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그래프그래프 (graph): 공집합이 아닌 정점정점 (vertex) 들의 유한 집합과
이 정점들을 연결하는 간선간선 (edge) 으로 구성되는 자료구조
수학적 정의 : 그래프 G 는 G = ( V , E ) 로 정의되며 , 여기서
V ( G ): 공집합이 아닌 정점들의 유한집합
E ( G ): 간선들의 집합
무방향무방향 그래프그래프 (undirected graph):^ 간선의 방향성이 없는 그래프
유방향유방향 그래프그래프 (directed graph, digraph): 간선의 방향성이 있는
방향 그래프에서는 간선을 아크아크 (arc) 라고도 한다.
인접인접 정점정점 (adjacent vertex):^ 간선에 의해 연결되어 있는 정점
경로경로 (path): 두 개의 정점을 연결하는 일련의 정점들
정점 a 에서 b 까지의 경로 a , v 1 , v 2 , …, vn , b 가 존재하기 위해서는
간선 ( a , v 1 ), ( v 1 , v 2 ), …, ( v n -1 , vn ), ( vn , b ) 가 존재해야 한다.
공집합이 아닌 정점(vertex)들의 유한집한과 이 정점들을 연결하는 간선(edge)으로 구성되는
자료구조를 그래프(graph)라 한다. 따라서 10 장, 11장에서 살펴본 트리 구조는 그래프에 속
향(undirected) 또는 유방향(directed) 그래프로 나뉘어 진다. 방향성이 있는 간선을 다른 말
로 아크(arc)라 한다. 인접정점(adjacent vertex)이란 간선에 의해 연결되는 정점을 말하며,
경로(path)란 두 개의 정점을 연결하는 일련의 정점들을 말한다.
M
E
L
B
A
A
B D
C
V(G1)={A,B,C,D}
E(G1)={(A,B),(A,D),(B,C),(C,D)}
V(G1)= {A,B,E,L,M}
E(G1)= {(A,E),(B,L),(E,A)
(L,L),(L,A),(M,B),(M,E)}
Path(M,A): M, B, L, A
주기주기(cycle):^ 첫 번째 정점과 마지막 정점이 같은 경로
진입진입 차수차수(indegree)와 진출진출 차수차수(outdegree)로 나누어 고려된다.
이 슬라이드에 있는 무방향 그래프에서 A의 인접정점은 B와 D이다. 경로의 길이란 경로를
구성하는 간선의 수를 말한다. 경로 중 첫 번째 정점과 끝 정점이 같으면 주기(cycle)라 한
다. 위 슬라이드에 있는 무방향 그래프에서 (A, B), (B, C), (C, D), (D, A)는 주기이며, 이
경로의 길이는 4 이다. 경로의 차수(degree)란 정점에 연결된 간선의 수를 말하며, 유방향 그
서 A의 차수는 2 이고, 유방향 그래프에서 A의 진출차수는 1 이고, 진입차수는 2 이다.
(complete directed graph)
완전완전 그래프그래프(complete graph): 최대 수의 간선을 가진 그래프
N 개의 정점이 있으면 유방향은 N ( N -1) 개 , 무방향은 N ( N -1)/2 개의
(complete undirected graph)
완전 그래프(complete graph)란 최대 수의 간선을 가진 그래프를 말한다. 즉, 모든 정점은
에서는 총^ 개의 간선이 존재한다.
A
B D
C
M
E
L
B A A B C D
B D
A C
B D
A C
A
B
E
L
E
L
A
A L
M B E
Graph ADT
<> Graph
MatrixGraph ListGraph
WeightedMatrixGraph UnweightedMatrixGraph WeightedListGraph UnweightedListGraph
DirectedWeightedMatrixGraph
UndirectedUnweightedMatrixGraph
UndirectedUnweightedListGraph
그래프는 크게 인접 행렬 또는 인접 리스트를 이용하는 구현할 수 있다. 따라서 Graph라는
MatrixGraph와 인접 리스트를 이용하는 구현 방식을 위한 추상 클래스를 ListGraph를 정의
한다. 그 다음에 그래프가 가중치, 비가중치 그래프인지에 따라 ListGraph는 다시 그것의 자
식 추상클래스인 WeightedListGraph, UnweightedListGraph를 정의하고, MatrixGraph는
WeightedMatrixGraph, UnweightedMatrixGraph를 정의한다.
Graph ADT
import java.util.Iterator;
interface Graph{ int DEF_CAPACITY = 10; int DFS = 1; // 탐색 방법을 지정하기 위한 상수 int BFS = 2; // 탐색 방법을 지정하기 위한 상수 boolean isEmpty(); boolean isFull(); void clear(); void insertVertex(String label) throws GraphOverflowException; void removeVertex(String label) throws GraphUnderflowException; void removeEdge(String from, String to) throws GraphUnderflowException; // 비가중치 그래프 // void insertEdge(String from, String to); // 가중치 그래프 // void insertEdge(String from, String to, int weight); Iterator iterator(int type, String start); }
public abstract ListGraph implements Graph{ protected class Vertex{ public String label; public SortedLinkedList edges; } protected class GraphIterator implements Iterator{ … } protected Vertex[] graph; protected int size = 0; // 정점의 개수 public ListGraph(){ setup(DEF_CAPACITY); } public ListGraph(int capacity){ if(capcity>0) setup(capacity); else setup(DEF_CAPACITY); } private void setup(int capacity){ … } public boolean isEmpty(){ return (size == 0); } public boolean isFull(){ return (size == graph.length); } public void clear() { … } protected int index(String label){ … } // 정점의 색인 찾기 public void insertVertex(String label) throws GraphOverflowException { … } public abstract void removeVertex(String label) throws GraphUnderflowException; public abstract void removeEdge(String from, String to) throws GraphUnderflowException; public boolean search(int type, String from, String to) throws GraphUnderflowException { … } public Iterator iterator(int type, String start) throws GraphUnderflowException { … } }
는 가선의 가중치, 방향성에 따라 다르기 때문에 이 슬라이드에 정의된 ListGraph 클래스에
Insert Vertex
public void insertVertex(String label) throws GraphOverflowException{ if(label==null) throw new NullPointerException(“…”); if(isFull()) throw new GraphOverflowException(“…"); Vertex v = new Vertex(); v.label = label; v.edges = new SortedLinkedList(); graph[size] = v; size++; } // ListGraph: insertVertex
protected int index(String label){ for(int i=0; i<size; i++){ if(label.equals(graph[i].label)) return i; } return -1; } // ListGraph: index 정점들은 배열을 이용한 비정렬 방식으로 유지
에는 그 정점에 관한 정보가 저장되어 있는 배열의 위치를 알아내기 위해 index라는 내부
Insert Edge
public void insertEdge(String from, String to) throws GraphUnderflowException{ if(from==null||to==null) throw new NullPointerException(“…”); if(isEmpty()) throw new GraphUnderflowException(“…”); int v1 = index(from); int v2 = index(to); // v1 정점이 존재하지 않는 경우 if(v1==-1) throw new GraphUnderflowException(“…”); // v2 정점이 존재하지 않는 경우 if(v2==-1) throw new GraphUnderflowException(“…”); graph[v1].edges.insert(graph[v2].label); graph[v2].edges.insert(graph[v1].label); } // UndirectedUnweightedListGraph: insertEdge
무방향 그래프이므로 A에서 B를 잇는 간선을 추가할 경우에는 B에서 A를 잇는 간선도 함
Remove Vertex
public void removeVertex(String label) throws GraphUnderflowException{ if(label==null) throw new NullPointerException(“…”); if(isEmpty()) throw new GraphUnderflowException(“…”); int v = index(label); // 제거하고자 하는 정점이 존재하지 않는 경우 if(v == -1) throw new GraphUnderflowException(“…”); graph[v] = graph[size-1]; size--; for(int i=0;i<size;i++){ if(!graph[i].edges.isEmpty()) graph[i].edges.delete(label); } } // UndirectedUnweightedListGraph: RemoveVertex
Remove Edge
public void removeEdge(String from, String to) throws GraphUnderflowException{ if(isEmpty()) throw new GraphUnderflowException(“…”); if(from==null||to==null) throw new NullPointerException(“…”); int v1 = index(from); int v2 = index(to); // v1 정점이 존재하지 않는 경우 if(v1==-1) throw new GraphUnderflowException(“…”); // v2 정점이 존재하지 않는 경우 if(v2==-1) throw new GraphUnderflowException(“…”); // v1에서 v2를 잇는 간선이 존재하지 않는 경우 if(!graph[v1].edges.delete(graph[v2].label)) throw new GraphUnderflowException(“…”); graph[v2].edges.delete(graph[v1].label); } // UndirectedUnweightedListGraph: RemoveEdge
무방향 그래프이므로 양쪽 인접리스트에 모두 제거해야 함.
A에서 B를 잇는 간선을 제거하고자 할 경우에는 A 정점과 B 정점이 존재해야 할 뿐만 아
니라 A에서 B를 잇는 간선이 실제 존재해야 한다. 또한 무방향 그래프이므로 A에서 B를 잇
는 간선을 제거할 때 B에서 A를 잇는 간선 정보 역시 함께 제거해야 한다.
한다. 따라서 큐에 B와 C가 차례대로 enqueue된다. 한 정점의 인접 정점들을 큐에
enqueue를 한 다음에는 바로 정점을 하나 dequeue한다. B가 큐 front에 있으므로 이 정점
의 인접 정점을 큐에 enqueue한다. 따라서 큐에 E가 enqueue된다. 현재 큐에 있는 정점은
큐 front부터 나열하면 C, E이다. 이런 방법으로 순회하면 그 결과는 A, B, C, E, D 순으로
UnweightedListGraph의 반복자 클래스
protected class GraphIterator implements Iterator{ LinkedQueue traverseQueue; public GraphIterator(int type, int start){ … } public boolean hasNext() { … } public Object next() { … } public void remove() { … } private void BreadthFirstSearch(int start); private void DepthFirstSearch(int start); }
public Iterator iterator(int type, String start) throws GraphUnderflowException { if(start==null) throw new NullPointerException(“…”); int v = index(start); if(v==-1) throw new GraphUnderflowException(“…”); if(type==Graph.BFS||type==Graph.DFS) return new GraphIterator(type, v); else throw new GraphUnderflowException(“…”); }
public GraphIterator(int type, int start){ traverseQueue = new LinkedQueue(); if(type==Graph.BFS) BreadthFirstSearch(start); else DepthFirstSearch(start); }
는 두 가지 방법으로 순회할 수 있도록 해야 한다. 여기서 traverseQueue는 각 순회 방법을
따라서 BreadthFirstSearch와 DepthFirstSearch 메소드 내에서는 traverseQueue 외에 각각
연결연결 그래프그래프(connected graph): 무방향 그래프에서 서로 다른 모든
DFS, BFS를 이용하여 연결 여부를 확인할 수 있다.
DFS( G , i ): i 노드로부터 시작하여 방문한 모든 정점
이 때 G = DFS( G , i )이면 연결 그래프
연결 그래프(connected graph)란 무방향 그래프에서 서로 다른 모든 쌍의 정점들 사이에 경
Spanning Tree
부분부분 그래프그래프(subgraph): 다음이 성립하면 G' ( V' , E' ) 는 G ( V , E ) 의
V' ⊆ V , E' ⊆ E
신장신장 트리트리(spanning tree):^ G 의 부분 그래프 중^ G 의 모든 정점들을
A
C
E
B
D
A
C
E
B
D
A
C
E
B
D
A
C B
D
부분 그래프(subgraph)란 원 그래프의 정점 집합 중에 부분집합을 취하고, 원 그래프에서
분 그래프라 한다. 신장 트리(spanning tree)란 원 그래프의 부분 그래프 중 원 그래프의 모
최소최소 신장신장 트리트리(minimum spanning tree): 최소의 간선 수로
그래프의 정점 수가 N 이면 최소 신장 트리의 간선 수는 N -1 이다.
DFS, BFS로 만들어진 신장 트리는 최소 신장 트리가 된다.
깊이우선깊이우선 신장트리신장트리(depth first spanning tree)
너비우선너비우선 신장트리신장트리(breadth first spanning tree)
A
C
E
B
D
A
C
E
B
D
A
C
E
B
D
DFS(A)의 신장 트리 BFS(A)의 신장 트리
최소 신장 트리(minimum spanning tree)란 최소의 간선 수로 구성된 신장 트리를 말한다.
public abstract MatrixGraph implements Graph{ public static final int NULLEDGE = -1; protected class GraphIterator implements Iterator{ … } protected String[] graph; protected int size = 0; // 정점의 개수 public MatrixGraph(){ setup(DEF_CAPACITY); } public MatrixGraph(int capacity){ if(capcity>0) setup(capacity); else setup(DEF_CAPACITY); } private void setup(int capacity){ … } public boolean isEmpty(){ return (size == 0); } public boolean isFull(){ return (size == graph.length); } public void clear() { … } protected int index(String label){ … } // 정점의 색인 찾기 public void insertVertex(String label) throws GraphOverflowException { … } public abstract void removeVertex(String label) throws GraphUnderflowException; public abstract void removeEdge(String from, String to) throws GraphUnderflowException; public boolean search(int type, String from, String to) throws GraphUnderflowException { … } public Iterator iterator(int type, String start) throws GraphUnderflowException { … } }
private void setup(int capacity){ graph = new String[capacity]; adjMatrix = new int[capacity][capacity]; for(int i=0; i<capacity; i++) for(int j=0; j<capacity; j++) if(i!=j) adjMatrix[i][j] = NULLEDGE; else adjMatrix[i][j] = 0; }
이 절에서는 인접 행렬 방법을 이용하여 유방향 가중치 그래프를 구현해본다. 무방향 비가
중치 그래프를 구현할 때와 마찬가지로 정점들을 정렬하여 유지하지 않는다. 이를 위해 우
선 Graph 인터페이스를 구현한 추상 클래스 MatrixGraph를 정의한다. MatrixGraph도 앞서
살펴본 ListGraph와 마찬가지로 정점의 추가, 검색, 순회는 간선의 가중치 여부, 방향성 여
부와 무관하게 구현할 수 있다.
WeightedMatrixGraph, UnweightedMatrixGraph
public abstract class WeightedMatrixGraph extends MatrixGraph{ public WeightedMatrixGraph(){ super(); } public WeightedMatrixGraph(int capacity){ super(capacity); } public abstract void insertEdge(String from, String to, int weight); }
public abstract class UnweightedMatrixGraph extends MatrixGraph{ public WeightedMatrixGraph(){ super(); } public WeightedMatrixGraph(int capacity){ super(capacity); } public abstract void insertEdge(String from, String to); }
DirectedWeightedMatrixGraph
public class DirectedWeightedMatrixGraph implements WeightedListGraph{ public DirectedWeightedMatrixGraph(){ super(); } public DirectedWeightedMatrixGraph(int capacity){ super(capacity); } public void removeVertex(String label) throws GraphUnderflowException { … } public void removeEdge(String from, String to) throws GraphUnderflowException { … } public void insertEdge(String from, String to, int weight) throws GraphUnderflowException { … } }
Insert Vertex
public void insertVertex(String label) throws GraphOverflowException{ if(label==null) throw new NullPointerException(“…”); if(isFull()) throw new GraphOverflowException(“…”); graph[size] = label; size++; } // MatrixGraph: insertVertex
모든 간선의 가중치가 같은 유한 무방향 그래프에서 정점 s 에서
정점 t 까지 길이가 가장 짧은 경로를 찾아라.
BFS 검색을 이용하면 찾을 수 있다.
MooreMoore^ 알고리즘알고리즘:^ 정점의 수는^ n 이라 하자.
단계단계 1.1. ∀λ [ v ] = -
λ [ s ] = 0;
단계단계 2.2. l = 0;
단계단계 3.3. λ [ v ] = l 인 정점 v 와 인접한 모든 정점 u 중 λ [ u ] 가 -1 이면
λ [ u ] = l +1, 인접한 노드가 없으면 종료한다.
단계단계 4.4. λ [ t ] != -1 이면 종료한다.
단계단계 5.5. l = l +1; 단계 3 부터 반복
펴본다. 이 알고리즘은 Moore가 제안한 알고리즘으로서 너비우선 방법을 이용한다.
A
B
D
C
E
A에서 D까지
A B C D E
A B C D E
A B C D E
A B C D E
C에서 A까지
A B C D E
A B C D E
A B C D E
A B C D E
Moore의 알고리즘을 예제를 통해 설명하면 다음과 같다. 먼저 정점 개수만큼의 정수 배열
이 A이므로 A의 항 값은 0 으로 초기화되었고, A의 인접 정점인 B와 E는 1 값을 가지게 된
열 값을 2 로 바꾼다. 따라서 B의 인접 정점인 C와 D는 2 값을 가지게 된다. 이렇게 하여
모든 간선의 가중치가 양수인 유한 유방향 그래프에서 정점 s 에서
정점 t 까지 길이가 가장 짧은 경로를 찾아라.
DijkstraDijkstra 알고리즘알고리즘
정점의 수는 n 이라 하고 , 정점들의 집합을 V 라 하자.
단계단계 1.1. ∀λ [ v ] = ∞ ;
λ [s] = 0;
단계단계 2.2. T Å V
단계단계 3.3. T 중에 λ [ u ] 가 최소인 정점을 u 라 하자.
단계단계 4.4. u 가 t 이면 종료
단계단계 5.5. 정점 u 에서 진출하는 모든 간선 에 대해 v ∈ T 이고
λ [ v ] > λ [ u ]+ l ( e ) 이면 λ [ v ] = λ [ u ]+ l ( e )
단계단계 6.6. T Å T - { u }, 단계 3 부터 반복
e
u ⎯⎯→ v
는 알고리즘으로서 Dijkstra가 제안한 알고리즘이다.
A
C
3 B
D
E
A B C D E
A B C D E
A B C D E
A B C D E
A B C D E
A B C D E
A B C D E
A B C D E
Bellman과 Ford가 제안한 알고리즘은 그래프에 개의 정점이 있을 때 출발 정점부터 경로
서 우선 A를 출발 정점으로 경로의 길이가 1 인 모든 경로를 구한다. 그 다음에 경로의 길이
BellmanBellman과과^ FordFord^ 알고리즘알고리즘
Dist k [ u ] : 시작 정점 v 에서 u 까지 최대 k 개의 아크를 포함할 수 있는
Dist [ ] k^ u ← min(Dist k^ −^1^^ [ u ],min(Dist k −^1 [ ] i + weight[ , i u ]))
A
C
3 B
D
E
E
D
C
B
A 0 5 3 -2 99
A B C D E
A B C D E
Dist^1
Dist^2 각 정점의 진입차수 고려(열)
Dist^2 [B] = min(5, (3+(-2))= Dist^2 [D] = min(-2, (5+(-1))=- Dist^2 [E] = min(99, min(3+(-1), -2+3))=
