resume chapter 9 from the book mathematical logic for computer science, Papers of Mathematical logic

Download resume chapter 9 from the book mathematical logic for computer science and more Papers Mathematical logic in PDF only on Docsity!

TUGAS RESUME LOGIKA

MATEMATIKA

OLEH :

Kelompok 11

Marsha FS : 22343057

Khalish rayhan : 22343052

PRODI INFORMATIKA

JURUSAN ELEKTRONIKA

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS NEGERI PADANG

Logika Orde Pertama

Sebuah bahasa formal yang digunakan di ilmu matematika, philosophy, bahasa dan ilmu computer. Disebut juga kalkulus predikat, merupakan logika yang digunakan untuk merepresentasikan masalah yang tidak dapat direpresentasikan dengan menggunakan proposisi. Kalkulus predikat bisa menganalisakan kalimat-kalimat ke dalam subjek dan argumen dalam berbagai cara yang berbeda-beda, yang pada akhirnya kalkulus predikat bisa digunakan untuk memecahkan problem of multiple generality (masalah dalam berbagai keadaan umum) yang telah membingungkan sebagian besar ahli-ahli logika abad pertengahan. Logika Orde Pertama :Syarat dan Bentuk normal A. With fungtion Menyatakan relasi yang hanya membutuhkan satu nilai. Karena setiap orang hanya memiliki satu ayah, maka Ayah merupakan suatu function. Misalkan Ayah(Boediono, Zaki)

1. Fungtion and Terms Misalkan adalah sekumpulan simbol fungsi yang dapat dihitung, dimana simbol memiliki aritas yang dilambangkan dengan superskrip. Dengan catatan mengganti kata simbol dengan fungsi, & simbol konstanta diganti fungsi 0- ary: Terms Merupakan ekspresi logika yang mengacu pada sebuah objek. Terms bisa berupa constant, variable, atau function. Penulisan term dapat dilihat pada contoh di bawah ini : Text Box: function(term1,….,termn constant atau variabel Atomic sentences Merupakan komponen yang dapat terbentuk dari Predicate(Term, …) atau Term=Term. Atomic sentence merupakan kalimat paling sederhana dan belum memiliki komponen logika lainnya. Bentuk penulisan atomic sentences adalah sebagai berikut : Text Box: predicate(term1,….,termn) atau term1 = term

string. Rumus A benar untuk sembarang s1 dan 2 yang ditetapkan ke x dan y. Misalnya, jika x ditugaskan def dan y ditugaskan abcdef, maka deftuv adalah akhiran dari abcdeftuv. A tidak valid karena dipalsukan oleh interpretasi:(2.>). {1, -1}).Jelas, 5 > 4 tidak berarti 5 (-1)>4-(-1).

4. Sematic Tableaux Algoritma untuk membangun tableaux semantik untuk rumus logika orde pertama dengan simbol fungsi hampir sama dengan Algoritma 7.40 untuk logika orde pertama dengan simbol konstanta saja. Perbedaannya adalah bahwa istilah apa pun, bukan hanya konstanta, dapat menggantikan variabel. Definisi 7.39 dari literal juga perlu digeneralisasikan. Misalkan empat simbol fungsi pertama adalah (a, b, f.g.), di mana ƒ adalah unary dan g adalah binary. Gambar 9.1 menunjukkan empat urutan suku dasar pertama (tanpa duplikat). Intinya bukanlah seseorang akan benar-benar melaksanakan konstruksi ini; kita hanya membutuhkan hasil teoretis bahwa pencacahan seperti itu dimungkinkan. n = 1 a n = 2 b n = 3 f (a), f (b), f (f (a)), f (f (b)) n = 4 f (f (f (a))), f (f (f (b))), g(a,a), g(a,b), g(a,f (a)), g(a,f (b)), g(a,f (f (a))), g(a,f (f (b))), six similar terms with b as the first argument of g, g(f (a),a), g(f (a),b), g(f (a),f (a)), g(f (a),f (b)), g(f (a),f (f (a))), g(f (a),f (f (b))), six similar terms with f (b) as the first argument of g, g(f (f (a)),a), g(f (f (a)),b), g(f (f (a)),f (a)), g(f (f (a)),f (b)), g(f (f (a)),f (f (a))), g(f (f (a)),f (f (b))), six similar terms with f (f (b)) as the first argument of g, f (g(a,a)), f (g(a,b)), f (g(a,f (a)), f (g(a,f (b)), twelve similar terms with b,f (a),f (b) as the first argument of g, f (f (g(a,a))), f (f (g(a,b))), f (f (g(b,a))), f (f (g(b,b)))

B. PCNF & Clausal form

Ingatlah bahwa rumus logika proposisional berada dalam bentuk normal konjungtif

(CNF) jika merupakan konjungsi dari disjungsi literal. Varian notasi CNF adalah

bentuk klausa: rumusnya direpresentasikan sebagai sekumpulan klausa, di mana

setiap klausa adalah sekumpulan literal. Kami sekarang melanjutkan untuk

menggeneralisasi CNF ke logika orde pertama dengan mendefinisikan bentuk normal

yang memperhitungkan bilangan.

Rumus berikut ada di

PCNF : ∀y∀z([p(f (y)) ∨ ¬p(g(z)) ∨ q(z)] ∧ [¬q(z) ∨ ¬p(g(z)) ∨ q(y)])).

Definisi 9.11 Misalkan A adalah rumus tertutup dalam PCNF yang prefiksnya hanya

terdiri daripembilang universal. Bentuk klausa A terdiri dari matriks A yang ditulis

sebagai himpunan klausa.Contoh 9.12 Rumus pada Contoh 9.10 bersifat tertutup dan

hanya memiliki bilangan bulat universal, sehingga dapat ditulis dalam bentuk klausa

sebagai:{{p(f(y)), ¬p(g(z)), q(z)}, {~q(z), ¬p(g(z)), q(y)}}.

1. Skolem’s Theorem

alam logika proposisional, setiap rumus setara dengan rumus di CNF, tetapi ini tidak

benar dalam logika orde pertama. Namun, rumus dalam logika orde pertama dapat

diubah menjadi rumus dalam bentuk klausa tanpa mengubah kepuasannya.

(Skolem) Misalkan A adalah rumus tertutup. Kemudian ada rumus A' dalam bentuk

klausa sehingga A A'.Ingatlah bahwa A≈ A' berarti bahwa A memuaskan jika dan

hanya jika A' memuaskan; yaitu, ada model untuk A jika dan hanya jika ada model

untuk A'. Ini tidak sama dengan ekuivalensi logis A = A', yang berarti bahwa untuk

semua model I, I adalah model untuk A jika dan hanya jika model untuk A'.Sangat

mudah untuk mengubah A menjadi rumus yang setara secara logis di PCNF. Ini

adalah penghapusan bilangan eksistensial yang menyebabkan formula baru tidak

setara dengan yang lama. Penghapusan dilakukan dengan mendefinisikan fungsi baru

simbol. Dalam A = Vx3yp(x, y), pembilang dapat dibaca: untuk semua x.

menghasilkan nilaiy terkait dengan x sehingga predikat p benar. Tetapi konsep intuitif

kita tentang suatu fungsi adalah sama: y = f(x) berarti x yang diberikan. ƒ

menghasilkan nilai y yang berasosiasi dengan .x. Kuantor eksistensial dapat

dihilangkan dengan memberikan A'=Yxp(x, f(x)).

ada simbol konstanta atau simbol fungsi 0-ary di S, inisialisasi in-definisi duktif dari Hs dengan simbol konstanta arbitrer a.Semesta Herbrand hanyalah himpunan istilah dasar yang dapat dibentuk dari simbol di S. Jelas, jika S mengandung simbol fungsi, semesta Herbrand adalahtak terbatas sejak f((... (a)...)) € Hs.

2. Herbrand Interpretations kunci dari interpretasi Herbrand adalah untuk mengidentifikasi interpretasi dari satu set kalimat dengan set semua kalimat atom dasar yang benar dalam interpretasi. Dalam interpretasi Herbrand, domain individu adalah himpunan istilah dasar dalam semesta bahasa Herbrand
3. Herbrand’s Theorem Teorema Herbrand menunjukkan bahwa pertanyaan validitas dan provabilitas dalam logika orde pertama dapat direduksi menjadi pertanyaan tentang himpunan terbatas rumus atom dasar, meskipun hasil ini sekarang dapat diperoleh langsung dari teori tableleaux semantik dan sistem Gentzen, kami bawa hasil ini ke sini (tanpa bukti) untuk kepentingan sejarah mereka. Rumusnya secara implisit adalah rumus yang dikuantifikasi secara universal:yang matriksnya merupakan konjungsi dari disjungsi literal. Satu-satunya aturan yang dapat digunakan adalah aturan proposisional untuk rumus a dan B dan aturan untuk rumus y dengan pembilang universal. Karena tablo tertutup terbatas, akan ada sejumlah terbatas penerapan aturan untuk rumus-y.