Signals and Systems lectures, Lecture notes of Signals and Systems

Download Signals and Systems lectures and more Lecture notes Signals and Systems in PDF only on Docsity!

Sinyaller

ve

Sistemler

Ders Notu

Dr. Cahit Karakuş

İçindekiler

Ders Konusu: Sinyaller ve Sistemler, veri işleme, iletişim, görüntü işleme, savunma elektroniği, tüketici elektroniği dahil olmak üzere birçok farklı alanda mühendislik sistemlerinin ayrılmaz bir parçasını oluşturan, analog ve dijital sinyal işlemede temel niteliğindedir. Sürekli ve kesikli zaman sinyalleri ve sistemleri için temel kavramlar sunulacak ve birleştirilecektir. Sinyal ve sistemler hem zaman hem de frekans alanları için geliştirilmiştir. Bu temsiller, Fourier dönüşümü ve ayrıntılı olarak incelenen genellemeleri ile ilişkilidir. Hem analog hem de dijital sistemler için filtreleme ve filtre tasarımı, modülasyonu ve örneklemenin yanı sıra hem analog hem de dijital sistemler için geri bildirim sistemlerinin temel kavramlarının gösterilmesi ve gösterilmesi tartışılır ve gösterilir.

Ders Programları: Matematiksel Kavramlar: Kompleks Sayılar, Homojen Diferansiyel Denklemler. Sürekli Zamanlı İşaretler ve LTI Sistemleri Sinyallerin Sınıflandırılması, Faydalı Sinyaller Zaman Vektörleri ve Sinüzoidler Sinyaller ve Gürültü, Kanal Kapasitesi Örnekleme ve Aliasing Sistemlerin sınıflandırılması, Frekans yanıtları Fourier dönüşümü Laplace dönüşümü Z-Dönüşüm Ayrık Zamanlı Sistem Modelleri, Sistem analiz Filtreleme, Modülasyon Matlab uygulamaları

İşbirliği yapılacak disiplinler:

 Olasılık, İstatistiksel veri analizi: Kesirim yaparak karar verme  Uygulamalı matematik: Matlab, Türev, Integral, Limit, Laplace dönüşüm, Z-dönüşüm, Sayısal matematik, Nümerik analiz, trigeometri, Algoritma ve matematiksel modelleme  Kaos: Dnamik ve dinamik olmayan, lineer olmayan; Risk ve sapma analizi, Manipülasyon, süreçlerde sapma analizi

Systems, signals, mathematical models will be explained in the details: General properties of signals, Continuous-time and discrete-time signals. Energy and power for continuous & discrete-time signals. Signal transformations. Specific signal types. Representing signals in Matlab and Simulink

Giriş

Var olduğumuz kainat, sinyaller denizidir. Yaşayan küçük bir organizma, bir hücre ya da en karmaşık ve en akıllı canlı organizma (insan), çevresinden sürekli sinyalleri alır ve işler. Herhangi bir canlı organizmanın hayatta kalması, sinyallerin uygun şekilde işlemesine ve tepki vermesine bağlıdır. Beyinimiz çevresi ile algılama, hissetme ve koklama dahil pek çok sinyal ile mesaj gönderip almaktadır.

Sinyal bilgi taşıyan bir işarettir. Bu ders notunda, sinyallerin matematiksel temsilleri anlatılacak. Çevemizdeki sinyallere örnekler mi arıyorsunuz? İnsan sesi, kuşların cıvıltıları, duman sinyalleri, jestler (işaret dili), çiçek kokularıdır. Vücut işlevlerimizin çoğu kimyasal sinyallerle düzenlenir, kör insanlar dokunma hissini kullanır. Arılar dans modelleriyle birbirleriyle iletişim kurarlar. Ses uzayda yayılır mı? Uzay neden karanlık?

Teknolojik sinyallerinin bazı örnekleri, bir telefon teli içindeki akım ve gerilim, bir verici antenden çıkan elektromanyetik dalga, bir fiber kablonun kılındaki ışık yoğunluğunun değişmesidir. Böylece neredeyse sonsuz bir çeşitlilikte sinyaller olduğunu ve sinyalleri bir yerden başka bir yere taşıyan yol ve taşıyıcılar olduğunu görüyoruz.

Sinyal: Bir veya daha fazla değişkenlerin gerçek veya karmaşık fonksiyonudur. Fonksiyon tek bir değişkene bağlı olduğunda, sinyal bir boyutludur. Bir konuşma sinyali, günlük maksimum sıcaklık, bir yerdeki yıllık yağış, tek boyutlu bir sinyal örneğidir. Fonksiyon iki veya daha fazla değişkene bağlı olduğunda, sinyalin çok boyutlu olduğu söylenir. Bir görüntü, iki boyutlu sinyali, iki boyutu temsil eden dikey ve yatay koordinatları temsil etmektedir. Fiziksel dünyamız üç mekansal ve bir zamansal dört boyutludur.

Örneğin Morötesi ya da ultraviyole (kısaca UV) ışınım, dalga boyu 100 ile 400 nm arasındaki ışına denir. Gözümüz, 400 ile 700 nm dalga boyları arasına duyarlıdır ve bunun dışındaki ışınımı algılayamaz. Gecenin bir vakti kalkıp, çöle veya çöl iklimli bir yere gidin ve ultraviyole algılayıcıyı açın. Algılama ekranda canlı bir mavi-yeşil renkle parlayan akrepleri göreceksiniz. UV ışını altında vücutlarında algılayıcı olarak görev yapan kimyasalların bir kısmı bozunur ve sözü edilen renklerin etrafa saçılmasına neden olurlar.

Kızılötesi ışınım ise cisimlerin sıcaklığını uzaktan belirlemeye yarar. Termal görüntüleme genelde askeri ve sanayi amaçlarla kızılötesi kameralar olarak tüketici pazarına da girmiş bulunmaktadır. Geniş ve belirgin sıcaklıktaki soğuk ortamlarda (deniz, orman, çöl, karlı dağ, bozkır) havadan arama kurtarma çalışmalarında insan gözünden kolay kaçan sıcak insan vücudunun, ve konaklama ateş yerinin termografi ile daha kolay farkına varılır. Kızılötesi

1. Sinyaller

Sinyal; genellikle zaman içinde deterministik (belli bir kurala göre) olarak ya da rasgele (belli bir kurala ya da analitik denkleme göre tanımlanamayan) değerler dizisidir. Örnek vermek gerekirse bir sıcaklık sensörünün oda içinde belirli zaman aralalıklarında ölçtüğü sıcaklık değerleri bir sinyaldir. Örnekte verilen sinyali analiz etmek istersek bu sıcaklık değerlerini oda içinde ölçülen en yüksek sıcaklık değeri ile normalize edersek (en yüksek sıcaklık değerine bölersek) sıfırın üzerindeki sıcaklık değerleri için 0 ila 1 arasında değişen bir sinyal elde etmiş oluruz. Bu sinyal için bağımsız değişken zamanı, sinyal ise bu zamanlarda oda içinde ölçülen en yüksek sıcaklık değerine normalize edilmiş oran değerlerini verir. Eğer sıcaklık ölçümlerini sürekli olarak alıyorsak sinyalimiz zamanın sürekli bir fonksiyonu, günde bir kere alıyor isek sinyalimiz zamanın kesikli bir fonksiyonu (her gün için bir değer ve diğer ölçüm zamanı gelene kadar herhangi bir değer yok) olarak tanımlanacaktır.

Bir sinyali 𝑥(𝑡) notasyonu ile ifade edilirse 𝑥 bir sinyali, 𝑡 bağımsız değişken olan zamanı, yumuşak parantezler ise zaman sinyalinin sürekli olduğunu gösterecektir. Peki, bağımsız zaman değişkeni 𝑡 sürekli olmakla birlikte, sinyalin aldığı değer 𝑥(𝑡) süreklidir.

Bağımsız değişkeni 𝑡 yerine 𝑛 ile göstermek sürekli zaman sinyalini kesikli hale getirir. Sinyali kesikli zaman sinyali yapan notasyon 𝑥[𝑛], 𝑛=⋯,−2,−1,0,1,2,…;𝑛∈𝑍 gösterimidir. Sinyal 𝑥 ile gösterilmekte, 𝑛 bağımsız değişkenin kesikli zaman değişkeni olduğunu göstermekte, köşeli parantezler ise sinyalin kesikli zaman sinyali olduğunu ifade etmektedir. Bağımsız zaman değişkeni 𝑛 kesikli olmakla birlikte, sinyalin aldığı değer 𝑥[𝑛] değeri de kesiklidir.

Sinyal zamanda kesikli olmasına rağmen genlik değeri sürekli (irrasyonel dâhil) hatta karmaşık (complex) bir sayı değeri alabilir. Bu nedenle 𝑥[𝑛] sinyallerini zamanda kesikli ancak genlik değerinde sürekli olmak üzere kısaca kesikli zaman sinyalleri (discrete time signals) olarak adlandırmaktayız. Bu sinyaller literatürde sayısal (digital) sinyaller olarak adlandırılmaktadır. Kesikli zaman (discrete time) sinyallerden sayısal (digital) sinyallere geçiş (genlik ekseninin sürekli değerlerden kesikli değerlere çevrilmesi) nicemleme (quantization) işleminin konusudur. Bir f(t) sinyali zamanın bir fonksiyonudur. Gerilim v(t) veya akım i(t) olabilir.

Sinyal örnekleri:  Elektriksel sinyaller; devredeki voltajlar ve akımlar  Akustik sinyaller, Zamanla akustik basınç (ses), Mekanik sinyaller  Video sinyalleri;Zaman içinde bir pikselin (kamera, video) yoğunluğu  Sıcaklık, hız gibi genliklerin zamanla değişimi  Koku  Kuantum parçacık yayınımı, Radyoaktif maddeler veya izotoplar  Elektromanyetik yayınım  Kimyasal yayınım – hormon  Çekim Kuvvetleri  Enerji kaynakları; ışık

Sistemler istenilen çıkış sinyallerini üretmek için giriş sinyallerini işler. Bir sistem bir sinyali girdi olarak alır ve başka bir sinyale dönüştürür.

Örnek:

clear all close all mag = 2; % magnitude (arbitrary units) f = 1000; % frequency in Hz Ps=50; % number of sampling on a periot samp = fPs; % sampling rate in Hz M=2; % Displaying number of period del=1/samp; t = 0:del:MPsdel; % time N = length(t) x = magcos(2pift); % the signal equation figure plot(t,x,'.-'); xlabel('Time (sec)'); ylabel('Amplitute'); title('magcos(2pif*t)')

-2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-1.

-0.

0

1

2

Time (sec)

Amplitute

magcos(2pift)

Waveform Generation: Time Vectors and Sinusoids

Consider generating data with a 1000 Hz sample frequency, for example. An appropriate time vector is

t = (0:0.001:1)';

where (:) creates a 1001-element row vector that represents time running from 0 to 1 seconds in steps of 1 ms. The transpose operator (') changes the row vector into a column; the semicolon (;) tells MATLAB to compute, but not display, the result.

Given t, you can create a sample signal y consisting of two sinusoids, one at 50 Hz and one at 120 Hz with twice the amplitude.

y = sin(2pi50t) + 2sin(2pi120*t);

The new variable y, formed from vector t, is also 1001 elements long. You can add normally distributed white noise to the signal and plot the first 50 points:

yn = y + 0.5*randn(size(t));

plot(t(1:50),yn(1:50))

1.1. Periyodik Sinyaller

Some important classifications of signals  Analog vs. Digital signals: as stated in the previous lecture, a signal with a magnitude that may take any real value in a specific range is called an analog signal while a signal with amplitude that takes only a finite number of values is called a digital signal.  Continuous-time vs. discrete-time signals: continuous-time signals may be analog or digital signals such that their magnitudes are defined for all values of t , while discrete-time signal are analog or digital signals with magnitudes that are defined at specific instants of time only and are undefined for other time instants.  Periodic vs. aperiodic signals: periodic signals are those that are constructed from a specific shape that repeats regularly after a specific amount of time T 0 , [i.e., a periodic signal f ( t ) with period T 0 satisfies f ( t ) = f ( t + nT 0 ) for all integer values of n ], while aperiodic signals do not repeat regularly.  Deterministic vs. probabilistic signals: deterministic signals are those that can be computed beforehand at any instant of time while a probabilistic signal is one that is random and cannot be determined beforehand.  Energy vs. Power signals: as described below.

Nyquist teoremi: Bir analog sinyalin örnek alınıp orjinalitesini bozulmaması için fs>=2Bw olmalıdır.*

Periodic Signals

Zaman içinde kendini tekrar eden sinyallerdir.

X(t)=A Sin(ꙍt + Ø)

A: Genlik; ꙍ: açısal frekans; f: frekans (Hz=1/sec); T:peryod (sec)

ꙍ=2πf, f=1/T, T=2π/ꙍ

 Bir işaretin peryodik olabilmesi için, 𝑇 = 𝑚

, m tamsayı olmalıdır.

 Birden fazla sinyalin toplamının peryodic olup olmadığını belirlemek için,

𝑚𝑇 1 = 𝑘𝑇 2 =T 𝑘 𝑚

=

𝑇 1 𝑇 2

= 𝑘𝑒𝑠𝑖𝑟𝑙𝑖 𝑠𝑎𝑦𝚤

Kesirli yazılmayan sayılar irasyonel sayılardır ve peryodik olamazlar.

T1/T2 oranında, m=payda, k=pay olarak alınır.

X [n] = 2 cos (2n) is periodic or not? Explanation: The given signal x [n] is non periodic as it doesn’t satisfy the equation w=2πm/N; where, N is fundamental period and m is an integer. Fundamental frequency x[n] is given by ꙍ= 2*pi /N. Fundamental frequency is the smallest value of N which satisfies the equation. Where N is a positive integer.

Peiyodik Fonksiyonlar : :AB bir fonksiyon olsun. x A için  (x+T) =  (x) eşitliğini sağlayan bir T gerçek sayısı varsa,  fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T gerçek sayısına da ’ nin bir periyodu denir. T gerçek sayısının en küçüğüne ise esas periyodu denir. Buradan hareketle; k  Z olmak üzere  IR için; cos( + k.2) = cos ve sin( + k.2) = sin olduğundan sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodu k.2  ve esas periyodu 2  dir.

Aynı şekilde; k  Z olmak üzere /2 +k ve   IR için tan( + k.) = tan

Örnek:

Bu sinyalin bir peryodunda Ps=20 örnek alınmak istenmektedir. Örnekleme peryodu, Ts=T/Ps, ise, örnekleme frekansı, fs=1/Ts den fs değerini bulunur.