 0,10 Peso fi hi B) 30; 0,40 48 18 0. C) 27; 0,30 50 f2 0. D) 35; 0,25 60 f3 h E) 40; 0,27 65 5 h
- Dado el siguiente cuadro estadístico, hallar: “a + b + c” , si los intervalos de clase tienen ancho común:
Intervalos xi fi Fi hi Hi
- 20 20 - 30
- a c 0,
- b 0, 32 - 60
A) 150 B) 160 C) 166 D) 180 E) 156
- Se muestra la distribución de edades de cierto número de personas: Calcular “m+n+p” :
Intervalos xi fi hi Fi 20-32 40 32-44 15 0, 44-56 m 0,25 p 56-68 n
A) 120 B) 135 C) 150 D) 144 E) 160
- Se tiene la siguiente tabla de frecuencias, cuya distribución es simétrica. El ancho de clase es constante.¿Cuántos datos habrá en elintervalo [12 , 18>?
A) 14 Intervalo fi Fi hi B) 18 - 7 C) 20 12 - 10 D) 24 - E) 28 - 21 35
- En la siguiente tabla, hallar la cantidad de datos que hay entre 34 y 54.
A) 50 Intervalos fi B) 51 12-24 18 C) 52 24-36 18 D) 53 36-48 36 E) 54 48-60 24 60-72 27
P R Á C T I C AP R Á C T I C AP R Á C T I C A
182
- En la siguiente tabla de distribución de frecuencias de 50 empleados ¿Cuántos trabajadores tienen entre 64 y 86 años?
A) 12 Intervalos fi Fi hi B) 24 48-60 0. C) 16 60-72 32 D) 18 72-84 0. E) 20 84- 96-108 4
- En una fábrica se ha medido la longitud de 1000 artículos con las mismas características y se ha obtenido la siguiente información: Si se consideran aceptables (buenos) los artículos con longitudes (en mm) que están en el intervalo [75; 86] , ¿qué tanto por ciento del total de artículos son defectuosos?
A) 90% Intervalos fi B) 92,5% 67,5 - 72,5 20 C) 10% 72,5 - 77,5 80 D) 87,5% 77,5 - 82,5 790 E) 90,5% 82,5 - 87,5 100 97,5 - 92,5 10
- El siguiente cuadro muestra lo que genera por día un grupo de obreros en una empresa Si: h2 = h3, ¿qué tanto por ciento de obreros gana entre S/. 16 y S/. 29?
A) 52% Intervalos fi hi Hi B) 40% 10 - 15 0. C) 35% 15 - 20 D) 60% 20 - 25 0. E) 57% 25 - 30 40 30 - 35 0.
- Se tiene la siguiente tabla de distribución referente a las edades de 20 empleados. ¿Qué tanto por ciento tienen menos de 36 años o no menos de 42 años?
A) 24 % Intervalos fi hi B) 36 % 24 - 30 0. C) 48 % 30 - 36 3 D) 60 % 36 - 42 0. E) 65 % 42 - 48 4 48 - 54
- La tabla muestra la distribución del ingreso familiar correspondiente a 80 familias Determine el número de familias que gana menos de S/. 200.
A) 66 Intervalos fi Fi hi B) 76 160 - 170 C) 70 170 - 180 48 60 D) 50 180 - 190 0. E) 54 190 - 200 0. 200 - 210
- Completar el siguiente cuadro de distribución de frecuencias de las notas de 16 alumnos en un examen de Estadística. Calcule “a + b + d”.
A) 15,5 Notas fi hi Hi Fi B) 17,5 4 q C) 11,5 m 0.25 a D) 14,5 4 p E) 16,5 n 0.125 d Q 0. Totales b
ESTADÍSTICA CENTRO PREUNIVERSITARIO
CENTRO PREUNIVERSITARIO^ UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN
184
- Se registra las edades de 600 alumnos del CPU y se clasifican en 5 intervalos de un mismo ancho, si la menor edad es 15 años, Calcule que tanto por ciento de los alumnos tienen entre 17 y 23 años.
li fi hi [ - > ab 0. [ - > mb(m+1) 0. [ - > 108 [ - > 54 [ - 30] pqq
A) 50% B) 52% C) 54% D) 56% E) 60%
- Dado el siguiente cuadro estadístico, halle (X3 + f4).h2 si los intervalos de clase tienen ancho común.
li Fi hi Hi [37 - > 28 [ - > 0. [ - > 0. [ - 65 > 200
A) 36,2 B) 35,9 C) 34,5 D) 36,9 E) 34,
- En una planta de producción de productos lacteos, el jefe de producción a puesto a prueba a 40 obreros para estudiar el tiempo de ensamblaje de un nuevo producto lácteo, obteniendo los siguientes resultados.
li fi [30 - 35 > 10 [35 - 40> 6 [40 - 45> 10 [45 - 50> 10 [50 - 55> 4
Se puede concluir. I. El 25% de los obreros ensamblan el producto en menos de 35 minutos. II. El 60% de los obreros requiere a lo más 45 minutos para ensamblar el nuevo producto III. El 60% de los obreros requiere al menos 40 minutos para ensamblar el equipo.
A) VVV B) VFV C) VVF D) FVV E) FFV
- Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias, Calcule la suma del limite inferior del segundo intervalo con el limite superior del cuarto intervalo, si los intervalos de clase tienen el mismo ancho.
li fi Fi [ - > 32 [ mn - > [ - > 120 [ - > 4m [ - > 5(n+1) [ - (n-1)mn> 45 200
A) 148 B) 156 C) 164 D) 184 E) 132
- Los ingresos mensuales de una muestra de pequeños comerciantes se tabularon en una distribución de frecuencias simétrica de 5 intervalos de igual amplitud, resultando: Ÿ ingreso mínimo s/ 125 Ÿ marca de clase del cuarto intervalo s/ 265
Si el 8% de los ingresos son menores que s/ 165 y el 15% de los ingresos son menores a s/ 185. ¿Qué porcentaje de ingresos son superiores a s/ 275?
A) 22% B) 11,5% C) 10,5% D) 22,5% E) 14,5%
- Dada la siguiente tabla de distribución simétrica donde se observa los sueldos de los empleados del Hospital Regional de Huacho. Calcule el porcentaje del total de trabajadores que recibe entre S/900 y S/1200.
li fi Hi [600 - > 5m [ - > 0. [ - > [ - 1500> 3m [ - >
A) 30% B) 32% C) 34% D) 36% E)38%
- Dado el siguiente cuadro de frecuencias, respecto a la nota de 50 alumnos, se observa que al completarlo el ancho de clase es constante e igual a 2. ¿Qué tanto por ciento de alumnos desaprobados hay, si se sabe que la nota mínima aprobatoria es 10?
li Xi fi [ - > a - 5 [ - > w [ - 8 > c [ - > w w [ - > a a - 5
A) 42% B) 88% C) 62% D) 58% E) 45%
- Se han medido mediante pruebas adecuadas los coeficientes intelectuales de un grupo de 80 estudiantes de la Facultad de Medicina estando los resultados agrupados en 6 intervalos de amplitud constante. Si el alcance es 60 y las frecuencias relativas acumuladas son: H1 = 0,20; H2 = 0,30; H3 = 0,50; H4 = 0,70; H5 = 0,85. Además el valor máximo es 70. Calcule (F5 + F3 - X2). h
A) 16.6 B) 12.6 C) 15.6 D) 11.8 E) 0.
CENTRO PREUNIVERSITARIO ESTADÍSTICA
UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN CENTRO PREUNIVERSITARIO
TEMA 03: GRÁFICOS ESTADÍSTICOSTEMA 03: GRÁFICOS ESTADÍSTICOSTEMA 03: GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
Es la representación de un fenómeno estadístico por medio de figuras geométricas con dimensiones proporcionales a la magnitud de los datos representados
Tipos de gráficos
Para datos agrupados
Histograma
4
20
30
10 20 30 40
Peso
Número de alumnos
Polígono de frecuencias
4
20
30
10 20 30 40
Peso
Número de alumnos
Ojiva
4
20
30
10 20 30 40
Peso
Número de alumnos
Para datos no agrupados
Gráfico de barras
Gráfico de líneas
Gráfico de sector o pastel
Gráfico de barras simples
Gráfico de barras compuestas
Gráfico de barras superpuestas
Vivienda 15%
Educación 40%
Salud 10%
Alimentación 35%
20
32
36
10 12 13 14
Edad (años)
40
20
10 4
Número de alumnos
Edad (años) 16 18 20
40
10 Edad (años) Enero Febrero
Varón Mujer
Número de alumnos
25 20
40 Meses Enero Febrero
Varón Mujer
Número de alumnos
50
70
- En el siguiente pictograma:
Se tiene que a, b y c están en progresión aritmética decreciente, y en total hay 540 personas, ¿cuántas personas hay en M ó P?
A) 200 B) 240 C) 250 D) 270 E) 300
P R Á C T I C AP R Á C T I C AP R Á C T I C A
- El siguiente pictograma muestra las preferencias de 880 estudiantes sobre los cursos de Matemática (A , X , G , T) y ciencias (F y Q).
Calcule : (a+ b - 3c + d)
A) 140 B) 116 C) 104 D) 110 E) 98
c° b°
a°
P
N
M
Q
G
A
F
Q
T
X
a%
b° 30°
d°
60°
c%
a ( 2 (%
185
CENTRO PREUNIVERSITARIO ESTADÍSTICA
UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN (^) CENTRO PREUNIVERSITARIO (^187)
- En el siguiente gráfico de pastel, se muestran las preferencias de cierto número de personas por las revistas A, B, C y D. Si los que prefieren las revistas B y D son los 4/5 del número de personas que prefieren las revistas A y C. Calcule:
A) 70 B) 72 C) 74 D) 78 E) 80
- El siguiente gráfico muestra la preferencia de 30 alumnos por los siguientes deportes baloncesto (B), fútbol (F), natación (N) y vóley (V).
¿Cuántos alumnos practican natación? A) 7 B) 2 C) 4 D) 3 E) 8
- En el siguiente diagrama de barras muestra los resultados de los gastos de personas, según una encuestadora.
¿Cuántas personas gastan desde s/ 192 hasta s/ 280? A) 70 B) 59 C) 60 D) 66 E) 82
- Los 800 alumnos que se matricularon el año pasado, en la UNJFSC en las carreras de medicina (M), derecho (D), ingeniería (I) y otras (O), se distribuyeron según muestra el gráfico circular. ¿ Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)?
I) La frecuencia relativa del grupo de medicina es de 10%. II) La frecuencia relativa del grupo de ingeniería es de 30% III) El 60% de los alumnos prefirió derecho u otras carreras.
A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
- El gráfico circular nos indica la distribución del total de alumnos de las únicas aulas: “Sapitos”, “Tigres”, “Gatitos” y “Leones”, del colegio “José Faustino Sánchez Carrión”
En cada una de las siguientes afirmaciones indicar si esta es verdadera(V) o falsa( F); marque la secuencia correcta. I. El aula “Leones” tiene 8 alumnos más que el aula “Gatitos”. II. El promedio aritmético del número de alumnos de las aulas “Tigres” y “Leones” es 17,5. III. El promedio geométrico del número de alumnos de las aulas “Sapitos”, “Tigres” y “Leones” es 5 √
3
A) FVF B) FVV C) FFV D) FFF E) VVV
- El gráfico muestra la superficie de los 5 océanos del mundo 2 en millones de Km .¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera (s)? I) La superficie del océano Pacífico es 10 veces la superficie del océano Ártico. II) El promedio de las superficies es aproximadamente 80 2 millones de Km. III) El océano Atlántico y el océano Pacífico cubren más del 70% de la superficie de los océanos.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III
N
V
F
B
a 2a 3a 4a
Gastos(S/)
n° de personas
O
120 D
M
I
“Gatitos” 10 alumnos
“Leones” 40% “Tigres” 30%
“Sapitos” 10%
Pacífico
Océanos
n° de personas
Atlántico
Índico Antártico
Ártico
3
5 b°
4b°
a°
A
B
C
D
b+a
V
ESTADÍSTICA CENTRO PREUNIVERSITARIO
CENTRO PREUNIVERSITARIO^ UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN
188
TEMA 04: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: PROMEDIOTEMA 04: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: PROMEDIOTEMA 04: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: PROMEDIO
MEDIA ARITMÉTICA (x) :
La media aritmética es un concepto matemático usado en estadística. También llamada promedio o simplemente media , se obtiene con la suma de un conjunto de valores dividida entre el número total de sumandos.
Dados los n números {x , x , …, x } la 1 2 n media aritmética se define como:
Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y 2 es igual a:
Se utiliza la letra x con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la media de una muestra ( x ), mientras que la letra μ (mu) se usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable.
Propiedades Las principales propiedades de la media aritmética son: Ÿ Su cálculo es muy sencillo y en él intervienen todos los datos. Ÿ Su valor es único para una serie de datos dada. Ÿ Se usa con frecuencia para comparar poblaciones, aunque es más apropiado acompañarla de una medida de dispersión.
MEDIA GEOMÉTRICA (MG):
De una cantidad arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto de todos los números; es recomendada para datos de progresión geométrica, para promediar razones, interés compuesto y números índice.
Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es la raíz cuadrada del producto de ambos.
MH = √2. 18 = √36 = 6
Otro ejemplo, la media geométrica de 1, 3 y 9 sería la raíz cúbica del producto de los tres números.
MH = √1. 3. 9 = √27 = 3
MEDIA ARMÓNICA (MH):
De una cantidad finita de números es igual al recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos valores y es recomendada para promediar velocidades. Así, dados n números {x , x , …,x } la media armónica será igual a: 1 2 n
La media armónica resulta poco influida por la existencia de determinados valores mucho más grandes que el conjunto de los otros, siendo en cambio sensible a valores mucho más pequeños que el conjunto.
PARA DATOS AGRUPADOS
MEDIA:
Ÿ n: Total De Datos Ÿ k: Total De Intervalos Ÿ f : Frecuencia Absoluta Simplei Ÿ x : Marca De Clasei
Ejemplo: En la siguiente tabla, se muestra la distribución del ingreso correspondiente a 20 familias con un ancho de clase común. Determine la media.
Ii fi [10 -12> 5 [12 -14> 4 [14 -16> 6 [16 -18> 1 [18 -20> 4
Solución:
I (^) i x (^) i f (^) i x ∙ fi i [10 -12> 11 5 55 [12 -14> 13 4 52 [14 -16> 15 6 90 [16 -18> 17 1 17 [18 -20> 19 4 76 n=20 ∑x ∙ f = 290i i
x = x =i
n Σ
n
i=
x 1 + x 2 + ... + xn n
x = = 5
π
n MH = x =i x 1. x 1 ... xn i=
n
n
2 2
3 3
MH = =
Σ
n
i=1 x^1
n^ n 1 x 2
xi
x = x. fi i
n Σ
k
i=
x = = n 20
Σx. fi i (^290)
x = 14,
ESTADÍSTICA CENTRO PREUNIVERSITARIO
190 CENTRO PREUNIVERSITARIO^ UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN
- Los empleados de Plaza del Sol se han clasificado según los años de servicio, donde el más antiguo tiene 37 años en la empresa y el más joven 17 años laborando. Se obtiene una distribución de 5 intervalos con igual ancho de clase, siendo l a s f r e c u e n c i a s a b s o l u t a s : 1 6 , 2 4 , 2 0 , 4 0 y 2 0 respectivamente. Calcular la media
A) 28,3 B)27,8 C) 33, 6 D) 29,8 E)27,
- De un grupo de madres de familia de la I. E. Mercedes Indacochea Lozano, se sabe que ninguna tiene más de 60 años y una de ellas es la menor posible. El promedio aritmético de ellas es 54 y la media armónica entre la menor edad y cualquiera de las otras es 40. ¿Cuántas personas conformaban dicho grupo?
A)6 B)5 C)8 D)9 E)
- En la Facultad de Ingeniería Industrial de la UNJFSC , la nota promedio del curso de Estadística Industrial de las aulas A y B son 14 y 18, respectivamente. La sección B 1/3 del número de alumnos que tiene A. Si la relación se invierte. ¿En cuánto aumenta la nota promedio al juntar las dos secciones?
A)4 B)1 C)5 D)3 E)
TEMA 05: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MODATEMA 05: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MODATEMA 05: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MODA
¿Qué es la moda en estadística?
La moda estadística de un conjunto de datos, se define como el número que está representado más veces dentro de esos datos, es decir, aquel número que presenta una mayor frecuencia absoluta dentro de la muestra.
¿Cómo se calcula la moda?
La moda puede ser calculada tanto para variables cuantitativas como para variables cualitativas.
Tipos de Moda Estadística
Podemos distinguir distintos tipos de moda estadística, en función del número de números que se repitan una misma cantidad de veces, siendo ese número de repeticiones, el máximo del conjunto. Dicho así parece algo complicado, pero es un término mucho más simple de lo que pueda parecer.
Vamos a entenderlo mucho mejor con los siguientes ejemplos:
MODA UNIMODAL:
Cuando el máximo número de repeticiones se da para un solo número.
Ejemplo conjunto de datos:
[ 3, 5, 5, 6, 8 ]
La moda del conjunto es 5 porque se repite en dos ocasiones, mientras que el resto de números se repiten únicamente una vez.
MODA BIMODAL:
Cuando el máximo número de repeticiones se da para dos números.
Ejemplo conjunto de datos:
[ 3, 5, 5, 6, 8, 8 ]
La moda del conjunto sería 5 y 8 porque ambos números se repiten en dos ocasiones, mientras que el resto de números se repiten únicamente una vez.
MODA MULTIMODAL:
Cuando el máximo número de repeticiones se da para tres o más números.
Ejemplo conjunto de datos:
[3, 3, 5, 5, 6, 8, 8, 9 ]
La moda del conjunto en este caso serían tres números, porque los tres se repiten el mismo número de veces: 3, 5, 8.
CENTRO PREUNIVERSITARIO ESTADÍSTICA
UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN (^) CENTRO PREUNIVERSITARIO (^191)
Moda de datos agrupados
Para obtener la moda en datos agrupados se usa la siguiente fórmula:
Donde:
L (^) i = Límite inferior de la clase modal.
D 1 = Es la diferencia entre la frecuencia absoluta modal y la frecuencia absoluta premodal.
D 2 = Es la diferencia entre la frecuencia absoluta modal y la frecuencia absoluta postmodal.
A (^) i = Amplitud del intervalo modal.
Mo = L +i Ai
D 1
( D + D 1 2 (
- Dados las siguientes notas de un grupo de estudiantes de la Facultad de Medicina Humana del I ciclo en la asignatura de Biología General : 07 09 08 05 13 13 09 08 05 14 16 08 09 11 12 11 08 11 10 08 15
Calcular la moda. A) 09 B) 09 C) 05 D) 13 E) 08
- Dada la tabla de distribución de frecuencias que muestra las edades de las pacientes que acuden al Hospital Regional de Huacho al servicio de Ginecología
Edades fi 34 12 36 11 38 10 40 14 42 15
Calcular la moda
A)38 B)40 C)42 D)34 E)
- Considerando el siguiente histograma de las notas de un grupo de estudiantes de Ingeniería Civil en el curso de ANÁLISIS MATEMÁTICO III.
Calcular la Moda.
A) 9,21 B) 9,6 C) 9,81 D) 10,2 E) 11,
- En una tabla de distribución de frecuencias simétrica , el numero de soles que recibe de propina un alumno semanalmente posee 5 intervalos con ancho de clase constante. Se cumple que : w = 2 ; x 4 = 24 ; H 3 = 0,60 ; H4 = 0,90. Calcule el mayor valor de la moda.
A)23,67 B)27,5 C)22,25 D)25,34 E)26,
- En una tabla de frecuencias se muestra los pesos en gramos de queso agrupados en 5 intervalos de clase con ancho común. En el segundo intervalo: [140; 160[ , había 10 datos. El 20% del total de los datos se encuentra en el tercer intervalo. Las frecuencias relativas del cuarto y quinto intervalo son iguales. Calcular Mo, si 16 son mayores a 160? Se ha estudiado 60 datos. A)131,5 B)131,7 C)131,9 D)132,1 E)132, 6. La cantidad de turistas que visitan las playas de Huanchaco en el verano 2023 se presenta en la siguiente tabla :
Ii fi Fi [56–62> 10 [62–68> m 2m [68–74> n p [74–80> m+n [80–86> 15 15p/
Calcular la moda
A)76 B)77 C)78 D)79 E)
- Completar la siguiente tabla de frecuencias siendo el ancho de clase común.
Intervalos fi hi Hi [ 132 – > 0, [ – > 0, [ – > 13 [ – 216 > 17
Calcular la moda
A)195 B)196 C)197 D)198 E)
- En el Hospital Regional de Huacho se atiende a los pacientes y en el servicio de triaje, se obtuvo los siguientes pesos de un grupo de niños; donde la tabla de distribución es simétrica :
Ii fi Fi hi [ – > 6 [34 – > [ – > 2/ [ – 46> 36 [ – >
El ancho de clase es constante. Hallar la suma de la media y la moda.
A)74 B)78 C)70 D)84 E)
- En el siguiente diagrama escalonado se muestra la distribución de las personas según sus edades , que habitan en el edificio Grau. Calcular la moda más la séptima parte del número total de personas.
A)22, B)25, C)25, D)24, E)23,
P R Á C T I C AP R Á C T I C AP R Á C T I C A
Edad (años)
N° de personas
81
30
10 14 18 22 26
91
69
Notas
%
20
8
4 8 12 16 20
40
16
30
45
CENTRO PREUNIVERSITARIO ESTADÍSTICA
UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCHEZ CARRIÓN (^) CENTRO PREUNIVERSITARIO (^193)
TEMA 06: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIANATEMA 06: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIANATEMA 06: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIANA
Mediana (Me) La mediana o valor mediano, es el número de en medio; se encuentra al ordenar todos los puntos de datos y elegir el que está en medio (o si hay dos números en medio, tomar la media de esos dos números).
a) Mediana de datos no tabulados:
Ejemplo: i) Si el número de datos es impar: La mediana es el dato central de los datos ordenados. Sean los datos: 17; 31; 24; 18; 60; 5; 56
Resolución: Ordenamos los datos en forma creciente: 5; 17; 18; 24; 37; 56; 60 Me = 24
ii) Si el número de datos es par: Se ordenan los datos en forma creciente (o decreciente) y la mediana será la semisuma de los datos centrales.
Ejemplo: Sean los datos: 26; 8; 46; 34; 18; 62. Hallar la mediana.
Resolución: Ordenamos los datos: 8; 18; 26; 34; 46; 62 términos centrales: 26 y 34
La mediana será: Me = = 30
b) Mediana de datos tabulados:
En este caso, la mediana se calcula por tabulación:
Ejemplo: Dada la siguiente distribución de frecuencias:
Ii [6;16> [16;26> [26;36> [36;46> [46;56> fi 10 16 20 9 5
Hallar la mediana.
Resolución: Hallamos el número de datos: n = 10 + 16 + 20 + 9 + 5 = 60
Hallamos la mitad de los datos (n/2): = 30
Hallamos la clase a la que pertenece la mediana. Vemos que: f = 10; f = 16 y f + f = 26 1 2 1 2
Luego, el dato 30 está en la tercera clase.
De los 20 datos, solo necesitamos 4 de ellas, para hallar la mediana empleamos tabulación:
∴
M (^) e = Li (^) me + wme
n 2 - Fme - 1
( fme - 1 (
f : 20 3 4
Me
Me = 26 + 4 (36 - 26) = 28 20
∴ La mediana es 28
- En una familia de 5 integrantes ( mamá , papá y sus hijos ), el promedio de sus edades es 26 años, la mediana es 16 y la moda es 13. Halle la edad de la madre si esta es menor por 4 años que su esposo.
A) 38 B) 39 C) 40 D) 41 E) 42
- Se tiene 4 cantidades cuya moda es 7, su mediana es 9 y su media es 10. Calcular la media armónica de las dos cantidades mayores.
A) 12,69 B) 12,67 C) 12,65 D) 12,63 E) 12,
- Dada la siguiente sucesión:
32 ; 43 ;54 ; 65 ; 76 ; ……; 2452
Calcular la suma de la mediana y el número de términos
A)14,67 B)1466 C)1465 D)1464 E)
- Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias con ancho de clase constante:
Ii xi fi Fi [ - > 37 19b [ - > 31b [ - > 53 72b [ - > 37b [ - > 140b
Halle la mediana. A)56,29 B)56,27 C)56, D)56,23 E)56,
- Dada la siguiente distribución de frecuencias, según el numero de meses que han estudiado 140 personas en un colegio:
Meses fi Fi [ 19 – > 17 [ – > 3p [ – 34 > 4p [ – > 9p [ – > 23
Calcular la mediana. El ancho de clase es constante.
A)31,93 B)31,91 C)31,95 D)31,98 E)31,
P R Á C T I C AP R Á C T I C AP R Á C T I C A
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- La tabla adjunta contiene datos referentes a las edades de un grupo de personas. En tantos algunos datos se borraron dejando la tabla inconclusa, se pide completarla y calcular la mediana.
Ii fi Fi [ 43 - > 2m+ [ - > 7m-3 115 [ - > 3m- [ - 71> 4m+ [ - > m+
A)56,89 B)56,82 C)56,81 D)56,87 E)56,
- Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias, calcule la mediana, si los intervalos de clase tienen el mismo ancho.
Ii fi Fi Hi [ 36 - > 24 [ - > [ - > 31 122 0, [ -60> 15 [ - > 0, [ - >
A)49,79 B)49,72 C)49,74 D)49,76 E)49,
- Jaime registra las edades de los alumnos de la Facultad de Ingeniería de Sistemas de la UNJFSC, y se clasifican en 5 intervalos de clase del mismo ancho. Si la menor edad es 21 años, calcule la mediana.
Ii fi hi [ – > 108 0, [ – > 0, [ – > 48 [ – 33> 71 [ – >
A)26,41 B)26,43 C)26,45 D)26,47 E)26,
- Dado el siguiente cuadro estadístico, halle Me+x , si los 3 intervalos de clase tienen ancho común.
Ii fi Fi hi [26- > 15 [ - > 0, [ - > [ -78> 400 0,
A)119,49 B)119,47 C)119,45 D)119,41 E)119,
- Completar la siguiente tabla de distribución de frecuencias , de ancho de clase común. Calcular la mediana.
Ii fi hi Hi [26 - > 0, [ - > 0, [ - > 10k [ - > 3k 0, [ - 91>
A)58,9 B)58,7 C)58,1 D)58,3 E)58,
- De una tabla de distribución de frecuencias con intervalos de clase de ancho común. Se tiene:
Ii hi Hi [ – > 19% [ 60 – > 43% [ – > 15% [ – 72 > 84% [ – >
Halle la mediana.
A)65,27 B)65,37 C)65,77 D)65,87 E)65,
- La distribución de frecuencias de 260 alumnos de acuerdo a sus puntajes en un examen de admisión es:
Puntaje fi [60 - > 39 [ - > 6b [ - > 91 [ -300> 7b
(Los intervalos de clase son de igual longitud). Si desea asignar "excelente" al 50% de los alumnos. ¿Qué nota se debe considerar como mínimo?
A)200,34 B)200,44 C)200,94 D)200,64 E)200,
- Se registra las edades de los alumnos de la escuela de Ingeniería Acuícola de la UNJFSC y se clasifican en 5 intervalos de un mismo ancho. Calcule la mediana.
Ii fi Fi [ – > (^2136) [15 – > (^3258) [ – > (^4205) [ –24> (^3104) [ – > (^7369)
A) 18,104 B) 18,134 C) 18,124 D) 18,174 E) 18,
- Los empleados de una empresa se han clasificado según los años de servicio, según ello el más antiguo tiene 60 años en la empresa y el más joven 20 años laborando. Se obtiene una distribución de 5 intervalos con igual ancho de clase, siendo l a s f r e c u e n c i a s a b s o l u t a s : 2 1 , 1 7 , 2 8 , 3 4 y 2 0 respectivamente. Calcular la mediana.
A) 42,286 B) 42,216 C) 42,206 D) 42,296 E) 42,
- Dados 5 hermanos, donde el promedio de sus edades es 20 años, la mediana es 16 y la moda es 10. ¿Cuál es la mínima edad que puede tener el mayor de los hermanos?
A)27 B)26 C)33 D)39 E)
194
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- Complete el siguiente cuadro de distribución de frecuencia, siendo el ancho de clase constante. Calcule Q. 2
Ii fi Fi hi [20 - > 0, [ - > 70 [ - > 0, [ - > 2k [ - 70> 3k 200
A) 43,67 B) 43,69 C) 43,71 D) 43,73 E) 43,
- A través de una encuesta realizada a 200 trabajadores sobre sus salarios mensuales, se pudo apreciar la siguiente tabla de distribución de frecuencias de igual ancho de clase.
Ii fi Fi Hi [50 – > 40 [ – > 30 [ – > 108 [ – 90> 0, [ – >
Calcule P. 3 A)50,7 B)50,9 C)51,1 D)51,3 E)51,
- Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias.
Ii fi Fi [20 - > 3n [ - > m [ - > 4m+2n [ - 48> 30n [ - > m+n
Además (f +f ) 1 3 7 (f +f ) 2 4 8
Calcular D. 6 A) 42,73 B)42,75 C) 42,77 D) 42,79 E) 42,
- Dada la siguiente tabla , calcular D. 8
xi fi 14 7 13 12 17 10 23 8 21 3
A)22,5 B)22,6 C)22,7 D)22,8 E)22,
196
- A través de la siguiente tabla de distribución de frecuencias con ancho de clase constante, se conocen los siguientes datos:
Ii xi fi hi [ 1 – > c d [ – d > 16 45 0, [ – > e 2 [ – > c 0,
Calcule D. 7
A)32,41 B)32,43 C)32,45 D)32,47 E)32,
- Dada la siguiente tabla de frecuencias de igual ancho de clase:
Ii fi Fi [ 50 – > 20 [ – > b [ – a > 17 [ – > c 60 [ –80> b a
Calcule Q. 1
A)54,5 B)54,7 C)54,9 D)55,1 E)55,
- La tabla de frecuencias mostrada corresponde a las edades de los trabajadores de una empresa distribuidos con ancho de clase iguales. Complete la tabla e indique el valor del D. 7
Ii fi Fi [23 – > 12 [ – > 2c- [ – > 3c+7 69 [ –51> 21 [ – > 6d+4 130
A)51,145 B)51,155 C)51,165 D)51,17 E)51,
- De la siguiente tabla de distribución de frecuencias simétrica con ancho de clase común, cuya cantidad de datos es 300, determine P 72.
Ii xi fi Fi hi [32- > 30 [ - > [ - > 0, [ - > [ - > 50
A)43,97 B)43,99 C)44,71 D)44,73 E)44,
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TEMA 08: MEDIDAS DE DISPERSIÓNTEMA 08: MEDIDAS DE DISPERSIÓNTEMA 08: MEDIDAS DE DISPERSIÓN
197
PROPIEDADES DE LA VARIANZA
Sea x 1 ; x 2 ; x 3 ;... x (^) nun conjunto de observaciones donde la varianza se denota por V(x)
**1. V(x) ≥ 0
- V(C) = 0 C:** constante **2
- V(C.x) = C .V(x)
- V(x + C) = V(x)**
s
2 Relacion entre la varianza muestral (S ) y la varianza poblacional (^2 )
n (^2) s n - 1
2
S =
Nos indica que tan dispersos están los datos respecto a una medida de posición (x).
se calculan
Para datos no agrupados
Desviación Media (DM)
S
n
i=
x - x i DM = n
Varianza ( )
S
n
i=
(x - x) i n
2 s = =
S
n
i=
x (^) i^2
n
x 2 2
s^2
Desviación típica o estándar ( (^) s )
s = (^) √ varianza
Coeficiente de Variación ( C.V.)
C.V. =
x
s
Desviación Media (DM)
Varianza ( (^) s^2 )
Desviación típica o estándar ( (^) s )
s = √ varianza
Coeficiente de Variación ( C.V.)
C.V. =
x
s
S
n
i=
x - x .f i DM = (^) n
i
S
n
i=
(x - x). f i n
2 s = =
S
n
i=
x .f^2 i
n
x 2 i^2
i
Para datos agrupados
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13. En una muestra de 200 datos, se observó que el producto
del máximo valor y mínimo valor de ellos es 441; se origina
una distribución de frecuencias simétricas de 5 intervalos
de clase de igual longitud y de ella se obtiene la siguiente
información:
* f - f = 30 4 5 * f + f + f = 150 1 3 4 * R = 40
Calcular la desviación estándar de dicha distribución
(aproximada).
A) 6,9 B) 7,2 C) 7,
D) 6,8 E) 7,
14. Se tiene la siguiente tabla de distribución, con ancho de
clase constante:
Calcular el coeficiente de variación (aproximado).
A) 0,20 B) 0,32 C) 0,
D) 0,24 E) 0,
Ii
[(2n - 3)(4n) ; ñ
[ ; ñ
[ ; ñ
[ ; ñ
[ ; (2n + 1)(4n)]
fi
3n
(n + 1)(2n)
(n - 1)(4n)
6n
Ii
[ ; ñ
[ ab ; ñ
[ ; ñ
[ ; ba ]
xi
fi hi Hi
15. Completar la siguiente tabla y calcular la varianza de los
datos, si el ancho de clase es común.
A) 34,76 B) 37,6 C) 35,7 D) 34,84 E) 34
TEMA 09: ANÁLISIS COMBINATORIO ITEMA 09: ANÁLISIS COMBINATORIO ITEMA 09: ANÁLISIS COMBINATORIO I
PP
PP
PP
PP
P
P
P
P
11 22
33 44
1 2
3 4
CCC 111
PP
PP
PP
PP
P
P
P
P
11 22
33 44
1 2
3 4
CCC 222
PP
PP
PP
PP
P
P
P
P
11 22
33 44
1 2
3 4
CCC 333
CamisasCamisasCamisas PantalonesPantalonesPantalones PP
PP PP
PP
P
P
P
P
11
22
33
44
1
2
3
4
CCC 111
CCC 222
CCC 333
333 444
AAA BBB CCC
m=5m=5m=5 n=3n=3n=
AAA BBB CCC
aa bb cc dd ee
a b c d e
pp qq rr
p q r
CAPACIDADES:
- Cuenta de manera rápida y sistemática los diferentes sucesos que ocurren en nuestra vida diaria.
- Reconoce que el tema de análisis combinatorio es indispensable para desarrollar el cálculo de probabilidades.
TÉCNICAS DE CONTEO
1. PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN Suponiendo que tengo 3 camisas (C) y 4 pantalones (P) de vestir. ¿Cuántas maneras diferentes de vestirme tengo, considerando sólo dichas prendas una de cada una? Se relacionan las prendas de la siguiente manera:
Nº de maneras de vestir = 3 x 4 = 12
Rpta. Existen 12 maneras diferentes.
CONCLUSIÓN:
Si un suceso (A) se puede efectuar de “m” maneras y otro suceso (B) se puede efectuar de “n” maneras diferentes, entonces ambos procesos a la vez se pueden efectuar de “m.n” maneras diferentes.
EJEMPLOS:
- Entre una ciudad A y una ciudad B hay 5 caminos distintos, entre la ciudad B y la ciudad C hay 3 caminos diferentes. ¿De cuántas maneras puede una persona ir de A a C pasando por B?
Resolución:
Nº de manera de ir de A a C = 5 x 3 = 15
Ilustración:
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200
AAA BBB
Terrestre (1)Terrestre (1) Terrestre (2)Terrestre (2) aéreo (1)aéreo (1) aéreo (2)aéreo (2) aéreo (3)aéreo (3)
Terrestre (1) Terrestre (2) aéreo (1) aéreo (2) aéreo (3)
Caminos: ap bp cp dp ep aq bq cq dq eq ar br cr dr er
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
Rpta. Hay 15 maneras diferentes de ir de A a C.
- ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 3; 5; 7; 9; 0?
Resolución: a b c 3 0 0 5 3 3 7 5 5 9 7 7 9 9
4 x 5 x 5 = 100
Rpta. Se pueden formar 100 números de 3 cifras.
2. PRINCIPIO DE ADICIÓN
Si tengo 4 casacas y 6 sacos diferentes, entonces tengo (4+6) formas diferentes de vestir con casaca o vestir con saco.
CONCLUSIÓN:
Si un suceso (A) se puede efectuar de “m” maneras y otro suceso (B) se puede efectuar de “n” maneras, entonces A o B se pueden efectuar de (m+n) maneras diferentes.
EJEMPLOS:
- Para llegar de la ciudad A a la ciudad B hay 2 rutas terrestres y 3 rutas aéreas. ¿De cuántas maneras diferentes puede ir una persona de A a B utilizando las rutas mencionadas?
Resolución: Nº de maneras: 2 + 3 = 5
Ilustración:
Rpta. La persona puede ir de A a B por tierra o por aire de 5 maneras diferentes.
- Si en la facultad de Ingeniería de Minas de la UNCP se ofrecen 10 cursos diferentes por la mañana, 8 por la tarde y 4 por la noche; ¿Cuántas opciones diferentes tiene un estudiante de inscribirse en un solo curso?.
Resolución: Nº de opciones = 10 + 8 + 4 = 12
FACTORIAL DE UN NÚMERO
El factorial de un número entero y positivo (n) es el producto de todos los números enteros de 1 hasta “n” inclusive.
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ... x n donde: nÎZ^ + , además 0!=
0! = 1 (Convención) 6! = 720 1! = 1 7! = 5040 2! = 2 8! = 40320 3! = 6 9! = 362880 4! = 24 10! = 3628800 5! = 120
PERMUTACIONES
Permutaciones de “n” elementos, son las variaciones simples de “n” elementos de orden “n”. El número de permutaciones de “n” elementos, denotado por P(n), está dado por:
P(n) = n!
EJEMPLOS:
- ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar tres personas, en una banca con respaldar de 3 asientos?
Resolución: P(3) = 3! = 6 Ilustración:
Rpta. Las tres personas se pueden ubicar de 6 maneras diferentes.
- ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ubicar 5 textos diferentes en un estante?
Resolución: P(5) = 5! = 120
Rpta. Los 5 libros se pueden colocar en el estante de 120 maneras diferentes.
PERMUTACIÓN CON ELEMENTOS REPETIDOS
Permutación con repetición de “n” elementos, son todas las ordenaciones de los elementos de un conjunto de “n” objetos, entre los cuales hay n ; n ; n elementos que se repiten. 1 2 3
EJEMPLOS:
- Suponiendo que sobre una mesa se encuentra 7 bolas de igual radio, de las cuales 2 son negras, 3 son blancas y las restantes de color verde. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar dichas bolas en fila?
Resolución:
Rpta. Existen 210 maneras ordenadas en filas.
- Calcula el número de palabras que se pueden formar permutando las letras de la palabra LOLITA sin necesidad que tenga significado.
Resolución:
Rpta. 360 palabras
AAA BBB CCC
AAA CCC DDD
CCC AAA BBB
BBB AAA CCC
BBB CCC AAA
CCC BBB AAA
1 2 3
n n .n .n 1 2 3
P n!
n! n! n!
1
6 2
n (L ) 2
n 6
P 6! 360 2!
7 2;3;
P 7! 210
N = 2 bolasN = 2 bolas = n= n 11 B = 3 bolasB = 3 bolas = n= n 22 V = 2 bolasV = 2 bolas = n= n 22 nn = 7 bolas= 7 bolas
N = 2 bolas = n 1 B = 3 bolas = n 2 V = 2 bolas = n 2 n = 7 bolas
