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Trazado de diagrama polar y
aplicación del criterio de Nyquist
Trazado de diagrama polar y aplicación de
criterio de Nyquist
1. Trazado de diagrama polar
La función de transferencia F(P) tendrá el formato dado por la siguiente expresión generalizada:
F(P) = KTOTAL * (A0 + A1P + A2P^2 + ... + AmP^m) / (B0 + B1P
Donde: - KTOTAL es una constante. - Am y Bn son los coeficientes de los polinomios del numerador y denominador, respectivamente. - m y n son los grados de los polinomios del numerador y denominador, respectivamente.
Para que F(P) sea una función realizable, el polinomio del numerador debe ser de igual o menor grado que el polinomio del denominador.
Paso 1: Determinar el punto de inicio de la curva que representa el diagrama polar
Evaluamos F(P) para P que tiende a cero. Se pueden presentar tres casos:
Caso A: La función de transferencia F(P) no tiene ni ceros ni polos en el origen
En este caso, al hacer tender la variable P a cero, tendremos:
F(P) |P→0 = KTOTAL
La gráfica de F(P) comenzará sobre el eje real del plano de la función en un valor determinado por la constante KTOTAL.
Caso B-1: La función de transferencia F(P) tiene uno o más ceros en el origen, y las constantes Am y Bn son ambas positivas o ambas negativas
En este caso, tendremos:
F(P) |P→0 = 0
La fase será de 90° multiplicados por la cantidad de ceros existentes.
Caso B-2: La función de transferencia F(P) tiene uno o más polos en el origen, y las constantes Am y Bn son ambas positivas o ambas negativas
En este caso, tendremos:
F(P) |P→0 = ∞
La fase será de -90° multiplicados por la cantidad de polos existentes.
Caso C: La función de transferencia F(P) tiene ceros o polos en el origen, y las constantes Am y Bn son una positiva y la otra negativa o viceversa
En este caso, para P que tiende a cero, tendremos uno de los dos casos anteriores, dependiendo de si los ceros o polos predominan.
Paso 2: Determinar el punto de final de la curva que representa el diagrama polar
Evaluamos F(P) para P que tiende a infinito. Se pueden presentar dos casos:
Caso 1: La función de transferencia F(P) tiene igual grado en su numerador y denominador (m = n)
En este caso, el resultado es una constante (KTE):
F(P) |P→∞ = KTE
Caso 2: La función de transferencia F(P) tiene menor grado en su numerador que en su denominador (m < n)
En este caso, el resultado estará dado por:
F(P) |P→∞ = 0
La fase será de -90° multiplicados por la diferencia entre el grado del denominador y el grado del numerador (n - m).
Aplicación del criterio de Nyquist
El criterio de Nyquist permite determinar la estabilidad de un sistema a partir de su función de transferencia. Para aplicar este criterio, se debe trazar el diagrama polar de la función de transferencia y analizar su comportamiento.
El criterio de Nyquist establece que un sistema es estable si y solo si el gráfico del diagrama polar de la función de transferencia no encierra al punto (-1, 0) del plano complejo.
corresponde a un polo en el origen y se desea hacer la rotación del mismo desde ω = +0 a ω = -0. La expresión para calcular el ángulo ϕ en el plano G(P).H(P) es: ϕ = (- Número de Polos) × 180°
Cierre del diagrama para P o ω = ∞
Repetir el análisis realizado para P o ω = 0, pero ahora considerando los polos que tienden a infinito. La expresión para calcular el ángulo ϕ en el plano F(P) es: ϕ = (- Número de Polos) × 180°
Aplicación del Criterio de Nyquist
Recorrer el recinto de Nyquist en el plano P, trazando el recorrido (+0 → +∞ → -∞ → -0 → +0) en el diagrama del plano F(P) o G(P).H(P), según el tipo de sistema bajo estudio.
Observar la cantidad y sentido de los rodeos al origen (para función de transferencia total F(P)) o al punto -1 + j0 (para función de transferencia de lazo cerrado G(P).H(P)). Esto determinará el valor y signo de N.
Aplicar la fórmula N = Z - P, donde: - N: Número de rodeos - Z: Ceros de la función de transferencia - P: Polos de la función de transferencia
Consultar la Tabla 1 para obtener las conclusiones según los resultados obtenidos.
