Análisis de vigas estáticamente indeterminadas mediante el Teorema de los Tres Momentos - , Resúmenes de Mecánica

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MÉTODO DE LOS TRES MOMENTOS

I. INTRODUCCIÓN

Para resolver los problemas de cálculo estructural necesitamos una seri de herramientas como son los Principios, los Teoremas, los Métodos y los Procedimientos.

La teoría de estructuras, al igual que la resistencia de materiales y la elasticidad se asienta sobre una serie de principios.

Utilizando los principios se establece un conjunto de Teoremas que dan soporte a un conjunto de Métodos.

A su vez el desarrollo operativo de los Métodos se concreta en una serie de procedimientos.

Pasamos por tanto a establecer una secuencia de mayor generalidad a mayor concreción, que sería: Principio-> Teorema-> Método -> Procedimiento.

A continuación desarrollaremos el método de los Tres momentos; que nos permite también encontrar al igual que los métodos anteriores ya mencionados el cálculo de la pendiente y flechas de la estructuras.

En este caso aplicando el Método de los Tres Momentos nos será fácil obtener los momentos flectores en cada apoyo, aplicado para vigas continuas.

OBJETIVOS

Ø Análisis de vigas estáticamente indeterminadas ó hiperestáticas por medio de la ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS, método particular de flexibilidad, cuyas incógnitas son las fuerzas, en este caso, los momentos flectores en los apoyos.

Ø Calculo de desplazamientos y rotaciones en vigas aplicando dicho método.

Ø Desarrollar en el estudiante la capacidad de analizar el tipo de problemas de deflexión en vigas aplicando el método de los tres momentos.

GLOSARIO:

Viga La viga es el elemento estructural utilizado para cubrir espacios, soportando el peso colocado encima del elemento mediante la resistencia a las fuerzas internas de flexión y corte.

Vigas Continuas Las vigas continuas son vigas que tienen más de dos apoyos. Normalmente se utilizan cuando los vanos a cubrir son grandes.

Métodos para determinar la deformación en vigas Se utilizan varios métodos para determinar la deformación en vigas (doble integración, superposición, área de momentos, viga conjugada, rigidez directa, elementos finitos etc.…), todos están basados en los mismos principios pero difieren en su técnica y objetivos.

Superposición Como método alternativo para la evaluación de pendientes y ordenadas de la elástica se pueden utilizar los resultados de algunos tipos sencillos de cargas, para obtener por suma de efectos, las soluciones correspondientes a cargas más complicadas. Este procedimiento llamado superposición, determina la pendiente y deflexión en un punto mediante la suma de las pendientes o deflexiones producidas en ese mismo punto, por cada una de las cargas cuando actúan por separado (Singer y Pytel, 1982).

Diseño por rigidez en vigas de acero Para las estructuras de acero, la deflexión es un estado límite de servicio, no de resistencia, por lo que las deflexiones deben siempre calcularse con cargas de servicio. Para el cálculo de la flecha se emplea el módulo de elasticidad del acero y el momento de inercia del perfil, la flecha máxima se compara con los valores admisibles para estructuras de acero.

Fuerza cortante Para mantener el equilibrio sobre el segmento de la viga, se debe incluir la fuerza V, que actúa perpendicular al eje y se denomina fuerza cortante. La fuerza cortante es igual a la suma de todas las fuerzas verticales que actúan en la porción aislada ubicada en el lado izquierdo.

Momento flector Así como la fuerza cortante equilibra las fuerzas verticales, también se debe establecer un equilibrio en los momentos hasta la sección evaluada

las cargas que quedan a un lado de dichos extremos.: F2, M2, F3, M3,

Desarrollemos pues a continuación estas ecuaciones de deformación y para ello tomemos dos vigas isostáticas equivalentes, correspondientes a dos tramos consecutivos n y n+1 de la viga continua:

Calculemos a continuación cada uno de estos valores:

La ecuación se irá aplicando cada tres apoyos sucesivos de la viga

continua.

EJERCICIOS

CONCLUSIONES:

Los mismos métodos para determinar la deformación de las vigas son válidos para la resolución de vigas hiperestáticas, ya que las ecuaciones adicionales para hacer un sistema matemáticamente determinado son tomadas de la elástica de la viga.

Cuando exista un empotramiento en el extremo de una viga continua, para aplicar el teorema de los tres momentos se añade un tramo ficticio sin carga y sin longitud en ese extremo, de manera que pueda plantearse una nueva ecuación para resolver ese momento de empotramiento.

ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se estudia las vigas con tres o mas apoyos, dos o mas tramos,

y que, por tanto, disponen de uno o mas apoyos redundantes en los que las

reacciones no pueden determinarse por las ecuaciones de la Estática. En el método

de los tres momentos se comienza obteniendo una relación de tipo general entre los

momentos flexionantes en tres secciones cualesquiera de la viga, relación que se

llama Ecuación de los tres momentos, y que se escribe fácilmente aplicando los

teoremas de las áreas de momentos. La Ecuación de los tres momentos fue

desarrollada por el ingeniero francés Clapeyron en 1857. Esta ecuación relaciona los

momentos internos de una viga continua en tres puntos de soporte con las cargas

que actúan en los soportes. Por aplicación sucesiva de esta ecuación a segmentos de

la viga se obtiene un conjunto de ecuaciones que pueden resolverse

simultáneamente para los momentos internos desconocidos en los soportes. Las

aplicaciones de esta ecuación son numerosas, como determinar las deformaciones y

reacciones redundantes en cualquier tipo de vigas, en particular en las vigas

continuas. Se terminará el presente con algunos ejercicios de aplicación para la

teoría expuesta.

GENERALIDADES.-

Objetivos:

• Determinar la ecuación de tres momentos. - Conocer las aplicaciones de esta

ecuación. - Resolver problemas de aplicación para el siguiente método.

Limitaciones:

• Solo aplicación del método en vigas continúas.