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UNIDAD 1: ECUACIONES PARAMETRICAS, COORDENADAS POLARES,
VECTORES Y GEOMETRIA DEL ESPACIO
ACTIVIDAD: 1 EJERCICIOS
NUMERO DE EQUIPO:
EQUIPO 16
NOMBRE DE LOS INTEGRANTES:
LESLY BELEN MORENO CARDENAS
AQUILINO DE LA CRUZ DE LA CRUZ
ALEJANDRO RITO MODESTO
MARIA FERNANDA KYLE RIVERA
RICARDO DANIEL OCHOA RAMIREZ
JOSE SANTOS OSWALDO MEZA RAMOS
UNIVERSIDAD:
UNIVERSIDAD DEL VALLE DE MEXICO UVM EN LINEA
MATERIA:
CALCULO VECTORIAL
NOMBRE DEL PROFESOR:
FRANCISCO JAVIER TXAPARRO
FECHA:
ACTIVIDAD I:
EJERCICIOS
- Con base en el material consultado en la unidad resuelvan en equipo de dos o tres personas
los siguientes ejercicios propuestos aplicando los conocimientos sobre:
Ecuaciones paramétricas
Coordenadas polares
Vectores y geometría del espacio
Ejercicio 1. Curvas de orden superior
Revisa la Página 101 del material
sugerido y resuelve los Ejercicios 1- 14
Múltiplos de 4
Kindle, J. H. (1994). Geometría
analítica, plana y del espacio [PDF].
Recuperado de
http://librotecarios.blogspot.com/
14/01/geometria-analitica-serie-
schaum-kindle.html
Representar las funciones de los problemas.
2
3
Se puede expresar en términos de y, despejando y de la ecuación:
2
3
Las soluciones posibles son: 𝑦 = ±
𝑥
3
4 −𝑥
3
2
2
2
Ordenamos la ecuación en términos de y: 𝑥𝑦
2
2
3
2
2
3
2
2
−𝑥
3
− 4 𝑥
2
𝑥− 4
; 𝑥 ≠ 4 , por lo tanto, las posibles soluciones son:
−𝑥
3
− 4 𝑥
2
𝑥 − 4
Ejercicio 2. Ecuaciones paramétricas
Revisa la Página 18 y resuelve los
Ejercicios 13, 15 y 17
Kindle, J. H. (1994). Geometría
analítica, plana y del espacio [PDF].
Recuperado de
http://librotecarios.blogspot.com/2014/
01/geometria-analitica-serie-schaum-
kindle.html
13.- Hallar la ecuación de la recta que pase
a) por el punto (2, - 1) y sea perpendicular a la recta que une los puntos (4,3) y (-2,5)
b) por el punto (-4,1) y sea paralela a la recta que une los puntos (2,3) y (-5,0)
Estos ejercicios están resueltos en el material proporcionado:
a) Si dos rectas son perpendiculares, la pendiente de una de ellas es igual al recíproco,
con signo contrario, de la pendiente de la otra.
Pendiente de la recta que pasa por (4,3) y (-2,5) =
5 − 3
− 2 − 4
= −
1
3
Pendiente de la recta pedida = recíproco con signo contrario de −
1
3
= 3.
Sea (x,y) un punto genérico de la recta pedida. La pendiente de la recta que pasa
por (x,y) y (2,-1) es
𝑦+ 1
𝑥− 2
Simplificando 3 𝑥 − 𝑦 − 7 = 0
Resultado: 𝟑𝒙 − 𝒚 − 𝟕 = 𝟎
b) Si las dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales.
Sea (x,y) un punto genérico de la recta pedida.
Pendiente de la recta que pasa por (2,3) y (-5,0) = pendiente de la recta que pasa
por (x,y) y (-4,1).
Por tanto,
3 − 0
2 + 5
=
𝑦− 1
𝑥+ 4
simplificando, 3 𝑥 − 7 𝑦 + 19 = 0
Resultado: 𝟑𝒙 − 𝟕𝒚 + 𝟏𝟗 = 𝟎
17.- Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x,y) cuya relación de
distancia a la recta 𝑦 − 4 = 0 y al punto (3,2) = 1.
Este ejercicio está resuelto en el material proporcionado:
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑃
( 𝑥,𝑦
) 𝑎 𝑦− 4 = 0
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑃
( 𝑥,𝑦
) 𝑎 ( 3 , 2 )
= 1 , o sea
4 −𝑦
√(𝑥− 3 )
2
+(𝑦− 2 )
2
Elevando al cuadrado y simplificando, ( 4 − 𝑦)
2
2
2
, o bien
2
2
2
Resultado: 𝒙
𝟐
Esta es la ecuación de una parábola:
Ejercicio 3. Coordenadas polares
Revisa las Páginas 80 y 81 y resuelve
los ejercicios: 2 incisos a) y b), así como
los Ejercicios 4 y 10
Kindle, J. H. (1994). Geometría
analítica, plana y del espacio [PDF].
Recuperado de
http://librotecarios.blogspot.com/2014/
01/geometria-analitica-serie-schaum-
kindle.html
- Hallar la distancia entre los pares de puntos siguientes, expresando los resultados con
una cifra decimal.
Fórmula= P₁P₂ =√𝑟₁² + 𝑟₂² - 2r₁r₂ cos(0₂0)
a) (5;45°) y (8;90°) Sol 5,
d=√5²+8²-2(5)(8)cos(90°-45°)
d=√25+ 64 - 80 *cos 45°
d=√25+64-80*0.
d=√25+64-56.
d=√32.
d=5.
b) (-5;-120°) y (4;150°) Sol 6,
d=√-5²+4²-2(-5)(4) cos(150° - (-120°))
d=√25+16+40*cos(270°)
d=√25+26+40*
d=√25+
d=√
d=6.
4.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (4; 120°) y es perpendicular a OX.
Sol r cos 0 + 2 = 0
r cos 0 = 4 cos 120°
r cos 0 = 4 * - ½
r cos 0 = - 2
r cos +2 = 0
- Hallar la ecuación polar de la circunferencia de centro el polo y radio igual a 5. Sol r=
r²= x²+y²
r²= (x-a)² + (y-b)²
5²= (x-0)² + (y - 0)²
25 = x²+y²
25=r²
√r²=√
r=
Ejercicio 4. Vectores en el plano y espacio
Revisa la Página 7 y resuelve los
ejercicios 6 a 10
Jane, S. (2013). Cálculo vectorial
[Versión electrónica]. Recuperado de
https://elibro.net/es/ereader/uvm/
5?page=
Colección E-Libro Pórtico UVM
a) Describa los vectores AB y BA
b) Describa los vectores AC, BC, y AC + CB
c) Explique con graficas por qué AC + CB = AB
A= (1,0,2) AB=(Bᵪ-Aᵪ Bᵪ-Aᵧ)
B=(-3,3,1)
C=(2,1,5)
A)
AB = (- 3 - 1,3-0, 1-2)
AB= (-4,3,-1)
BA= (1-(-3),0-3,2-1)
BA = (4-3,1)
b)
AC =(2-1,1-0,5-2)
AC =(1,1,3)
BC = (2-(-3),1-3,5,-i)
BC = (5,-2,4)
AC + CB = (1,1,3) + (- 3 - 2,3-1,1-5)
AC + CB = (1,1,3) + (-5,2,-4)
AC + CB =(1,-5, 1+2, 3-4)
AC + CB =(-4,3,-1)
c)
8.- Grafique (1,2,1) y (0,-2,3)y calcule y grafique(1,2,1) + (0,-2,3),-1(1,2,1) y 4(1,2,1).
9.- Si (-12,9,z) + (x,7,-3) = (2,y,5) ¿cuánto valen x, y Y z?
(-12,9,2) + x, 7,-7)= 2,y,
x=2+
x=
9+70=y
y=9+
y=
Z-3=
Z=5+
Z=
10.- ¿Cuál es la longitud (magnitud) del vector (3,1)? (sugerencia: sería util emplear un
diagrama)
Ejercicio 5. Producto punto
Revisa la Página 26 y resuelve el punto
1.3 Ejercicios 1, 3 y 5
Jane, S. (2013). Cálculo vectorial
[Versión electrónica]. Recuperado de
https://elibro.net/es/ereader/uvm/
5?page=
Colección E-Libro Pórtico UVM
Evalúe los determinantes que aparece en los ejercicios.
= 1 𝑥 4 = 4 2 𝑥 3 = 6 - 4=2 R=
=1x2x3=6+3x7x(-1)+=- 21 +5x0x0=
1 )x2x5=- 10 +0x7x1=0+3x0x3=0)=6-21+0-(-10+0+0)=6- 21 - (-10)=6-21+10=- 5
R=- 5
- (3i-2j+k)x(i+j+k)=
𝑘 = − 3 𝑗 − 2 𝑗+5k
- (i+j)x(-3i+2j)=
Ejercicio 7. Planos
Revisa la Página 120 y resuelve los
Ejercicios 1a, 1c, 3, 5a y 6a
Kindle, J. H. (1994). Geometría
analítica, plana y del espacio [PDF].
Recuperado de
http://librotecarios.blogspot.com/2014/
01/geometria-analitica-serie-schaum-
kindle.html
- Hallar la ecuación del plano:
1ª) Paralelo al plano xy y situado 3 unidades por debajo de él.
Cz+D=
z=- 3
1c) Perpendicular al eje z en el punto (0,0,6).
Cz+D=
Z=
3 Hallar la ecuación del plano paralelo al eje z y que corta a los ejes x e y en los
puntos 2 y - 3, respectivamente. Sol. 3~ - 2y - 6 = O
Y=my+b m=
𝑦 2 −𝑦 1
𝑥 2 −𝑥 1
m=
− 3
2
y=mx
y=
− 3
2
2y=-3x
3x+2y=
- Hallar las ecuaciones del plano:
5ª) Que pasa por el punto (3, - 2,4) y es perpendicular a la recta de componentes 2,
P0p.⋂ = 0
P0p=p-p
P=(x,y,z)
P0=(3,-2,4)
(x-3,y+2,z-4)x(2,2,-3)
2(x-3)+2(y+2)-3(z-4)=
2x-6+2y+4-3z+12=
2x+2y-3z+10=
- Hallar la ecuación del plano:
6ª) Que pasa por el punto (-1, 2, 4) y es paralelo al plano 2x - 3y - 5z + 6 = O. sol. 2x
P0=(-1,2,4)
2x-3y-5z+6=
N=(2,-3,-5)
P0=(-1,2,4)
P0p.⋂ = 0
p-p
p=(x,y,z,)
p0=(-1,2,4)
(x+1,y-2,z-4)x(2,3,-5)=
2(x+1)+3(y-2)-5(z-4)=
2x+2-3y+6-5z+20=
2x-3y-5z+28=
Ejercicio 8. Recta en el espacio
Revisa la Página 127 (Problemas
propuestos 1a y 1c)
Kindle, J. H. (1994). Geometría
analítica, plana y del espacio [PDF].
Recuperado de
http://librotecarios.blogspot.com/2014/
01/geometria-analitica-serie-schaum-
kindle.html
a)
2x-y+ z - 5 =0, x+2y-2z- 5 = 0 , para z = 1
2x-y+z=
Se sustituye z=
2x-y+1-5=
2x-y-4=0 ecuación 1
x+2y-2z-5=
se sustituye Z
x+2y- 2 - 5=
x+2y-7=0 ecuación 2
Haciendo cálculos entre coordenadas podemos deducir que el centro es (1,1,1) por lo que a=1,
b=1, c=
2
2
2
2
2
2
( 𝑥 − 1
)
2
( 𝑦 − 1
)
2
( 𝑧 − 1
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
√
1
2
2
2
)
2
(
√ 2
2
2
2
)
2
(
√ 2
2
2
2
)
2
2
2
2
Ejercicio 10. Coordenadas cilíndricas y esféricas
Revisa la Página 73 Ejercicio 1.
(Incisos 14 a 18 )
Jane, S. (2013). Cálculo vectorial
[Versión electrónica]. Recuperado de
https://elibro.net/es/ereader/uvm/
5?page=
P(x,y,z) = P(r, Ө,z)
2
2
2
2
tan 𝜃 =
, 𝜃 = tan
− 1
= tan
− 1
Las coordenadas cilíndricas son (1, 0, 2)
P(x,y,z) = P(r, Ө,z)
2
2
2
2
tan 𝜃 =
, 𝜃 = tan
− 1
= tan
− 1
ó − 59 .98°
Las coordenadas cilíndricas son (2, −
𝜋
3
P(x,y,z) = P(r, Ө,z)
2
2
2
2
tan 𝜃 =
, 𝜃 = tan
− 1
= tan
− 1
φ = cos
− 1
2
2
2
, φ = cos
− 1
2
2
2
ó 59 .98°
Las coordenadas esféricas son (2, Error,
𝜋
3
- Escribe una conclusión sobre la importancia de utilizar el fundamento teórico de las
ecuaciones paramétricas, coordenadas polares, vectores y geometría del espacio como
elementos básicos para el aprendizaje y aplicación del cálculo vectorial.
Conclusión:
El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas basado en el estudio de los
vectores y los cálculos sobre los mismos. Para comprender y aplicar correctamente el
cálculo vectorial, es importantetener un conocimiento profundo de los fundamentos
teóricos básicos como las ecuaciones paramétricas, las coordenadas polares, los
vectores y la geometría espacial. El significado de cada uno de estos elementos se
describe detalladamente a continuación:
Ecuación paramétrica:
Las ecuaciones paramétricas le permiten describir una curva o
superficie utilizando parámetros. En el cálculo vectorial, se necesitan ecuaciones
paramétricas para representar trayectorias y curvas en un espacio tridimensional.
Comprender y utilizar ecuaciones paramétricas es esencial para estudiar curvas en el
espacio, como curvas en un plano, curvas en el espacio y curvas en el
espacio tridimensional.
Coordenadas polares:
Las coordenadas polares son otra forma de representar puntos en un plano usando
ángulos y distancias desde el origen. En cálculo vectorial, las coordenadas polares son
especialmente útiles para describir y analizar curvas y áreas en un plano. Además, las
coordenadas polares son esenciales para comprender conceptos como las derivadas
polares y los productos polares, que son la base del cálculo vectorial.
Vectores:
Los vectores son los elementos básicos del cálculo vectorial. Representan cantidades
que tienendirección y significado y se utilizan para describir desplazamiento, fuerza,
velocidad y aceleración.Comprender conceptos vectoriales básicos como suma, resta,
producto escalar y producto escalar es esencial para realizar cálculos vectoriales y
resolver problemas de cálculo vectorial.
Geometría del espacio:
La geometría espacial se refiere al estudio de formas y propiedades geométricas
en un espacio tridimensional. En el cálculo vectorial, la geometría del espacio es
fundamental para comprender y visualizar conceptos como curvas en el espacio,
superficies en el espacio y áreas en el espacio tridimensional. Además, la
geometría espacial también proporciona herramientas y técnicas para resolver
problemas de cálculo vectorial, como el cálculo de área y volumen. Por tanto, dominar
las bases teóricas de las ecuaciones paramétricas, las coordenadas polares, los
vectores y la geometría espacial es fundamental para la investigación y aplicación de
los cálculos vectoriales.
- Procura compartir y revisar el procedimiento y resultados de cada ejercicio realizado en
equipo e integrarlos en un solo documento para su envío al docente.
- Al finalizar esta actividad, vuelve a la plataforma y sigue los pasos que se indican para enviar
tu trabajo.
