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ALGEBRA DE BOOLE
PRIMERA PARTE.
Introducción
En 1847, George Boole desarrolla el álgebra, que lleva su nombre, como un análisis matemático.
Su objetivo era describir las operaciones mentales mediante las cuales se realizan razonamientos.
En 1938, Shannon emplea el álgebra de Boole en circuitos de conmutación. Su objetivo era
describir la conducta de circuitos digitales mediante un álgebra binaria.
El álgebra de Boole es una estructura algebraica consistente de un conjunto B, de dos elementos, y
dos operaciones binarias; tales que se cumplen los axiomas de clausura, conmutatividad,
asociatividad, distributividad, identidad y complementariedad.
Postulados
Definición:
El álgebra de Boole es un sistema algebraico cerrado que contiene un conjunto B de dos
elementos, {0, 1}; y dos operadores { · , + }. Los operadores también suelen representarse según:
{ AND , OR }.
i. Ley de La clausura implica que si a y b pertenecen a B , entonces: a·b y a+b también
pertenecen a B.
ii. Igualdad.
Dos expresiones son iguales si una puede ser substituida por la otra.
iii. Elementos únicos.
Existen elementos únicos (0 y 1) en B, tal que para cada elemento “a” de B se cumple
iv. Conmutatividad
Sean “a y b” dos elementos del conjunto B
v. Asociativa
Sean “a, b y c elementos que pertenecen al conjunto B
vi. Distributividad
Sean a, b y c elementos que pertenecen al conjunto B
vii. Complementariedad
Sea “a” en elemento que pertenece a B, existe un único complemento de “a” que se denota a´
o se denota 𝑎̅ tal que
Al complemento único de a lo representaremos, para facilitar su escritura según
convenga, como: a', y también como: not a. El complemento podría haberse definido como un
operador unario de la estructura algebraica.
En el lenguaje C se emplea ~a para denotar el complemento; !a para la negación, el
operador and se anota & y el operador or emplea el símbolo |.
Observar que, con la formulación de postulados, se pueden demostrar como teoremas las
siguientes proposiciones
viii. Idempotencia
Sea “a” perteneciente a B
ix. Unión con el Universo e Intersección con el vacío
x. Absorción
comerciales, de aquí que un diagrama de puertas lógicas corresponde directamente a un
diagrama de alambrado de circuito lógico.
A continuación se presentan los símbolos para las funciones lógicas más sencillas, especialmente
para las presentadas en la sección anterior.
PUERTA AND
La salida de una compuerta AND es 1 solamente si todas sus entradas son simultáneamente 1, de
lo contrario es 0.
PUERTA OR
INVERSOR O PUERTA NOT
Un inversor es una puerta de solamente una entrada y su salida es el complemento lógico
de la entrada.
Es decir, cuando a la entrada de una puerta NOT hay un 1 su salida será 0, y de lo contrario cuando
su entrada es 0, su salida será 1.
NAND
Esta es una función lógica compuesta. Se puede visualizar como una compuerta AND
seguida por una compuerta NOT y su salida es 0 sólo cuando todas sus entradas son
simultáneamente 1.
PUERTA NOR
Esta Compuerta es una combinación de las funciones de un operador OR seguido por un
INVERSOR. La salida de una puerta NOR sólo será 1 cuando ambas entradas valgan 0
PUERTA EXOR (OR EXCLUSIVO)
La operación EXOR se denota por el símbolo , es decir, A EXOR B = A ꚛ B. Además, como se
vio antes, A ꚛ B = 𝐴
. La salida de una puerta EXOR será 1 si sus entradas son diferentes y
será 0 si son iguales.
