AJUSTE DE CURVAS - Metodos, Ejercicios de Métodos Numéricos

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AJUSTE DE CURVAS

MÍNIMOS CUADRADOS

Juan Camilo Trujillo Leiva, Leidy Johana Casas Vanegas

UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA – INGENIERIA ELECTRONICA

Asignatura:

Métodos Numéricos

Ajuste de curvas

Mínimos cuadrados

Presenta:

Juan Camilo Trujillo Leiva

Código: 20211199220

Leidy Johana Casas

Vanegas

Código 20211198957

Docente

Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA ROJAS MSc.

Neiva, abril 30 de 2023

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Se han realizado mediciones de tensión en el capacitor C1 del circuito que se muestra en la figura 1. Se ha registrado la evolución temporal de esta magnitud al aplicar una fuente de 10V como entrada. A continuación, se presentan los valores obtenidos durante el proceso de medición. Tabla 1 , Mediciones obtenidas del Cto. TIEMPO (s) VOLTAGE (V) 1 0 1.5 0. 2 0. 2.5 0. 3 0. 3.5 0. 4 0. Ilustración 1 , Circuito RCL de primer grado Una vez obtenidos los datos experimentales, el siguiente paso es generar la señal del voltaje mediante métodos numéricos que permiten aproximar curvas de una función. En este caso, se ha optado por utilizar el método de mínimos cuadrados para encontrar la curva que mejor se ajuste a la función de interés. Este método matemático tiene como objetivo encontrar una ecuación que permita predecir los valores futuros de la variable dependiente (y) en función de la variable independiente (x), minimizando la diferencia entre los valores experimentales y los valores predichos por la curva ajustada. De esta forma, se busca obtener una aproximación lo más precisa posible de la señal del voltaje en cuestión.

DESARROLLO TEORICO Identificado el método a usar para la construcción de la señal, se procede a hacer uso de las ecuaciones de mínimos cuadrados a través de las diferentes formas de curvas vistas en clase (Exponencial, potencial, polinomial).

EXPONENCIAL:

Para la forma exponencial, tenemos la siguiente ecuación:

y = eax +^ b

ln ( y )=ln ( e

ax + b

ln ( y )= ax + b

Para hallar los coeficientes a y b, tenemos lo siguiente: a (^) ∑ x 2

• b (^) ∑ x =∑ x ∗ Y a (^) ∑ x + n ∗ b =∑ Y

POTENCIAL:

Para la forma potencial, tenemos de igual manera la ecuación general para ella:

y = b x

a

ln ( y )=ln ( b ) + aln ( x )

Para hallar los coeficientes a y b, tenemos lo siguiente: a (^) ∑ X 2

• B (^) ∑ X =∑ X ∗ Y a (^) ∑ X + n ∗ B =∑ Y

Ahora la nueva tabla, tendrá el voltaje calculado por la señal construida para la función exponencial. Tabla 3 , tabla con valores calculados (potencial)

TIEMPO (s) VOLTAGE (V) VOLTAGE CALCULADO ( V )

POLINÓMICA:

Para las formas polinómicas tenemos varios grados de esta función, por lo cual se analizo de manera individual cada ecuación correspondiente a su forma: Polinomio grado # b (^) ∑ x^2 + a (^) ∑ x =∑ x y b (^) ∑ x + n ∗ a =∑ y Polinomio grado # c (^) ∑ x 4 +¿ b (^) ∑ x 3

• a (^) ∑ x 2 =∑ x 2

y ¿

c (^) ∑ x 3 +¿ b ∑ x 2

• a (^) ∑ x =∑ x y ¿ c (^) ∑ x 2 +¿ b (^) ∑ x + n ∗ a =∑ y ¿

Tabla 4 , Tabla de valores calculados (polinomial)

TIEMPO (s) VOLTAGE (V) VOLTAGE CALCULADO ( V )

Polinomio grado #

TIEMPO (s) VOLTAGE (V) VOLTAGE CALCULADO ( V )

ANALISIS DE RESULTADOS Se ha notado que ciertas funciones, como los polinomios de segundo grado, permiten un mejor ajuste a la curva obtenida y su tolerancia es bastante pequeña en comparación con otros valores. De hecho, los polinomios de segundo grado se ajustan perfectamente a la curva obtenida en muchos casos. Es importante destacar que el método de mínimos cuadrados es ampliamente utilizado en diferentes campos de la ciencia y la ingeniería, ya que permite obtener una curva que se ajusta de manera óptima a un conjunto de datos experimentales, lo cual es fundamental para la toma de decisiones y la predicción de resultados en situaciones prácticas. . CODIGO MATLAB (SOPORTE DE SOFTWARE)

Ilustración 2 , Grafica ejemplo MATLAB %POLINOMICA %Juan Camilo Trujillo, Leidy Johana Casas clc; clear all x = [1 1.5 2 2.5 3 3.5 4]; %TIEMPO y = [0 0.22 0.36 0.48 0.499 0.5 0.501]; %VOLTAGE orden = input("Digite el orden de la matriz: "); i=1;while i <=(2orden+1) vs(i) = sum(x.^(2orden+1-i)); i=i+1; end f = 1;while f<=orden+ c=1;while c<=orden+ m(f,c) = vs(f+c-1); c=c+1; end f=f+1; end disp('La matriz es') disp(m) i = 1;while i <=orden+

end disp('La matriz es') disp(m) i = 1;while i <=orden+ ti(i) = sum(y.* x.^(orden+1-i)); i=i+1; end ti = ti'; disp('Los terminos independientes son') disp(ti) v = inv(m)ti; disp(v) plot(x, Y, 'or', LineWidth=2); title('Minimos cuadrados', FontSize=15); xlabel('tiempo') ylabel('Voltaje') grid on xx = x(1):0.1:max(x); %s=0;i=1;while i <=orden + 1 % s=s+v(i) xx.^(orden + 1-i); % i = i+1; %end s = exp(v(1)xx+v(2)); plot(xx,s, LineWidth=2) title('Grafica Exponencial', FontSize=15); xlabel('tiempo') ylabel('Voltaje') grid on %Potencial %Juan Camilo Trujillo, Leidy Johana Casas clc; clear all X = [1 2 3 4 5 6 7]; Y = [1 3 8 20 50 100 200]; x = log(X); y = log(Y); orden = input("Digite el orden de la matriz: "); i=1;while i <=(2orden+1) vs(i) = sum(x.^(2*orden+1-i)); i=i+1;

end f = 1;while f<=orden+ c=1;while c<=orden+ m(f,c) = vs(f+c-1); c=c+1; end f=f+1; end disp('La matriz es') disp(m) i = 1;while i <=orden+ ti(i) = sum(y.* x.^(orden+1-i)); i=i+1; end disp('Los terminos independientes son') disp(ti) v = inv(m).ti; disp(v) plot(x, y, 'or', LineWidth=2); title('Minimos cuadrados', FontSize=15); xlabel('tiempo') ylabel('Voltaje') grid on xx = x(1):0.1:max(x); %s=0;i=1;while i <=orden + 1 % s=s+v(i) xx.^(orden + 1-i); % i = i+1; %end s = v(2)*xx.^v(1); plot(xx,s, LineWidth=2) title('Grafica Potencial', FontSize=15); xlabel('tiempo') ylabel('Voltaje') grid on