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AJUSTE DE CURVAS
(Teoría)
Algunas definiciones
La media. La media y de una muestra se define como la suma de los datos individuales yi
dividido por el número de puntos n, o:
1
n i i
y y n
=^ =
Desviación estándar. La madida más común de la dispersión de una muestra es la desviación estándar S (^) y, en función de la media:
2 t 1
, donde S. 1
n t y i i
S
S y y n (^) =
Error estándar de la aproximación. Cuantifica la dispersión alrededor de la línea de regresión y está dado por
r y x
S
S
n
Donde Sr representa la suma de los cuadrados de los residuos en cada ajuste.
Coeficiente de correlación. Cuantifica cuán mejor es la reducción del error debido al modelo de ajuste obtenido
t r t
S S
r S
Utilidad de la regresión
La regresión con mínimos cuadrados se usa para desarrollar la mejor curva que ajuste todas las tendencias de los datos sin pasar necesariamente a través de algún punto. Todos los métodos de regresión se diseñan de manera que ajusten funciones que minimicen la suma de los cuadrados de los residuos entre los datos y la función. A estos métodos se les conoce como regresión con mínimos cuadrados.
Regresión lineal
La regresión con mínimos cuadrados lineal se usa en aquellos casos en donde una variable dependiente y otra independiente se relacionan de manera lineal. La más simple aproximación es el ajuste de una línea recta a un conjunto de parejas de datos observados:
( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ,..., ( xn , yn ).Trabajamos con la expresión matemática de una línea recta:
y = a 0 + a x 1 +e
en donde a 0 y a 1 son coeficientes que representan la intersección con el eje de las abscisas y la pendiente, respectivamente y e es el error o residuo entre el modelo y las observaciones. Este error se puede representar como
e = y − a 0 −a x 1 ,
Lo que quiere decir, que el error o residuo es la diferencia entre el valor real de y y el valor aproximado, a 0 + a 1 x, predicho por la ecuación lineal.
Criterio para un mejor ajuste
El procedimiento que obtiene la mejor línea a través de los puntos es la de minimizar la suma de los cuadrados de los residuos, Sr:
2 0 1 1
n r i i i
S y a a x
Para determinar los valores de las constantes a 0 y a 1 , se deriva Sr con respecto a cada uno de los coeficientes e igualamos a cero:
0 1 0 1
0 1 1 1
n r i i i
n r i i i i
S
y a a x a
S
y a a x x a
=
=
Estas ecuaciones se pueden expresar como un conjunto de dos ecuaciones lineales simultáneas con dos incógnitas a 0 y a 1 :
0 1 1 1 2 0 1 1 1 1
n n i i i i n n n i i i i i i i
na a x y
a x a x x y
= =
= = =
Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones normales para el ajuste lineal.
Interpolación polinomial
La interpolación polinomial consiste en determinar el único polinomio de n-ésimo orden que ajuste n + 1 puntos. Este polinomio proporciona una fórmula para calcular valores intermedios. Estudiaremos dos casos de ellos: los polinomios de Newton y los de Lagrange.
Forma general de la interpolación de polinomios de Newton
El polinomio de n-ésimo orden es
fn ( x ) = b 0 + b 1 ( x − x 0 ) + b 2 ( x − x 0 )( x − x 1 ) + ... + bn ( x − x 0 )( x − x 1 ) ...( x −xn − 1 )
Para este polinomio se requiere n+1 puntos: ( x 0 , f ( x 0 )) , ( x 1 , f ( x 1 )) ,..., ( xn ,f ( xn )). Usamos
estos datos y las siguientes ecuaciones para evaluar los coeficientes:
[ ] [ ] [ ]
[ ]
0 0 1 1 0 2 2 1 0 3 3 2 1 0
1 1 0
n n ,^ n ,...,^ ,
b f x b f x x b f x x x b f x x x x
b f x x (^) − x x
Las evaluaciones de la función puestas entre corchetes se llaman diferencias divididas finitas. Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita se representa por lo general como
i j i j i j
f x f x f x x x x
La segunda diferencia dividida finita, la cual representa la diferencia de las dos primeras diferencias divididas, se expresa como
i j j k i j k i k
f x x f x x f x x x x x
En forma similar, la n-ésima diferencia dividida finita es
[ ]
[ 1 1 ] [ 1 2 0 ] 1 1 0 0
n ,^ n ,...,^ ,^ n^ n^ n^ n n
f x x x f x x x f x x x x x x
− − − −
Polinomio de Lagrange
La interpolación de polinimios de Lagrange es una reformulación del polinomio de Newton, que evita el cálculo de las diferencias dividias finitas y se expresa de la siguiente manera:
0
n n i i i
f x L x f x
Donde
n^ j i j i j
x x L x = x x
0 1 2 0 1 2
n i i i i n
x x x x x x x x x x x x x x x x
−^ −^ −^ −
