TRƯỜNG ĐỊNH HƯỚNG
1. Đặt vấn đề
Thông thường, hầu hết mọi tình huống vật lý xảy ra trong tự nhiên đều có thể
được mô tả bằng một phương trình vi phân thích hợp. Phương trình vi phân có
thể dễ hoặc khó đạt được tùy thuộc vào tình huống và các giả định được đưa ra
về tình huống đó và chúng ta có thể không bao giờ giải được nó, tuy nhiên nó sẽ
tồn tại. Cho đến ngày nay, chúng ta không thể giải được tất cả các phương trình vi
phân theo hướng tìm một công thức tường minh cho nghiệm phương trình. Trong
phần này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng mặc dù không có công thức nghiệm tường minh
cụ thể nhưng nó vẫn có thể được giới thiệu trước khi chúng ta bắt đầu giải
phương trình. Thông qua phương pháp đồ thị ( trường định hướng), có thể biết
được nhiều thông tin về nghiệm của phương trình, đây là một phần hay để cho
bạn thấy rằng phương trình vi phân xuất hiện một cách vô cùng tự nhiên trong
nhiều trường hợp.
2. Cơ sở lý thuyết
L. Euler (1707–1783) đã phát hiện ra cách vẽ đồ thị thể hiện hành vi của tất cả các
nghiệm của một phương trình vi phân đã cho mà không cần giải phương trình. Đồ
họa được xây dựng từ một mạng lưới các điểm được sắp xếp trên một cửa sổ đồ
thị. Đi kèm với mỗi điểm lưới là một đoạn đường có tâm trên điểm lưới. Các đoạn
đường không chồng lên nhau.
Phương pháp trường định hướng là một phương pháp đồ họa để hiển thị hình
dạng và hành vi chung của nghiệm đối với y’= f(x, y). Nó vẫn tồn tại như một chủ
đề cơ bản bởi vì nó không yêu cầu giải quyết vi phân phương trình y’= f(x, y) .
Phương pháp lưới đều và phương pháp đẳng cự được giới thiệu dành cho việc xây
dựng các trường định hướng bằng máy tính và bằng tay.
Cửa sổ đồ thị cộng với các cặp điểm lưới và đoạn đường được gọi là trường định
hướng, miễn là đoạn đường tại điểm lưới (x0, y0) trùng nhau với đường tiếp tuyến
của lời giải của bài toán giá trị ban đầu :
y’ = f(x,y),
y(x0) = y0.
