Download Vector Calculus: Fundamentals and Applications and more Study notes Mathematics in PDF only on Docsity!
ANALISIS VEKTOR
Aljabar Vektor
Operasi vektor
Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah
perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran yang
hanya memiliki nilai tanpa arah disebut dengan skalar. Contohnya adalah massa, muatan,
kerapatan, dan temperatur. Untuk notasinya, besaran yang dinyatakan sebagai vektor akan
ditandai dengan tanda panah di atas simbolnya (
A ,
B, dan seterusnya), sedangkan skalar
dinyatakan dengan huruf biasa. Besar (nilai) dari suatu vektor
A
dapat dituliskan ∣A∣
atau dengan notasi skalar, A.
Gambar 1
Dalam diagram, vektor biasanya dinyatakan dengan panah. Panjang dari panah
sebanding dengan besar vektor dan kepala panah menyatakan arah dari vektor tersebut.
Minus
A
(yaitu A ) adalah sebuah vektor dengan besar yang sama seperti
A
, tetapi
pada arah sebaliknya (gambar 1). Perhatikan bahwa vektor memiliki besar dan arah, tetapi
tidak mutlak menyatakan lokasi. Sebagai contoh, sebuah perpindahan sejauh 4 km ke arah
utara dari Bandung direpresentasikan dengan vektor yang sama pada perpindahan sejauh 4
km ke utara Padang (kelengkungan Bumi diabaikan). Dengan demikian vektor dapat
digeser sesuka hati selama besar dan arahnya tidak diubah.
halaman 1
A
A
halaman 2
Operasi vektor dapat dibagi menjadi empat kelompok:
(1) Penjumlahan dua vektor. Tempatkan ekor
B
pada kepala
A
sehingga dapat
diperoleh jumlah vektor
AB
, yaitu vektor dari ekor
A
hingga kepala
B
(gambar 2).
Penjumlahan vektor bersifat komutatif sehingga jika
B
ditukar dengan
A pada proses di
atas, maka hasilnya akan tetap sama:
AB=B A
Gambar 2
Penjumlahan ini juga bersifat asosiatif:
ABC= AB C
Untuk mengurangkan sebuah vektor (gambar 3), tambahkan kebalikannya:
AB= AB.
Gambar 3
(2) Perkalian dengan sebuah skalar. Perkalian suatu vektor oleh sebuah skalar k
positif merupakan perkalian besar vektor oleh skalar tersebut dengan arah yang tidak
berubah (gambar 4). Namun jika k negatif, arah vektor berubah menjadi sebaliknya.
A
B
B A
A
B
B A
A
B
AB
halaman 4
dengan n adalah sebuah vektor satuan (yang panjangnya 1) mengarah tegak lurus bidang
yang sisi-sisinya dibentuk oleh vektor
A
dan
B
. Namun ternyata ada dua arah yang
tegak lurus bidang tersebut, yaitu “masuk” dan “keluar”. Untuk mengatasi masalah ini,
digunakanlah kesepakatan aturan tangan kanan: jadikan keempat jari selain ibu jari agar
menunjuk pada vektor pertama (dengan ibu jari tegak lurus keempat jari), kemudian putar
keempatnya (pada sudut terkecil) ke arah vektor kedua, maka ibu jari menandakan arah
dari perkalian silang kedua vektor tersebut. Perhatikan bahwa
A×B
akan menghasilkan
sebuah vektor sehingga perkalian silang sering disebut dengan perkalian vektor.
Gambar 6.
A×B mengarah keluar bidang kertas,
B× A mengarah masuk bidang kertas.
Perkalian silang bersifat distributif,
A×B C = A×B A× C
tetapi tidak komutatif, justru
A×B=B× A
Secara geometri, ∣A×B∣ adalah luas daerah jajaran genjang yang dibentuk oleh
A
dan
B
(gambar 6). Jika kedua vektor saling sejajar, maka perkalian silangnya nol dan secara
khusus
A× A= 0
untuk sembarang vektor
A
Bentuk komponen
Pada bagian sebelumnya telah didefinisikan beberapa operasi vektor dalam bentuk yang
masih kabur, yakni tanpa merujuk pada sistem koordinat tertentu. Dalam praktik biasanya
cukup mudah untuk bekerja dengan komponen vektor dalam sistem koordinat tertentu.
Misalkan pada koordinat kartesian:
i ,
j , dan
k masing-masing adalah vektor satuan
A
B
halaman 5
yang sejajar dengan sumbu-x, y, dan z (gambar 7). Sebuah vektor sembarang
A
dapat
dinyatakan dalam suku vektor basis tersebut (gambar 8), yaitu
A= A
x
i A y
j A z
k.
Gambar 7 Gambar 8
Bilangan
A
x
A
y
, dan
A
z
disebut komponen dari
A
. Tafsiran geometri dari
komponen vektor tersebut adalah proyeksi
A
sepanjang tiga sumbu koordinat. Dengan
hasil ini, keempat operasi vektor yang telah dijelaskan sebelumnya dapat dirumuskan ulang
dalam bentuk komponen-komponennya:
(1) Penjumlahan dua vektor:
AB= A
x
B
x
i A y
B
y
j A z
B
z
k
(2) Perkalian dengan sebuah skalar:
k
A=k A x
i k A y
j k A z
k.
(3) Perkalian titik dua vektor:
i⋅i = j⋅j = k
k= 1 ;
i
j =i⋅k= j⋅k= 0
A⋅B= A
x
B
x
A
y
B
y
A
z
B
z
A⋅A= A
x
2
A
y
2
A
z
2
⇒ A=
A
x
2
A
y
2
A
z
2
x
y
z
i
j
k
x
y
z
A
x
i
A
y
j
A
z
k
A
halaman 7
Posisi, perpindahan, dan jarak
Lokasi sebuah titik dalam tiga dimensi dapat dinyatakan dalam koordinat kartesian
x , y , z . Vektor yang mengarah ke titik tersebut dari titik asal disebut dengan vektor
posisi:
r =x
i y
j z
k
Besarnya
r = x
2
y
2
z
2
,
adalah jarak dari titik asal, dan
r =
r
r
x
i y
j z
k
x
2
y
2
z
2
merupakan vektor satuan yang mengarah radial keluar.
Bagian kecil vektor perpindahan, dari x , y , z hingga xdx , ydy , z dz adalah
d r =dx
i dy
j dz
k
Pada berbagai kasus fisika, kita akan sering berhadapan dengan permasalahan yang
melibatkan dua titik, yatu sebuah titik sumber r ' (tempat sumber medan berada) dan titik
medan r yang sedang ditinjau besar medannya. Akan memudahkan jika sejak awal
dibuatkan notasi baru untuk menyatakan posisi relatif dari titik sumber ke titik medan.
Notasi yang akan digunakan untuk keperluan ini adalah r (gambar 9):
r =r r '.
Gambar 9. Vektor posisi relatif antara titik sumber dan titik medan.
r
r '
r
titik sumber
titik medan
halaman 8
Besar dari vektor posisi relatif tersebut adalah
r=∣r r '∣ ,
dan vektor satuannya (mengarah dari r ' ke r ):
r=
r
r
r r '
∣r r '∣
Kalkulus Vektor
Limit, kontinuitas, dan turunan fungsi vektor
Jika untuk setiap nilai suatu skalar u kita kaitkan sebuah vektor
A
, maka
A
disebut
fungsi dari u dan dinyatakan dengan
A u
. Notasi ini dalam tiga dimensi dapat dituliskan
menjadi
A u =A x
u i A y
u j A z
u k
Konsep fungsi ini dapat diperluas dengan mudah. Jika setiap titik x , y , z berkaitan
dengan sebuah vektor
A
, maka
A
adalah fungsi dari x , y , z yang dinyatakan dengan
A x , y , z = A x
x , y , z i A y
x , y , z j A z
x , y , z k. Dapat dikatakan vektor
A
ini mendefinisikan sebuah medan vektor dan serupa dengannya x , y , z mendefinisikan
medan skalar.
Aturan limit, kontinuitas, dan turunan untuk fungsi vektor mengikuti aturan yang sama
seperti skalar.
(1) Fungsi vektor yang dinyatakan dengan
A u dikatakan kontinu pada u 0
jika untuk
setiap bilangan positif dapat ditemukan suatu bilangan positif sehingga
∣Au Au 0
∣ dengan ∣uu 0
. Pernyataan ini ekuivalen dengan
lim
u u 0
Au = A u 0
(2) Turunan dari
A u didefinisikan
d
A
du
= lim
u 0
A u u A u
u
, dengan syarat
limitnya ada. Pada kasus
A u =A x
u i A y
u j A z
u k dapat diperoleh
halaman 10
divergensi: div
A=
∇⋅A=
∂ A
x
∂ x
∂ A
y
∂ y
∂ A
z
∂z
curl: curl
A=
∇× A=
∣
i
j
k
∂ x
∂ y
∂ z
A
x
A
y
A
z
∣
Jika turunan parsial dari fungsi-fungsi
A
B
, U , dan V diasumsikan ada, maka
∇ U V =
∇ U
∇ V atau grad U V =grad U grad V
∇⋅ A B=
∇⋅A
∇⋅B atau div AB=div
Adiv
B
∇× AB =
∇ × A
∇ ×B atau curl AB =curl
Adiv
B
∇⋅U
A =
∇ U ⋅AU
∇⋅A
∇×U
A=
∇ U × AU
∇× A
∇⋅ A ×B=B⋅
∇ × A A⋅
∇ ×B
∇× A×B = B⋅
∇ A B
∇⋅A A⋅
∇ B A
∇⋅B
∇ A⋅B = B⋅
∇ A A⋅
∇ BB×
∇ × A A×
∇ ×B
∇ U =∇
2
U =
2
U
∂ x
2
2
U
∂ y
2
2
U
∂z
2
disebut Laplacian dari U
dan ∇
2
2
∂ x
2
2
∂ y
2
2
∂ z
2
disebut dengan operator Laplacian.
∇×
∇ U =0. Curl dari gradien U adalah nol.
∇ × A =0. Divergensi dari curl
A
adalah nol.
∇×
∇× A =
∇⋅A ∇
2
A
Gradien, divergensi, dan curl bukanlah sekedar operasi matematik belaka. Ketiganya
dapat ditafsirkan secara geometri.
halaman 11
Tafsiran Gradien. Seperti vektor lainnya, gradien memiliki besar dan arah. Untuk
menentukan arti geometrinya, kita dapat memisalkan ada sebuah fungsi tiga variabel,
katakanlah temperatur dalam ruang, T x , y , z , yang merupakan sebuah skalar.
Seberapa cepat perubahan temperatur tersebut dinyatakan dalam bentuk diferensial total
dT =
∂ T
∂ x
dx
∂ T
∂ y
dy
∂ T
∂ z
dz.
(35)
Dalam bentuk perkalian titik, pernyataan di atas setara dengan
dT =
∂ T
∂ x
i
∂T
∂ y
j
∂ T
∂z
k
⋅dx
idy
j dz
k
∇ T ⋅d r
atau
dT =
∇ T⋅d r =∣
∇ T∣∣d r ∣cos
yang berarti
dT
dr
∇ T∣cos =
∇ T⋅u ,
dengan adalah sudut antara
∇ T
dan d r , kemudian u adalah suatu vektor satuan
yang menyatakan arah gerak kita. Dengan demikian, laju perubahan temperatur ( dT /dr )
akan bernilai paling besar ketika geraknya searah dengan
∇ T
(yaitu saat =0 ).
Bayangkan kita berada pada sebuah lereng bukit. Lihat ke sekeliling dan temukan
bagian yang paling curam. Itu adalah arah dari gradien. Sekarang ukur kemiringan pada
arah tersebut. Itu adalah besar dari gradien. Lalu bagaimana jika gradiennya nol? Jika
∇ T = 0
pada x , y , z , maka dT = 0 untuk perpindahan yang kecil di sekitar titik
x , y , z . Keadaan ini akan berarti sebuah titik stasioner dari fungsi T x , y , z . Titik
tersebut dapat berupa nilai maksimum (puncak), minimum (lembah), daerah pelana, atau
sebuah permukaan berbentuk seperti “bahu”.
Tafsiran Divergensi. Sesuai namanya, divergensi
∇⋅A
menyatakan ukuran
penyebaran vektor
A
. Perhatikan gambar 10 sebagai contoh pada kasus dua dimensi.
halaman 13
Koordinat lengkung
Misalkan persamaan transformasi
x= f u 1
, u 2
, u 3
, y = g u 1
, u 2
, u 3
, z =h u 1
, u 2
, u 3
(dengan asumsi f, g, h kontinu, memiliki turunan parsial kontinu, dan memiliki sebuah nilai
invers tunggal) membentuk korespondensi satu-satu antara titik-titik dalam sistem
koordinat xyz dan u 1
u 2
u 3
. Dalam notasi vektor, persamaan (39) dapat dituliskan
r =x
i y
j z
k= f u 1
, u 2
, u 3
i g u 1
, u 2
, u 3
j h u 1
, u 2
, u 3
k.
Sebuah titik P (gambar 12) dengan demikian dapat didefinisikan tidak hanya oleh
koordinat x , y , z tetapi juga oleh koordinat u 1
, u 2
, u 3
. Kita sebut u 1
, u 2
, u 3
sebagai koordinat lengkung dari suatu titik.
Gambar 12
Dari persamaan (40), diperoleh
d r =
∂r
∂ u 1
du 1
∂ r
∂ u 2
du 2
∂ r
∂ u 3
du 3
Dalam sistem koordinat lengkung ini, bentuk diferensial dari panjang busur suatu kurva
dapat dituliskan
ds
2
= g 11
du 1
2
g 22
du 2
2
g 33
du 3
2
dengan
y
z
P
r
x
e
1
e
2
e
3
u
2
u
3
u 1
halaman 14
g 11
∂ r
∂ x
∂ r
∂ x
g 22
∂r
∂ y
∂ r
∂ y
g 22
∂ r
∂ z
∂ r
∂ z
Vektor ∂r /∂ u 1
bersinggungan dengan koordinat u 1
pada P. Jika e 1
merupakan
sebuah vektor satuan pada arah tersebut, maka ∂r /∂ u 1
=h 1
e 1
dengan h 1
=∣∂r /∂ u 1
Serupa dengannya, ∂r /∂ u 2
=h 2
e 2 dan ∂r /∂ u 3
=h 3
e 3 dengan h 2
=∣∂ r / ∂ u 2
dan
h 3
=∣∂ r /∂ u 3
. Dengan demikian,
d r =h 1
du 1
e 1
h 2
du 2
e 2
h 3
du 3
e 3
Besaran h 1
, h 2
, h 3
sering disebut sebagai faktor skala.
Jika e 1
, e 2
, e 3
saling tegak lurus pada titik P, koordinatnya dikatakan ortogonal. Oleh
karena itu, kita temukan kuadrat panjang busur adalah
ds
2
=d r⋅d r =h 1
2
du 1
2
h 2
2
du 2
2
h 3
2
du 3
2
yang bersesuaian dengan panjang diagonal ruang balok pada gambar 12, dan elemen
volumnya ( d ) dapat ditulis
d =h 1
h 2
h 3
du 1
du 2
du 3
Misalkan adalah sebuah fungsi skalar dan
A= A
1
e 1
A
2
e 2
A
3
e 3
adalah fungsi
dalam koordinat lengkung ortogonal u 1
, u 2
, u 3
, maka gradien, divergensi, curl, dan
laplacian-nya adalah:
∇ =grad =
h 1
∂u 1
e 1
h 2
∂ u 2
e 2
h 3
∂u 3
e 3
∇⋅A=div
A=
h 1
h 2
h 3
[
∂ u 1
A
1
h 2
h 3
∂u 2
h 1
A
2
h 3
∂u 3
h 1
h 2
A
3
]
∇× A=curl
A=
h 1
h 2
h 3
h 1
e 1
h 2
e 2
h 3
e 3
∂ u 1
∂ u 2
∂u 3
A
1
A
2
A
3
2
=laplacian =
h 1
h 2
h 3
[
∂u 1
h 2
h 3
h 1
∂ u 1
∂ u 2
h 1
h 3
h 2
∂ u 2
∂ u 3
h 1
h 2
h 3
∂ u 3
]
halaman 16
Koordinat Bola , , . Perhatikan gambar 14.
Persamaan transformasi: x=r sin cos , y=r sin sin , z =r cos
dengan r ≥0 , 0≤≤, 0≤ 2 .
Faktor skala: h 1
=1 , h 2
=r , h 3
=r sin .
Elemen panjang busur: ds
2
=dr
2
r
2
d
2
r
2
sin
2
d
2
Elemen volum: d =r
2
sin dr d d
Integral Garis, Permukaan, dan Volum
Dalam bahasan listrik magnet selanjutnya akan ditemui berbagai macam bentuk integral,
diantaranya yang paling penting adalah integral garis (atau lintasan), integral permukaan
(atau fluks), dan integral volum.
Integral Garis. Sebuah integral garis I adalah suatu pernyataan dalam bentuk
I =
a
b
v⋅d r , (47)
dengan v adalah sebuah fungsi vektor, d r adalah elemen vektor perpindahan (pers. 22),
dan daerah integrasi berada pada lintasan antara titik a hingga titik b. Jika lintasan
integrasi membentuk loop tertutup, maka tanda integral diberi tambahan lingkaran:
v⋅d r.
Integral Permukaan. Sebuah integral permukaan I didefinisikan
I =
S
v⋅d a
,
dengan v adalah sebuah fungsi vektor dan d a adalah elemen vektor luas yang arahnya
tegak lurus permukaan yang dimaksud. Jika permukaannya tertutup (menjadi seperti
ruang), maka seperti sebelumnya tanda integral diberi tambahan lingkaran:
v⋅d
a.
Untuk integral permukaan biasa (pers. 48) , dapat ditemui dua arah yang tegak lurus
halaman 17
permukaan sehingga pemilihan arah permukaan akan cukup membingungkan. Namun
biasanya kita bebas memilih salah satu dari kedua arah tersebut. Untuk kasus integral
permukaan tertutup, arah yang keluar (menjauh) dari permukaan disepakati sebagai arah
elemen luas, d a.
Integral Volum. Sebuah integral volum I dinyatakan
I =
∫
V
T d
,
dengan T adalah sebuah fungsi skalar dan d adalah elemen kecil dari volum. Untuk
koordinat kartesian,
d =dx dy dz
Sebagai contoh, jika T adalah kerapatan suatu materi (yang nilainya dapat bervariasi dari
titik ke titik), maka integral volum akan memberikan massa total.
Kadang akan ditemui juga bentuk integral volum dari suatu fungsi vektor:
v d =
v x
i v y
j v z
k d =i
v x
d j
v y
d k
v z
d
Teorema fundamental
Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan bentuk integral
yang berdasarkan pada teorema tertentu. Ada tiga teorema fundamental berkaitan dengan
operasi diferensial dan integral yang telah dijelaskan sebelumnya.
Teorema Gradien:
a
b
∇ T ⋅d r =T b T a
Teorema Curl (Stokes):
S
∇ ×v ⋅d a=
v⋅d r
Teorema Divergensi (Gauss):
V
∇⋅v d =
S
v⋅d
a
Dari pers. 50 s.d. 52 dapat dilihat bahwa teorema gradien melibatkan operasi gradien dan
integral garis; teorema curl melibatkan operasi curl, integral permukaan, dan integral garis;
halaman 19
Jawab:
Dari gambar dapat kita tentukan:
C= AB
, kemudian
C⋅C = AB⋅ AB = A⋅A A⋅BB⋅AB⋅B
atau
C
2
=A
2
B
2
2 AB cos (aturan cosinus).
SOAL 2
Tentukan sudut antara dua buah diagonal ruang suatu kubus!
Jawab:
Berdasarkan gambar di samping,
A= 1
i 1
j 1
k
A=
B= 1
i 1
j 1
k
B=
A⋅B= 1 1 1 = 1 = A B cos=
3cos
⇔cos =
sehingga =arc cos
o
SOAL 3
Dengan menggunakan perkalian silang, tentukanlah
komponen vektor satuan yang tegak lurus bidang seperti
ada gambar!
Jawab:
Perkalian silang antara dua vektor sembarang yang menjadi
sisi-sisi bidang pada gambar akan menghasilkan vektor
yang tegak lurus bidang tersebut. Sebagai contoh, ambil bagian alas dan sisi sebelah kiri
masing-masing menjadi vektor
A
dan
B
x
y
z
A
r
B
r
x
y
z
1
3
2
nˆ
halaman 20
A= 1
i 2
j 0
k
B= 1
i 0
j 3
k
A×B=
∣
i
j
k
∣
i 3
j 2
k.
Vektor
A×B
ini arahnya sudah sesuai dengan n , tetapi besarnya belum cocok (ingat,
vektor satuan harus bernilai 1 satuan). Untuk menghasilkan vektor satuan n , bagi saja
A×B
dengan besarnya: ∣ A×B∣= 36 9 4 =7. Dengan demikian,
n =
A×B
∣ A×B∣
i
j
k.
SOAL 4
Carilah vektor posisi relatif r dari titik sumber (2, 8, 7) ke titik medan (4, 6, 8). Tentukan
besarnya dan bentuk vektor satuan
r !
Jawab:
r=r r '= 4
i 6
j 8
k 2
i 8
j 7
k= 2
i 2
j 1
k
∣r∣= 4 4 1 = 3 , sehingga r=
i
j
k.
SOAL 5
Tentukan gradien fungsi-fungsi berikut:
(a) f x , y , z =x
2
y
3
z
4
; (b) f x , y , z =x
2
y
3
z
4
; (c) f x , y , z =e
x
sin y lnz
Jawab:
(a)
∇ f = 2 x
i 3 y
2
j 4 z
3
k
(b)
∇ f = 2 x y
3
z
4
i 3 x
2
y
2
z
4
j 4 x
2
y
3
z
4
k
(c)
∇ f =e
x
sin y ln z i e
x
cos y ln z j e
x
sin y
z
k
