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Análisis de sistemas de colas en la
ingeniería de software
Teoría de Colas
Introducción
En nuestra vida cotidiana encontramos de forma casi continua sistemas de atención a usuarios que deben hacer una fila o tomar un turno de atención, como hospitales que reciben usuarios para ser atendidos por orden de llegada. Es así como se hace necesario pensar en la implementación de sistemas computacionales que faciliten este servicio. El estudio de las colas es imprescindible, ya que nos indica una ruta a seguir para diseñar y poner en marcha un servicio al cliente más eficiente.
Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Estos sistemas pueden modelarse tanto como colas sencillas como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas.
Objetivo de Aprendizaje
Afianzar la adquisición de conocimientos en relación con los fundamentos propios de la teoría de colas.
Descripción del Taller
A través del presente taller se busca afianzar la aplicación de principios de teoría de colas en la solución de problemas asociados con diferentes tipos de colas o líneas de espera, para lo cual se hace necesario el estudio y adecuada identificación de cada uno de los modelos en las situaciones que se presenten.
Requisitos para el Taller
Para el desarrollo del presente taller es necesario que, previamente, los participantes de cada grupo realicen las siguientes acciones:
Lectura del referente de pensamiento 4, analizando detalladamente la exposición de los ejemplos allí resueltos.
Analizar las lecturas complementarias propuestas y los videos referenciados en el referente de pensamiento. Elaborar una síntesis de pasos correspondientes a cada uno de los modelos estudiados dentro del contexto de análisis de colas.
Instrucciones
Entre los participantes deben organizar grupos de cuatro estudiantes. Definir estrategias de comunicación que permita y facilite el trabajo colaborativo. Descargar e imprimir el conjunto de ejercicios adjunto denominado "Problemas a resolver". En cada uno de los ejercicios, identificar los requerimientos establecidos. Tener presente los elementos considerados en la rúbrica de evaluación del taller. Resolver a lápiz y papel cada uno de los ejercicios o problemas propuestos. Teniendo en cuenta que el desarrollo de los problemas pasa por etapas de borrador, se solicita que una vez desarrollado cada uno, se transcriban de tal manera que el tutor pueda identificar claramente las soluciones por ustedes planteadas. Puede ser a mano, pero se recomienda total claridad. El escrito final debe ser escaneado o fotografiado para ser enviado al espacio tareas del módulo en un solo archivo.
Problemas a Resolver 1
Ejercicio 1
Los trabajadores de una fábrica tienen que llevar su trabajo al departamento de control de calidad antes de que el producto llegue al final del proceso de producción. Hay un gran número de empleados y las llegadas son aproximadamente de 32 por hora, siguiendo un proceso de Poisson. El tiempo para inspeccionar una pieza sigue una distribución exponencial media de 6 minutos.
Calcular el número medio de trabajadores en el control de calidad si hay: a) 1 inspector. b) 4 inspectores.
Ejercicio 2
Una empresa de reparación de computadores recibe una media de 13 solicitudes de reparación al día, que se distribuyen según un proceso de Poisson. Se supone que μ es la velocidad de reparación de la persona reparadora en ordenadores/día, y el tiempo de reparación es exponencial. Cada unidad de velocidad de reparación supone un coste de 150 euros por semana. Además, se ha estimado que el coste de tener computadores no reparados supone 190 euros por computador, siendo este coste proporcional al tiempo. Suponiendo que una semana tiene cinco días laborables, se pide: a) Determinar la velocidad de reparación óptima. b) Determinar si sería más
Número Promedio de Vehículos en Espera
Lq = ρ^2 / 2(1-ρ) = 0.5^2 / 2(1-0.5) = 0.25 autos
Número Promedio de Vehículos en el Sistema
L = ρ + Lq = 0.5 + 0.25 = 0.75 vehículos
Tiempo Promedio de Espera en Línea
Wq = ρ / 2(μ-λ) = 0.5 / 2(8-4) = 0.0625 horas = 3.75 minutos
Tiempo Promedio en el Sistema
W = Wq + 1/μ = 0.0625 + 1/8 = 0.1875 horas = 11.25 minutos
Tiempo Promedio de Servicio
Ws = W - Wq = 0.1875 - 0.0625 = 0.125 horas = 7.5 minutos
Problema 4: Taller de Cambio de Aceite
Al Taller El Recambio para cambio de aceite, los autos llegan a un promedio de 18 carros por hora en forma Poisson. La población es infinita, pero el espacio físico en el sistema alcanza solamente para 3 vehículos. El taller puede servir a un promedio de 6 carros por hora de acuerdo a una distribución exponencial.
Probabilidad de Sistema Desocupado
p0 = (1 - ρ) / (1 - ρ^(k+1)) = (1 - 18/6) / (1 - (18/6)^(3+1)) = 2.5%
Probabilidad de Sistema Ocupado
p = 1 - p0 = 1 - 0.025 = 97.5%
Número Promedio de Carros en el Sistema
l = (k+1)ρ^(k+1) / (1 - ρ^(k+1)) = (3+1)*0.975^(3+1) / (1 - 0.975^(3+1)) = 2.86 carros
Número Promedio de Carros en Línea
lq = l - (1 - p0) = 2.86 - (1 - 0.925) = 1.88 carros
Tiempo Promedio en el Sistema
w = l/λ = 2.86/18 = 0.158 hrs = 9.53 minutos
Tiempo Promedio en Línea
wq = lq/λ = 1.88/18 = 0.104 hrs = 6.26 minutos
Tiempo Promedio de Servicio
ws = w - wq = 0.158 - 0.104 = 0.054 hrs = 3.27 minutos
Problema 5: Fotocopiadora Compartida
Una máquina fotocopiadora es utilizada por 3 secretarías de una oficina. El análisis realizado concluye que la máquina tiende a un proceso de Poisson con un promedio de 8 trabajos por hora. Los requerimientos de utilización también son aleatorios de acuerdo a un proceso Poissoniano con una tasa media de 5 trabajos por hora.
Factor de Utilización
ρ = λ / (s μ) = 8 / (3 20) = 0.
Probabilidad de Sistema Desocupado
p0 = 1 - ρ = 1 - 0.15 = 0.
Número Promedio de Trabajos en el Sistema
L = ρ / (1-ρ) = 0.15 / (1-0.15) = 1 trabajo
Número Promedio de Trabajos en Línea
Lq = λ^2 / (μ (μ-λ)) = 8^2 / (20 (20-8)) = 16/240 = 0.15 trabajos
Tiempo Promedio de Espera en Línea
Wq = Lq / λ = 0.15 / 8 = 0.01875 horas
Tiempo Total Promedio en el Sistema
W = Wq + 1/μ = 0.01875 + 1/20 = 0.037 horas
Problema 6: Sucursal Bancaria
El Banco Departamental desea operar una nueva sucursal con 4 servidores. Los clientes llegan en promedio a una tasa de 20 por hora de acuerdo a una distribución Poisson y se requieren en promedio 2 minutos para atender a cada cliente con una distribución aproximadamente exponencial.
