Seriler ve yakınsaklik testleri, Study notes of Mathematics

Download Seriler ve yakınsaklik testleri and more Study notes Mathematics in PDF only on Docsity!

SER˙ILER

G¨ULS¨UM YILDIZLAR

HATAY MUSTAFA KEMAL UN¨ ˙IVERS˙ITES˙I

Analiz

˙I¸cindekiler

1 SER˙I NE DEMEK

2 GEOMETR˙IK SER˙I

3 POZ˙IT˙IF TER˙IML˙I SER˙ILER VE BU SER˙ILER ˙IC¸˙IN YAKINSAKLIK

TESTLER˙I

4 ALTERNE SER˙ILER

5 KUVVET SER˙ILER

(^6) HERHANG˙I TERiML˙I SER˙ILER ˙IC¸˙IN UYGULANACAK TESTLER

(^7) TAYLOR SER˙ILER

Ornek:¨ P∞ k=1 log

k k+

serinin yakınsaklık durumunu inceleyelim. C¸ ¨oz¨um

Sn =

X^ ∞

k=

log

k k + 1

Sn = log

• log

• log

• · · · + log

n n + 1

log

2 ·^

3 ·^

4 ·^...^ ·^

n n + 1

= log

n + 1

= log(1) − log(n + 1)

Serinin kısmi toplamlar dizisi Sn = − log(n + 1)

nlim→∞ Sn^ =^ nlim→∞ −^ log(n^ + 1) =^ −∞

seri ıraksaktır.

Geometrik seri

|r | < 1 olmak ¨uzere;

P∞

k=1 a^ ·^ r^ k−^1 serisinin yakınsaklı˘gını g¨osteren toplamı bulalım.

Verilen: |r | < 1 ,

X^ ∞

k=

a · r k−^1

Sn = a(1 + r + r 2 +... + r n−^1 ) = a ·

1 − r n 1 − r

Yani, (^) nlim→∞ Sn = (^) nlim→∞ a · 1 −^ r^

n 1 − r

= a 1 − r Not; limn→ 0 r n^ = 0 dır.

Kar¸sıla¸stırma Testi

Her k eleman do˘gal sayılar i¸cin ak ≥ 0, bk ≥ 0 ve c · bk ≥ ak olacak ¸sekilde bir c sabiti olsun. P∞ k=1 bk^ serisi yakınsak ise^

P∞

P^ k=1^ ak^ serisi yakınsaktır. ∞ k=1 ak^ serisi ıraksak ise^

P∞

k=1 bk^ serisi de ıraksaktır. ¨orne˘gin;

P∞

k=

1 k^3 +1 yakınsaklık durumunu kar¸sıla¸stırma testini kullanarak bulalım. ak = (^) k (^31) +1 ve bk =? ¸simdi bk ’yı ak ’nın i¸cinden se¸celim bk = (^) n^13 olsun buradan da bk ≥ak olur. ve limn→∞bk = limn→∞ (^) n^13 = 0 oldu˘gundan yakıksaktır. kar¸sıla¸stırma testinden

P

k=1 ∞^ k^13 serisi yakınsak oldu˘gundan

P∞

k=1 (^) k^31 +1 serisi de yakınsaktır.

Limit Testi

P∞

n=1 an^ pozitif terimli birer seri ve

nlim→∞ (np^ ·^ an) =^ γ olsun. 0 ≤ γ < ∞ ve p > 1 ise,

P∞

n=1 an^ serisi yakınsaktır. 0 < γ ≤ ∞ ve p ≤ 1 ise,

P∞

n=1 an^ serisi ıraksaktır.

Oran/B¨ol¨um Testi

P∞

n=1 an^ pozitif terimli bir seri ve

nlim→∞^ an+ an

= r

olsun. r < 1 ise

P∞

k=1 an^ serisi yakınsak. r > 1 ise

P∞

k=1 an^ serisi ıraksak. r = 1 ise Raabe Testi(¸s¨upheli durum) uygulanır.

ORNEK¨

P∞

k=1^5

k (^) ·k! (2k)! serisinin yakınsaklık durumumu inceleyin? C¸ ¨oz¨um; Oran Testi uygularsak;

nlim→∞^ an+ an

= r =^5

k+1 (^) · (k + 1)! (2(k + 1))!

· (2k)! 5 k^ · k! sadele¸stirme i¸sleminden sonra limk→∞ (^4) k^5 +2 = 0 < 1 oldu˘gundan P∞ k=

5 k^ ·k! (2k)! serisi yakınsaktır.

K¨ok Testi

P∞

n=1 an^ pozitif terimli bir seri ve limn→∞^ n

√a n =^ L^ olsun E˘ger L < 1 ise, seri yakınsaktır. E˘ger L > 1 ise, seri ıraksaktır. E˘ger L = 1 ise , Raabe Testi uygulanır.

ALTERNE SER˙ILER

Terimlerin i¸sareti ardı¸sık olarak de˘gi¸sen serilere Alterne seri denir. Orne˘¨ gin; P∞ P^ k=0(−1)n^ = 1-1+1-1..... ∞ k=

(−1)n 3 n^ = 1+(-1/3)+(1/3) Leibnitz Testi: Alterne Serilerde e˘ger; Her n ≥ 1 i¸cin 0 < an+1 ≤ an monoton azalan’dır ve an a+1n ≤ 1. limn→∞ an = 0. bu ¸sartlar sa˘glanıyor ise (^) ∞ X

n=

(−1)n^ · an

serisi yakınsaktır.

ORNEK¨

X^ ∞

n=

(−1)n^

n^2 + 1 serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz? C¸ ¨OZ ¨UM:

an = n^2 + 1 Alterne seridir.Leibnitz testi uygularsak ; P∞ n=1 (^) n^21 +1 monoton azalan mıdır

an+1 ≤ an, 1 (n + 1)^2 + 1

n^2 + 1 monoton azalandır. limn→∞ an = limn→∞ (^) n (^21) +1 = 0 Bu seri yakınsaktır.

ORNEK¨

P∞

n=

cos(n·π) n! serisinin yakınsaklık durumunu inceleyiniz? CP¸ ¨OZ ¨UM ∞ n=

cos(n·π) n! =^

− 1 1! +^

1 2! +^

− 1 3! +^ ......=

P∞

n=

(−1)n n! an = (^) n^1! serisi alterne seridir.Leibnitz Testi uygularsak; monoton azalan an+1 ≤ an 1 (n + 1)! ≤^

n! limn→∞ (^) n^1! = 0 Bu seri yakınsaktır.

Tanım

P∞

k=1 ck^ ·^ (x^ −^ a)k Kuvvet serisinin Mutlak de˘ger |x − a| < R i¸cin yakınsak oldu˘gu en b¨uy¨uk pozitif R sayısına bu kuvvet serisinin yakınsaklık yarı¸capı seriyi yakınsak yapan x noktasının olu¸sturdu˘gu aralı˘ga da yakınsaklık aralı˘gı denir.

Cauchy Hadamard Teoremi

P∞

n=1 cn^ ·^ (x^ −^ a)n^ kuvvet serisi i¸cin. limn→∞ cn c+1n = L veya limn→∞ √ncn = L olsun. R = (^1) L E˘ger L ̸= 0 ise, R = (^) L^1 ’dir. Bu durumda seri, |x − a| < R i¸cin yakınsak, |x − a| > R i¸cin ise ıraksaktır. E˘ger L = 0 ise, R = (^) L^1 = ∞’dir. Bu durumda seri her x i¸cin yakınsaktır. L = ∞ ise, R = (^1) L = 0 olup, bu durumda seri sadece x = a i¸cin yakınsaktır. Di˘ger t¨um durumlarda ıraksaktır.