Análisis de Sistemas de Segundo Orden: Especificaciones de la Respuesta Transitoria, Diapositivas de Sistemas de Control

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5 - 3 SISTEMAS DE

SEGUNDO ORDEN

Sistemas de segundo orden y especificaciones de la respuesta transitoria.

Sistemas de segundo orden y especificaciones de la respuesta transitoria. Tiempo de subida 𝒕𝒓 : Si se remite a la Ecuación 5 - 12 (La cual hace referencia a la transformada inversa de Laplace de un sistema Subamortiguado anteriormente mostrado), se obtiene el tiempo de subida 𝑡𝑟 , suponiendo que 𝑐 𝑡𝑟 = 1 , o que: Tomando como ⅇ −𝜁𝜔𝑛𝑡𝑟 ≠ 0 , 𝜔𝑛 = 1 − 𝜁^2 = 𝜔𝑑 y 𝜁 ⋅ 𝜔𝑛 = 𝜎, el tiempo de subida 𝑡𝑟 es: Donde B se define en el siguiente diagrama. Por lo que deducimos que para un tiempo de subida corto la frecuencia natural no amortiguada 𝜔𝑛 debe ser grande.

Sobreelongación máxima 𝑴𝒑 : La sobreelongación máxima se presenta en el tiempo pico o en 𝑡 = 𝑡𝑝 = 𝜋Τ^ 𝜔𝑑. Por tanto, a partir de la Ecuación 5-12, 𝑀𝑝 se obtiene como: El porcentaje de Sobreelongación máxima es ⅇ − 𝜎 Τ𝜔𝑑 𝜋 ⋅ 100% Si el valor final c(∞) de la salida no es la unidad, entonces se necesita utilizar la ecuación siguiente:

Tiempo de asentamiento 𝒕𝒔 : Para un sistema Subamortiguado de segundo orden, la respuesta transitoria se obtiene a partir de la Ecuación 5 - 12 , entonces: El tiempo de asentamiento que corresponde a una banda de tolerancia de ± 2 % o ± 5 % se mide en función de la constante de tiempo 𝑇 = (^1) ൗ^ 𝜁𝜔 𝑛 a partir de las curvas de la Figura 5 - 7 para diferentes valores de 𝜁. Los resultados se muestran en la Figura 5 - 11. Para 0 < 𝜁< 0. 9 , si se utiliza el criterio del 2 %, 𝑡𝑠 es aproximadamente cuatro veces la constante de tiempo del sistema. Si se emplea el criterio del 5 %, 𝑡𝑠 es aproximadamente tres veces la constante de tiempo. El tiempo de asentamiento alcanza un valor mínimo alrededor de 𝜁 = 0. 76 (para el 2 %) o de 𝜁 = 0. 68 (para el 5 %), y después aumenta casi linealmente para valores grandes de 𝜁. Las discontinuidades en las curvas de la Figura 5 - 11 surgen debido a que un cambio infinitesimal en el valor de 𝜁 puede provocar un cambio finito en el tiempo de asentamiento.

A partir del análisis anterior, es evidente que, para una respuesta rápida, 𝜔𝑛 debe ser grande. Para limitar la sobreelongación máxima 𝑀𝑝 y para reducir el tiempo de asentamiento, el factor de amortiguamiento relativo 𝜁 no debe ser demasiado pequeño. La relación entre la sobreelongación en porcentaje 𝑀𝑝 y el factor de amortiguamiento relativo 𝜁 se presenta en la Figura 5 - 12. Si el factor de amortiguamiento relativo está entre 0. 4 y 0. 7 , el porcentaje de sobreelongación máxima para la respuesta escalón está entre 25 y 4 %. Es importante darse cuenta de que las ecuaciones que se han obtenido para el tiempo de subida, tiempo de pico, sobreelongación máxima y tiempo de asentamiento son válidas únicamente para el sistema de segundo orden estándar definido por la Ecuación 5 - 10.