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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE El SALVADOR
FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA
MATERIA: INGENIERÍA ECONÓMICA
PROFESOR: ING. ALEXANDER IBÁÑEZ
UNIDAD II: LOS FACTORES DE INGENIERÍA ECONÓMICA Y SU EMPLEO
OBJETIVO DE LA UNIDAD:
Al final de esta unidad, el estudiante podrá conocer e identificar el uso de los factores de la Ingeniería Económica en el cálculo económica de alternativas para la toma de decisiones.
Objetivos de Aprendizaje: Al final de esta unidad, el estudiante será capaz de:
- Encontrar el valor numérico de un factor en las tablas, dada la notación o simbología del factor.
- Interpolar linealmente para encontrar el valor correcto, dado un interés y/o un número de períodos no incluidos en tablas.
- Calcular el valor futuro de una cantidad, dada una tasa de interés, el número de períodos y el valor monetario de una cantidad presente.
- Calcular el valor presente de una cantidad, dada una tasa de interés, el número de períodos y el valor monetario de una cantidad futura.
- Calcular el valor presente de una cantidad, dada una tasa de interés, el número de períodos y el valor monetario de una serie uniforme.
- Calcular una serie uniforme de una cantidad, dada una tasa de interés, el número de períodos y el valor monetario de una cantidad presente.
- Calcular el valor futuro de una cantidad, dada una tasa de interés, el número de períodos y el valor monetario de una serie uniforme
- Calcular la serie uniforme, dado el interés y período, de alternativas que incluyen cantidades uniformes crecientes y decrecientes.
CONTENIDO DE LA UNIDAD
Los factores de Ingeniería económica Factor del valor presente series uniformes y del factor de recuperación de capital. Factor cantidad compuesta series uniformes y del factor fondo de amortización. Notación estándar de los factores y el uso de las tablas de interés. Cálculo de valor presente, valor futuro y de serie anual uniforme Definición de gradiente y uso del factor gradiente Valor presente y serie anual uniforme equivalente de gradientes convencionales y trasladados.
UNIDAD II: LOS FACTORES DE INGENIERÍA ECONÓMICA Y
SU EMPLEO.
Introducción
El uso de los factores de Ingeniería Económica representa el concepto más importante tanto para el manejo de cantidades a través del tiempo, como para la evaluaciones de alternativas donde halla que tomar una decisión económica.
El primero y más importante paso que se debe dar al utilizar los factores y resolver problemas de Ingeniería económica es construir un diagrama de flujo de caja donde se visualiza las cantidades ubicadas a través del tiempo.
El diagrama de flujo de caja de cantidades, además de ilustrar más claramente el problema a resolver, muestra de inmediato cuales factores y sus fórmulas deben utilizarse y si las condiciones del flujo de caja presentadas permiten una aplicación directa de los factores.
Evidentemente las formulas de los factores sólo se pueden usar cuando el flujo de caja de cantidades se presenta exactamente al diagrama de flujo para las fórmulas. Por ejemplo, los factores de series uniformes no podrán emplearse si los pagos ocurren cada tercer año en lugar de cada año. Por lo tanto es importante mencionar las condiciones para los cuales se aplican el uso de los factores.
Diagrama de flujo y simbo lo gía.
Diagrama de flujo de cantida de s: Per mite visualiz ar el flujo de e fe ctivo co mo r e sultado de una inver sió n. Se a e l siguie nte diagrama
Simbo lo gía :
Do nde :
P = Cantidad Pr e se nte o Inver sió n Inicial: o cur r e e n e l punto cer o o e n cualquie r punto co nside rado co mo pr e se nte.
A = R = Se r ie unifo r me de dine r o de final de pe r io do s. De be n de se r pago s iguale s al final de cada pe r io do.
F = Cantidad de dine ro e n Fecha Futura, se indica e n e l punto “n” o e n cualquie r punto que se co nside r e co mo fe cha futura.
n = núme ro de per ío do s
F
1 2 3 n - 2 n - 1 n
P R = A
2. P = F ( P/F)
De do nde la fór mula o r iginal e s:
P = F
(1+i)n
Al facto r 1/(1+ i) n^ se le llama facto r de pago simple , valor pr e se nte y se r e pr e se nta por ( P/F)
3. Facto r Ser ies Unifo r mes, Valo r Present e ( P/A )
Este facto r de te r mina el valo r pr e se nte (P) de una se r ie anual unifo r me e quivale nte (A) que e mpiez a al final de l año 1 y se e xtie nde durante (n) año s a una tasa de inte r é s (i), e sto se mue stra e n la siguie nte figura:
El valo r pr e se nte ( P) de una se r ie unifo r me (A) es dado po r :
3. P = A ( P/A )
de do nde la fó r mula or iginal e s:
P = A ( 1+ i) n^ - 1 i(1+ i) n Al facto r ( 1+ i) n^ - 1 i(1+ i) n
se le llama facto r se r ie s unifo r me s, valor pre se nte y se r e pre se nta po r ( P/A)
A
0 1 2 3 4 5 6 n - 1 n
P =?
4. Facto r Recuper a ció n de Capit al. ( A/P)
Este facto r pr o duce e l valo r anual unifo r me e quivale nte (A) durante (n) año s de una Inver sió n (P) dada cuando la tasa de inte ré s e s (i), esto se mue stra e n la siguie nte figura:
L a se r ie unifo r me ( A) de un valor pre se nte (A) e s dado po r :
4. A = P ( A /P)
de do nde la fó r mula or iginal e s:
A = P ( i (1+ i) n^ ) (1+ i)n^ -
Al facto r ( i (1+ i) n^ ) (1+ i) n^ -
se le llama facto r de r e cupe ració n de capital y se re pr e se nta po r ( A/P)
5. Facto r de Depó sito de Fo ndo de A mo rt izació n (A /F)
Este facto r pr o duce e l valo r anual unifo r me e quivale nte (A) durante (n) año s de un valo r futur o (F) dado cuando la tasa de inte r é s es (i), e sto se mue stra e n la siguie nte figura:
L a se r ie unifo r me ( A) de un valor futur o (F) e s dado po r :
A =?
0 1 2 3 4 5 6 n - 1 n
P
A =?
0 1 2 3 4 5 6 n - 1 n
F
EJ ERCI CI OS RESUEL TOS DE USO DE FA CTORES DE I NGEN I ERÍ A ECON ÓMI CA
1 ) Dado una cantida d pr e se nte de $ 4 ,0 00. Enco ntrar su mo nto de ntr o de 10 año s a una tasa de inte r é s de l 10 %.
F = P (F/ P, i% , n) F = 4 ,00 0 (F/P, 1 0% , 10 ) De tablas e l Facto r F/P = 2 .5 93 7 F = 4 ,00 0 (2 .59 3 7 ) F = $10,374.
2 ) Se gasta una suma de $2 ,00 0 hoy, se gastan $ 50 0 al final de cada año durante 6 año s, se gastan ade más $ 80 0 al inicio de l año 3 y 5. ¿Cuál e s el Mo nto al cabo de 6 año s, si e l inte r é s e s de l 6 %?
P 1 =
F = P 1 (F/ P, i% , n) +A (F/ A, i% , n) + P 2 (F/ P, i% , n) + P 3 (F/P, i% , n) F = 2 ,00 0 (F/P,6 % ,6 )+5 0 0 (F/A ,6 % ,6 +8 00 (F/ P,6 % ,4 )+8 0 0 (F/P,6 % , 2 ) B uscando lo s valo re s de lo s facto re s en tabla F = 2 ,00 0 (1 .77 1 6 ) + 5 00 (7 .7 15 6 ) + 8 00 (1 .4 6 41 ) + 80 0 (1 .21 ) F = 3 ,54 3 .2 + 3 ,8 5 7 .8 + 1 ,1 7 1 .28 + 9 68 F = $ 9,540.
3 ) Un e studiante de se a ahor rar durante 5 año s para co mprar una co mputa do ra que co star á $7 0 ,00 0 , si e l inte ré s es de l 4% capitaliz able tr ime stralme nte. ¿ Cuánto de be r á de po sitar anualme nte?
F
A =?
Fr e cue ncia de Co nver sió n (m) = 4 T ie mpo = 5 año s
de Per io do s = Tie mpo x m
# de Pe r io do s = n = (5 ) x (4 ) = 2 0 ip = i/m = 4 % / i (^) p = 1% A = F (A/ F, i (^) p % , n) A = 70 ,0 00 (A/ F, 1% , 20 ) A = 70 ,0 00 (0 .0 45 4 2 ) A = $3,179.
4 ) ¿ Cuanto tie mpo tar dar á en tr iplicar se una cantidad si e l inte r é s e s de l 8 %
capitaliz able tr ime stralme nte?
ip = i/m = 8 % / i (^) p = 2% F = P (F/ P, i (^) p % , n) 3 P = P (F/P, 2 % , n) 3 P/P= (F/P, 2% , n) 3 = (F/ P, 2% , n) De la tabla de Facto r e s e inte r po lando entr e :
F/P n 2 .69 1 6 5 0 3 .0 x 3 .2 8 1 6 0
De la inte r po lació n se o btie ne : n = 55 .5 (# de Per io do s)
de Año s = # de Per io do s / m
de Año s = 55 .5 /
# de Año s = 13 .9 Año s.
P
0 1 2 n - 1 n
F = 3 P
P = A (P/A , i% , n) + [A (P/A , i% , n)x(P/ F, i% , n)] 5 0 = A (P/A , 9 % , 2 ) + [A (P/A, 9 % , 2 )x(P/F, 9% , 3 )] 5 0 = A (1 .7 59 1 ) + [A (1 .7 5 91 )x(0 .7 7 22 )] 5 0 = 1 .7 59 1 A + 1 .3 58 4 A 5 0 = 3 .1 17 5 A A = 50 /3 .1 17 5 A = $16.
7 ) Encue ntr e e l valor de “F” si la tasa de inte r é s e s de l 5% anual
Tomando co mo fe cha fo cal, e l año ce ro te ne mo s: F (P/ F, i% , n) + F (P/ F, i% , n) = A (P/A , i% , n) + [A (P/A, i% , n)x(P /F, i% , n)] F (P/F, 5% , 3 ) + F (P/ F, 5% , 5 ) = 20 (P/A, 5 % , 3 ) + [4 0 (P/A, 5% , 4 )x(P/ F, 5 % , 3 )] F (0 .8 63 8 ) + F (0 .7 83 5 ) = 2 0 (2 .72 32 ) + [4 0 (3 .54 6 )x(0 .8 6 38 )] 1 .64 7 3 F = 5 4 .4 6 4 + 12 2 .52 1 1 .64 7 3 F = 1 76 .9 85 F = 17 6 .98 5 /1 .64 7 3 F = $107.
8 ) Un banco o to r ga un pr é stamo po r $ 11 ,0 00 a una tasa de inte ré s anual de l
8 % y se aco r dó que se le pagar ía e n 10 cantidade s iguale s al final de cada año. Dando inicio e n e l pr ime r año, de spué s de que se hubo pagado la 5ª anualida d el banco o fre ce co mo alte r nativa hacer un so lo pago de $ 7 ,0 00 al final de l siguie nte año, es de cir, que ya no se har ían lo s 5 pago s re stante s sino uno so lo al final de l 6 año. De te r míne se que o pció n de pago al de udo r para liquidar las ultimas 5 anualidade s.
F F
1 1 , 0 0 0 A =?
Calculando la se r ie de pago s iguale s: A = P (A/ P, i% , n) A = 11 ,0 00 (A/ P, 8% , 1 0 ) A = 11 ,0 00 (0 .1 49 0 3 ) A = $1,639. Calculando la Alte r nativa “B ” P = A (P/A , i% , n) + 1 ,6 39 .3 3 P = 1 ,6 3 9 .33 (P/A , 8 % , 4 ) + 1 ,63 9 .3 3 P = 1 ,6 3 9 .33 (3 .3 12 1 ) + 1 ,6 39 .3 3 P = 5 ,4 2 9 .62 + 1 ,63 9 .3 3 P = $7,068.
9 ) Un pré stamo de $ 1 ,0 0 0 se esta pagando co n anualida de s de $8 0 a una tasa
de inte r é s de l 5. Un año de spué s de he cho e l pré stamo se e mpez ó a pagar, si de spué s de 7 pago s se acue r da que e l re sto de la de uda se cubr ir á co n do s pago s iguale s único s al final de l año 9 y 11. ¿ A cuanto ascie nde n e sto s pago s de mo do que se cance le la de uda to talme nte?
A l t e r n a t i v a " A "
P =? 1 , 6 3 9. 3 3
A l t e r n a t i v a " B "
X X
A = 24 ,0 00 (A/ P, 1% , 3 6 )
A = 24 ,0 00 (0 .0 33 2 1 )
A = $797.
Calculando e l Plan B, te ne mo s: Tomando co mo fe cha fo cal, e l 2 4ª me s, te ne mo s: F = A (F/ A, i% , n) + P (F/ P, i% , n) + P F = 79 7 .04 (F/ A, 1% , 2 4 ) + 4 ,21 8 .5 (F/ P, 1% , 1 2 ) + 4 ,21 8. F = 79 7 .04 (2 6 .9 73 5 ) + 4 ,2 18 .5 (1 .1 26 8 ) + 4 ,2 18. F = 21 ,4 98 .9 6 + 4 ,75 3 .41 + 4 ,2 18. F = $30,470.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE El SALVADOR
FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA
MATERIA: INGENIERÍA ECONÓMICA
PROFESOR: ING. ALEXANDER IBÁÑEZ
GUIA DE PROBLEMA
USO DE FACTORES
1.- Resuelva suponiendo un interés compuesto del 9 % anual:
a) ¿Qué deuda actual podrá liquidarse efectuando pagos de ¢ 100 al final de cada año por 13 años? b) ¿Qué pago el día de hoy seria equivalente a una pago de ¢ 1,500 que vence dentro de 3 años? c) ¿Cuál es el valor futuro equivalente de ¢ 5,000 a partir de hoy a 35 años?
2.- Si la familia Urrutia desea tener en su cuenta de ahorro ¢ 18,000 dentro de 5 años para
comprar un auto. ¿Cuánto dinero tendría que depositar anualmente comenzando dentro de una año, si la tasa de interés es del 6 %?.
3.- ¿Cuánto dinero se acumularía en 14 años, si se hicieran depósitos anuales de ¢ 1,
comenzando dentro de un año a una tasa de interés del 5%?.
4.- Una persona desea ahorrar durante 5 años para adquirir un rancho en la playa, que costará ¢
50,000. Si el interés es del 12 % capitalizable trimestralmente. ¿Cuánto deberá depositar anualmente?
5.- La Srta. Petrusca solicito un préstamo al Banco Cuscatlán por ¢ 10,000 y prometió pagarlos
en 36 mensualidades iguales, cada fin de mes. ¿Cuál es el monto de sus pagos si la tasa de interés des del 12%?
6.- ¿Cuánto debe depositar un padre cada 3 meses al 4 % de interés capitalizable
trimestralmente para lograr una suma global de ¢ 10,000 al cabo de 15 años para la educación de su hijo?.
7.- Determine el valor anual de las series uniformes detalladas a continuación. Suponiendo un
interés del 4 %.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
800 1000 8000 R=? 2000
12.- La compañía "INSINCA S.A." adquiere una máquina textil para su fábrica de tejidos valorada
en ¢30,783.66, mediante una prima de ¢10,125.22 comprometiéndose a cancelar el resto en letras mensuales durante 3 años. Si el interés a pagar sobre el crédito concedido es de 8% anual ¿ A cuánto ascenderá el valor de cada letra?.
13.- Se espera que una máquina tenga un costo de reacondicíonamiento por ¢9,857.98 cada 10
años. Se desea terminar el desembolso anual equivalente gastado en los 25 años de vida de servicio de la máquina, si el rendimiento esperado es del 12.77 % anual.
14.- Se compró una TV. en ¢ 2,684.45 a un plazo de 24 mensualidades iguales. El primer pago se
hará un mes después de haberío adquirido. El comprador cree que es posible que a los 12 meses pueda pagar, además de la mensualidad, una cantidad de ¢66.85, y que para saldar su deuda le gustaría seguir pagando la misma mensualidad hasta el final. Este pago adicional hará que el número de mensualidades disminuya. Calcule en qué fecha se termina de pagar el televisor, si se adquirió el 10 de enero y la tasa de interés que se cobra es el 1.57% mensual.
15.- Un préstamo de ¢1,000 se está pagando con anualidades de ¢80, a una tasa de interés del
5% anual. Un año después de 7 pagos se acuerda que el resto de la deuda se cubrirá con dos pagos iguales únicos, al final de los años 9 y 11, ¿a cuánto ascenderán estos pagos de forma que salden totalmente la deuda?.
16.- Una persona compra una grabadora en ¢750 y acordó pagarlo en 24 mensualidades iguales,
comenzando un mes después de la compra. El contrato también estipula que el comprador deberá pagar en el mes de diciembre de ambos años anualidades equivalentes a 3 pagos mensuales. Si la grabadora se adquirió el 10 de enero de 1990, tendrá que pagar en diciembre de 1990 y diciembre de 1991, 4 mensualidades en cada período (una normal más la anualidad). Si el interés que se coloca es del 1% mensual. ¿A cuánto ascienden los pagos mensuales?
17.- Una universidad local ofrece estudios de licenciatura por una cantidad anual de ¢4,
pagaderos al principio del año escolar. Otra forma de pagar los estudios es mediante la aportación de 10 mensualidades iguales. La primera se paga el 1 de septiembre y la última el 1 de julio del siguiente año. En los meses de diciembre y agosto no hay pago por estar de vacaciones. ¿A cuánto ascienden los 10 pagos mensuales uniformes para ser equivalentes a un pago de contado de ¢ 4,500 el 1 de septiembre de cada año, si la universidad aplica una tasa de interés del 2% mensual?
18.- Una persona piensa depositar ¢ 150 cada mes durante el siguiente año en un banco que paga
una tasa de interés del 1.5 % mensual. Considera que después de hacer los 12 depósitos del primer año, puede aumentar su ahorro mensual a ¢ 180. ¿Cuánto tendrá al final de dos años, si no retira ninguna cantidad de dinero durante ese tiempo?
19.- Una familia cuenta con un fondo de ¢ 30,000 para remodelar su casa en el futuro. El dinero
está depositado en un banco que paga un interés de 7 % anual. Si la familia considera que gastará ¢ 10,000 al final del segundo año y ¢ 15,000 al final del cuarto año, ¿con qué cantidad podrá contar al final del 5o. año?
20.- El Sr. Wenceslao se propuso ahorrar ¢ 1,000 cada fin de año durante 10 años en un banco que paga
un interés del 12 % anual. Sin embargo, al final de los años 5 y 7, en vez de ahorrar, tuvo que
disponer de ¢ 500 en cada una de esas fechas. ¿Cuánto acumulo al final de los 10 años, si hizo
ocho depósitos de ¢ 1,000?.
21.- Se compró un equipo de sonido por ¢ 1,100. Se acordó pagarlo en 36 mensualidades iguales,
principiando un mes después de la compra. La tasa de interés es del 1 % mensual. a) Calcule el pago mensual que deberá hacerse. b) Al final de los 12 , 24 y 36 meses es posible hacer un pago adicional a la mensualidad de ¢ 100; si se desea pagar el equipo en 36 mensualidades iguales. ¿A cuanto ascienden ahora los pagos?.
22.- Suponga que se espera que la instalación de ventanas de baja perdida térmica en su región le
represente un ahorro anual de ¢ 285.96 en su recibo de cobro de la calefacción de su casa durante los siguientes 18 años. Si puede devengar el 5.38 % al año en otras inversiones. ¿Cuánto podría estar dispuesto a gastar para estas ventanas?.
23.- José Pérez quiere que su herencia valga, ¢ 527,468.95 al final de 10 años. Ahora su valor
neto es cero. Puede acumular los ¢ 527,468.95 deseados depositando ¢ 18,239.17 al final de cada año durante los siguientes 10 años. ¿A que tasa de interés por año deben invertirse sus depósitos?
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MATERIA: INGENIERÍA ECONÓMICA
PROFESOR: ING. ALEXANDER IBÁÑEZ
G = GO (^) n – GO 1 Ó n-
G = F – A 1
n-
Do nde :
A 1 = 1 e r^ Ter mino o Cantidad B ase.
G = Gradie nte
F = Valo r Futur o.
Facto r ser ie a r it mét ica pa r a gradient es crecient es y decrecient es. ( A/G)
Es e l facto r que co nvie r te un gradie nte unifo r me “G ” para (n) año s e n una ser ie
anual unifo r me (A) , co n una tasa de inte r é s (i).
L a se r ie anual unifo r me e quivale nte (A) de una se r ie cre cie nte co n un gradie nte
unifo r me (G ) e s dado po r :
7. AT = A 1 ± G (A /G,) el signo + es para series crecient es El signo – es para series decrecient es
Do nde : AT = L a se r ie anual unifo r me e quivale nte A 1 = la cantida d base o pr ime r té r mino de do nde co mie nz a o disminu ye la Se r ie. G = Es e l gradie nte co nstante A/G = Facto r se r ie ar itmé tica
De do nde la fór mula o r iginal e s:
A (^) T = A 1 + G ( 1/i - ( n ) )
(1+I)n^ -
Al facto r
1/i - ( n ) )
(1+I)n^ -
se le co no ce co mo Facto r ser ie s ar itmé tica y se re pre se nta po r (A/G )
Facto r Ser ie Ar it mét ica Va lo r present e. (P/G)
Es e l facto r que co nvie r te un gradie nte unifo r me “g” para (n) año s e n valo r
pr e se nte (P) e n e l año 0 co n una tasa de inte r é s (i).
El valo r pre se nte to tal (P) de una se r ie cre cie nte o de cre cie nte co n un gradie nte
unifo r me (G ) es dado po r :
8. PT = A 1 (P/A ,) ± G (P/G)
De do nde e l valo r pr e se nte de l gradie nte e n su fó r mula or iginal vie ne dado po r : P = G /i ( ( 1 +i) n^ –1 - n ) I(1 +i)n^ ( 1+i) n al facto r e n cor che te se le co no ce co mo facto r se r ie ar itmé tica valo r pr e se nte y se r e pr e se nta por (P/G )
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MATERIA: INGENIERÍA ECONÓMICA
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EJ ERCI CI OS RESUEL TOS DEL USO DE GRA DI EN TES
1 ) Una pe r so na adquir ió un auto, e spe ra que e l co sto de mante nimie n to se a de $1 50 al finaliz ar e l pr ime r año y que lo s subse cue nte s aume nte a raz ó n
