Teorema fondamentale sulle applicazioni
lineari
Teorema. Siano VeWdue spazi vettoriali su un campo K. Fissati un
riferimento R= (e1,e2,...,en) di Ve un sistema S= [w1,w2,...,wn]di
nvettori di W, esiste un’unica applicazione lineare f:V−→ Wtale che
f(ei) = wi,i= 1,2, . . . , n.
Dimostrazione. Proviamo l’esistenza. Sia vun arbitrario vettore di V,
tale vettore `e esprimibile come combinazione lineare dei vettori di R, ovvero:
v=x1e1+x2e2+· · · +xnen.
Sia fl’applicazione che al vettore v∈Vassocia il vettore
f(v)≡x1w1+x2w2+· · · +xnwn∈W.
Proviamo che f`e lineare. Siano vev0due vettori di V, allora si ha v=
x1e1+x2e2+· · · +xnenev0=x0
1e1+x0
2e2+· · · +x0
nen. Sommando membro
a membro si ottiene v+v0= (x1+x0
1)e1+ (x2+x0
2)e2+· · · + (xn+x0
n)en.
Ne segue, per definizione di f, che
f(v+v0) = (x1+x0
1)w1+ (x2+x0
2)w2+· · · + (xn+x0
n)wn= (x1w1+x2w2+
· · · +xnwn)+(x0
1w1+x0
2w2+· · · +x0
nwn) = f(v) + f(v0).
Sia k∈Ke sia v∈V. Si ha v=x1e1+x2e2+· · · +xnen, e dunque
kv=kx1e1+kx2e2+· · · +kxnen. Ne segue, per definizione di f, che
f(kv) = kx1w1+kx2w2+· · · +kxnwn=k(x1w1+x2w2+· · ·+xnwn) = kf(v).
Inoltre, essendo ei= 0e1+· · · + 0ei−1+ 1ei+ 0ei+1 +· · · + 0en, si ottiene, per
definizione di f, che f(ei) = 0w1+· · ·+ 0wi−1+1wi+ 0wi+1 +· · · +0wn=wi.
Proviamo l’unicit`a. Siano g:V−→ Weh:V−→ W, due applicazioni
lineari tali che g(ei) = h(ei) = wi. Sia vun arbitrario vettore di V, dunque
v=x1e1+· · · +xnen.Allora si ha
g(v) = g(x1e1+· · · +xnen) = x1g(e1) + · · · +xng(en) =
x1h(e1)+ · · · +xnh(en) = h(x1e1+· · · +xnen) = h(v).Le applicazioni lineari
gehdunque coincidono. 2
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