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ACT- 2011
Hiver 20 21
Chapitre 2
Introduction aux forwards et aux options
Thomas Landry, M.Sc., ASA, AICA
École d’actuariat, Université Laval
_La propriété intellectuelle des notes de ce cours est grandement partagée avec Claire_*
Bilodeau, ainsi qu’avec Frédéric Godin et Mathieu Corriveau-La Grenade, qui ont tous
dispensé le cours ACT-2011 ou son ancienne mouture, ACT-3108, à un certain moment
pas le passé.
2.1. Contrat forward (contrat à terme de gré-à-gré)
2.1.1. Définition et caractéristiques
Un contrat forward (qu’on appellera simplement forward ) est une entente entre deux
parties pour l’achat d’un actif quelconque ou d’une quantité d’actif quelconque
prédéterminée ayant une valeur initiale 𝑺 𝟎
, à une date de livraison prédéterminée T et
à un prix prédéterminé 𝑭 𝟎,𝑻
. L’actif visé par le contrat est l’actif sous-jacent ( underlying
asset ), la date T est dite la date d’échéance ou date de livraison ( expiration date ) et outre
des frais de transaction potentiels ou encore un bid-ask spread entre le cours vendeur et
le cours acheteur, le prix du contrat ( premium ) est de 0.
En effet, au moment de l’entente (à t = 0), aucun montant d’argent n’est transféré et le
coût de l’entente est présumé nul pour les deux partis. Ceci implique que le prix
prédéterminé 𝑭 𝟎,𝑻
(prix forward ) se trouve à être la valeur anticipée (en date
d’aujourd'hui, à t = 0) de l’actif sous-jacent S une fois rendu à la date de livraison T. Sauf
si mention contraire, ce prix est réputé être égal à la valeur actuelle du sous-jacent 𝑆 0
et
accumulé avec le taux sans risque de façon à ce que 𝑺 𝟎
𝒇
𝑻
𝟎,𝑻
. La partie
mathématique sera davantage étudiée dans un chapitre ultérieur.
On notera 𝑺 𝑻
comme étant la valeur de l’actif sous-jacent une fois rendu à la date de
livraison. Ainsi, les implications de ce contrat vont comme suit en termes de transactions :
Acheteur (position longue) Vendeur (position courte)
t = 0
t = T
Le particulier se compromettant à acheter le bien à la date de livraison est réputé avoir
une « position longue » et le particulier se compromettant à vendre le bien à cette même
date est réputé avoir une « position courte ». Les raisons qui peuvent pousser des
investisseurs à entrer dans un contrat de ce type versus simplement acheter l’actif sous-
jacent à t = 0 sont nombreuses, dont notamment :
- Le manque de liquidité immédiate (on n’a pas l’argent à t = 0 mais on est confiant
qu’on l’aura à t = T)
- L’actif n’est pas immédiatement disponible, mais on veut s’assurer qu’on l’aura
quand il le sera (certaines commodités dont la production n’est pas continue, par
exemple).
La valeur à l’échéance pour l’acheteur (position longue) à t = T est de :
La valeur à l’échéance pour le vendeur (position courte) à t = T est de :
La valeur à l’échéance pour l’acheteur (position longue) est réputé être la valeur du sous-
jacent à l’échéance moins le prix forward , et la valeur à l’échéance pour le vendeur
(position courte) se trouve à être l’inverse :
Valeur à l’échéance
- Le forward constitue une position dite non capitalisée puisque tout le paiement
est différé (le paiement n’est pas payé en entier au début)
- L’achat ferme entraine une position dite (pleinement) capitalisée (le paiement est
entièrement fait au début)
La comparaison des valeurs à l’échéance d’un forward et d’un achat ferme implique donc
des bases différentes, puisque l’un comptabilisera le coût d’achat (le prix forward 𝐹 0 ,𝑇
) et
l’autre non, et ainsi :
Valeur à l’échéance
Comment recréer un forward avec un achat ferme et vice-versa?
Pour mieux comparer le forward et l’achat ferme, on cherchera en quelque sorte
à recréer les entrées et sorties de fonds du forward (recréer les cash flows) en présumant
un coût initial nul en finançant l’acquisition de l’actif (achat ferme) par un emprunt au
taux sans risque (prix = 𝑆 0
à t = 0 et taux sans risque = 𝑟 𝑓
). Pour comparer sur des bases
semblables, on aura ainsi :
t = 0
t = T
De cette manière, on réussit à recréer les mêmes cash flows qu’un contrat forward.
Autre option : au lieu de recréer un forward avec un emprunt et un achat ferme, on peut
à l’inverse recréer les cash flows qu’on aurait obtenu avec un achat ferme en utilisant un
forward et en investissant au taux sans risque.
On dépose la valeur actualisée de 𝐹 0 ,𝑇
, soit :
0 ,𝑇
𝑓
−𝑇
0
𝑓
𝑇
𝐹 0 ,𝑇
𝑓
−𝑇
0
… dans un compte rapportant le taux sans risque 𝑟 𝑓
et on entre dans une position longue
(acheteur) dans le forward. Dans ce cas, l’investissement au taux sans risque ainsi que la
position longue dans le forward est équivalent à l’achat ferme (on présume ici qu’on
possède déjà le montant d’argent nécessaire pour acheter 𝑆 0
à t = 0) :
𝐷é𝑝ô𝑡 + 𝐹𝑜𝑟𝑤𝑎𝑟𝑑 = 𝐴𝑐ℎ𝑎𝑡 𝑓𝑒𝑟𝑚𝑒
t = 0
t = T
À noter que pour l’instant, on présume que l’actif sous-jacent ne verse aucun dividende
ou équivalent (à revoir ultérieurement). Également, jusqu’à présent, on parle de valeur à
l’échéance et de gain (ou perte) dans l’une ou l’autre des transactions sans égard du
moment où le paiement est effectué (à quel moment la transaction est capitalisée).
2.1.3. Gain net ou profit
Le gain lié à un produit dérivé est sa valeur à l’échéance moins les coûts initiaux ( premium )
liés à son acquisition. Dans le cas d’un forward , par exemple, le prix initial du contrat est
présumé être nul, alors il n’était pas utile de le calculer. Cependant, on verra plus tard
que ce n’est pas le cas avec plusieurs autres types de produits dérivés.
Le gain net ( net payoff ), ou encore le profit lié à un produit dérivé est défini comme la
valeur à l’échéance du produit dérivé moins la valeur accumulée du coût initial. On définit
ainsi le profit comme étant « le gain au-dessus du taux sans risque » en supposant que
tout coût initial provienne d’un emprunt au taux sans risque qu’on doit rembourser par
la suite.
: Forward (long)
Gains Profits
Remarque : on utilisera a priori exclusivement des contrats forward dits « standard » pour
la très grande majorité des exemples pour le reste du cours, sauf si mention contraire.
Également, on s’intéressera à la valeur à l’échéance des produits dérivés ainsi que des
profits, essentiellement. La mesure du gain est parfois utilisée à titre de simplification,
puisqu’en supposant un taux d’intérêt sans risque nul, le gain est égal au profit.
Utilisation des obligations zéro-coupon
Tout investissement au taux sans risque ou tout emprunt à ce même taux sans risque peut
être comparé à une obligation sans risque ne versant aucun coupon (obligation zéro-
coupon) dont le gain et/ou le profit est indépendant de la valeur du sous-jacent à
l’échéance du forward. Ainsi :
Valeur à l’échéance Profits
La valeur à l’échéance d’une obligation zéro-coupon est donc constante et son profit est
réputé être nul par défaut. Les investissements et/ou les emprunts au taux sans risque
des exemples précédents viennent donc affecter la valeur à l’échéance de la transaction
sans toutefois en affecter le profit puisque ceux-ci sont équivalents à l’achat ou la vente
d’une obligation zéro-coupon.
2.1.4. Règlement en espèce et livraison
En théorie, avec un contrat forward , l’acheteur reçoit l’actif sous-jacent à la date de
livraison et le vendeur reçoit l’argent (le prix forward ) en échange à ce même moment.
Dans les faits, en pratique, il arrive que l’actif sous-jacent ne soit jamais transigé. Il peut
arriver que le règlement ne se fasse qu’en espèce (un versement en argent), selon que ce
soit l’acheteur ou le vendeur qui fasse un profit dans la transaction. Pour illustrer le profit
de chaque partie, ceci reviendrait à effectuer la transaction tel que prévu, ce qui implique
que l’acheteur paye le prix forward 𝐹 0 ,𝑇
au vendeur en échange de l’actif sous-jacent 𝑆 𝑇
puis que l’acheteur, dorénavant propriétaire de l’actif 𝑆 𝑇
le revende immédiatement à
sa juste valeur marchande. Le profit pour l’acheteur est ainsi de 𝑆 𝑇
0 ,𝑇
et le profit
pour le vendeur est de 𝐹 0 ,𝑇
𝑇
Ceci ne change en rien les profits pour chaque partie. Une question peut alors se poser,
pourquoi ces parties embarquent-elles dans un contrat dont le profit dépend d’un actif
sous-jacent sans que cet actif ne soit ultimement transigé? En théorie, aucun des parties
ne possèderait l’actif et pourrait tout de même embarquer dans un tel contrat! Voir
exemple 2.2 (p.34 DM).
Des investisseurs peuvent ainsi spéculer ou atténuer des risques pris dans d’autres
transactions, d’autres positions et d’autres investissements avec des contrats forward
sans véritablement transiger quelconque actif et ainsi éviter tout frais de transaction. Des
actifs de tout genre peuvent être utilisés avec ce type de produit dérivé.
2.1.5. Risque de crédit, risque de défaut
Le risque de crédit, ou encore risque de défaut, est commun à la très grande majorité des
produits dérivés. Pour un contrat de gré-à-gré standard, chaque partie court le risque que
l’autre partie n’honore pas ses engagements tel que prévu dans le contrat. Les risques des
contrats standardisés transigés sur des marchés réglementés sont généralement moindre
grâce à différents mécanismes et collatéraux qui seront étudiés ultérieurement. Pour des
contrats de gré-à-gré, tout cela dépend des dispositions du contrat, des différents risques
et aléas pouvant venir affecter les profits pour chaque partie.
2.2. Option d’achat ( Call )
2.2.1. Définition et caractéristiques
Une option d’achat ( Call option ) est un contrat qui permet à l’acheteur de l’option (le
détenteur de l’option, le souscripteur avec une position longue ) d’acheter l’actif sous-
jacent ou une certaine quantité de l’actif sous-jacent au contrat (𝑆) à un prix fixé d’avance
(prix de levée, prix d’exercice, Strike price = 𝑲) à une date d’échéance (date de livraison,
expiration date ) T ou d’ici une date d’échéance T (selon les modalités de l’option), peu
importe la valeur marchande de l’actif une fois rendu à cette date, s’il le désire (le
détenteur, le souscripteur). L’actif en question est souvent un titre financier tel une
action, par exemple.
Le vendeur/émetteur de l’option sera réputé avoir une position courte et devra vendre
l’actif en question à ce prix prédéterminé et au moment prévu dans l’option si le
détenteur de l’option le désire. Si le vendeur de l’option n’a pas l’actif sous-jacent en sa
possession une fois le contrat rendu à la date d’échéance T (ou auparavant si l’option le
permet en tout temps avant la date d’échéance), il devra se le procurer pour le vendre au
souscripteur à ce prix prédéterminé K.
La décision d’utiliser l’option s’appelle la levée ( exercice ). Il existe différents types
d’exercices :
- Européen (à l’échéance T uniquement)
- Américain (d’ici l’échéance T)
- Bermudien ( Bermudan , à certains moments spécifiques d’ici T)
Dans la présente section, on se concentre sur les options européennes de par leur
simplicité pour introduire ce concept. On dira qu’une option d’achat (européenne par
défaut) d’échéance T et avec un prix d’exercice K est transigée à t = 0 au prix de C(K, T ).
2.2.2. Valeur à l’échéance et profit
Les deux partis (acheteur et vendeur) prennent tous un risque :
- Si l’actif perd de la valeur, ou du moins se situe à une valeur inférieure au Strike Price
K une fois le contrat rendu à échéance, le détenteur de l’option n’exercera pas son
option. Autrement dit, il aura payé son option à un prix C(K, T ) et ne recevra aucun
bénéfice en bout de ligne. Donc, au final, un profit de :
𝑓
𝑇
: Forward (long)
... puisque la valeur à l’échéance est nulle, l’option n’étant pas levée. Le profit
négatif provient du prix initialement payé pour l’option, ce prix étant accumulé au
taux sans risque pour définir le profit à l’échéance. Du côté du vendeur (position
courte), le profit est l’inverse de celui de l’acheteur, soit 𝐶(𝐾, 𝑇) ( 1 + 𝑟 𝑓
𝑇
- Si l’actif atteint une valeur marchande ST > K , alors le détenteur de l’option aura
payé C(K, T) à t = 0 et recevra un actif d’une valeur de ST en déboursant K $ (le
Strike Price K est le prix qu’il paye peu importe la valeur de l’actif une fois rendu à
l’échéance du contrat). Son profit sera de :
𝑇
𝑓
𝑇
Pour tracer un graphique des profits totaux liés à une option d’achat du point de vue de
l’acheteur/détenteur de l’option, il faut ainsi sommer la valeur à l’échéance (si l’option et
exercée ou non) et le montant payé (en négatif) pour obtenir l’option, accumulé au taux
sans risque jusqu’à l’échéance T.
Graphiquement, on obtient pour l’acheteur de l’option d’achat (position longue), en
comparant avec l’acheteur d’un forward (position longue) :
Option d’achat (long)
2.3. Option de vente ( Put )
2.3.1. Définition et caractéristiques
Une option de vente ( Put option ) est un contrat qui permet à l’acheteur de l’option (le
détenteur de l’option, le souscripteur avec une position courte ) de vendre l’actif sous-
jacent au contrat ( S ) à un prix fixé d’avance (prix de levée, prix d’exercice, Strike
price = 𝑲) à une date d’échéance (date de livraison, expiration date ) T ou d’ici une date
d’échéance T (selon les modalités de l’option), peu importe la valeur marchande de l’actif
une fois rendu à cette date, s’il le désire (le détenteur, le souscripteur). L’actif en question
est souvent un titre financier tel une action, par exemple.
Le vendeur/émetteur de l’option sera réputé avoir une position longue et devra acheter
l’actif en question à ce prix prédéterminé et au moment prévu dans l’option si le
détenteur de l’option le désire. Si le détenteur de l’option n’a pas l’actif sous-jacent en sa
possession une fois le contrat rendu à la date d’échéance T (ou auparavant si l’option le
permet en tout temps avant la date d’échéance) et qu’il désire lever l’option, il devra se
le procurer pour le vendre à l’émetteur de l’option au prix prédéterminé K.
Les mêmes définitions s’appliquent pour l’option de vente, tel que vu avec l’option
d’achat (européen, américain, berdumien, etc). On présumera encore ici que seules les
options européennes sont traitées. On dira qu’une option de vente (européenne par
défaut) d’échéance T et avec un prix d’exercice K est transigée à t = 0 au prix de P(K, T ).
2.3. 2. Valeur à l’échéance et profit
Les deux partis (acheteur et vendeur) prennent tous un risque :
- Si l’actif prend de la valeur, ou du moins se situe à une valeur supérieure au Strike
Price K une fois le contrat rendu à échéance, le détenteur de l’option n’exercera
pas son option. Autrement dit, il aura payé son option à un prix P(K, T) et ne
recevra aucun bénéfice en bout de ligne. Donc, au final, un profit de :
𝑓
𝑇
... puisque la valeur à l’échéance est nulle, l’option n’étant pas levée, le profit
négatif provient donc du prix initialement payé pour l’option, ce prix étant
accumulé au taux sans risque pour définir le profit à l’échéance. Du côté du
vendeur, le profit est l’inverse de celui de l’acheteur, soit 𝑃(𝐾, 𝑇) ( 1 + 𝑟 𝑓
𝑇
: Forward (courte)
Ici, il est important de noter qu’on regarde le rendement associé à l’option uniquement ;
si le détenteur de l’option a fait du profit en possédant une action qui a pris de la valeur
pendant cette période de temps, ce profit n’est pas associé à l’option en question, mais
bien au titre sous-jacent…
- Si l’actif atteint une valeur marchande ST < K , alors le détenteur de l’option aura
payé P(K, T) et vendra un actif d’une valeur de ST et recevra K $ (le Strike Price K
est le prix auquel il vend peu importe la valeur de l’actif une fois rendu à
l’échéance du contrat). Son profit sera donc de :
(K - ST) - P(K, T) ( 1 + 𝑟
𝑓
𝑇
Pour tracer un graphique des profits totaux liés à une option de vente du point de vue de
l’acheteur/détenteur de l’option, il faut ainsi sommer la valeur à l’échéance (si l’option et
exercée ou non) et le montant payé (en négatif) pour obtenir l’option, accumulé au taux
sans risque jusqu’à l’échéance T.
Graphiquement, on obtient pour l’acheteur de l’option de vente (position courte), en
comparant avec le vendeur d’un forward (position courte) :
Option de vente (courte)
Remarques :
- Les prix C(K, T) et P(K, T) proviennent de formules qui seront vues
ultérieurement.
- On peut également comparer l’option de vente à une forme d’assurance, car elle
protège le détenteur de l’option face à une baisse marquée de la valeur du titre
sous-jacent
- Des stratégies en investissement impliquent un mélange d’options pour se
protéger ou s’exposer plus ou moins à différents risques (hausses, baisses, grande
volatilité, faible volatilité, etc). Ces stratégies seront vues ultérieurement.
- Le degré de parité ( moneyness ) d’une option représente la valeur qu’aurait cette
option si sa levée s’effectuait immédiatement à t = 0, inconditionnellement des
clauses du contrat de l’option (et de la véritable date d’échéance).
- On dira d’une option « dans le cours » ( in-the-money ) que sa valeur est ainsi
strictement positive, ce qui implique pour une option d’achat que 𝑆 𝑇
𝐾 et
pour une option de vente que 𝑆 𝑇
< 𝐾. À noter que le profit lié à ces options
n’est pas nécessairement positif, selon les coûts initiaux (prix des options).
Autrement, on dira que les options sont « hors du cours » ( out-of-the-money ). En
cas d’égalité, on parlera d’options « au cours » ( at-the-money ).
- En anglais, un parle de « purchased call/put » pour définir l’achat d’une option et
« written call/put » pour définir la vente d’une option. On parle également d’un
« long/short forward » pour définir la position du parti qui achète versus du parti
qui vend le sous-jacent.
- Certains manuels utilisent des notations différentes pour définir le prix d’une
option d’achat ou de vente (ASM : P(S, K, T) et C(S, K, T) , DM : Put(K, T) et Call(K,
T) , notamment). Les calculs sont toutefois les mêmes.
: Forward
2.4. Résumé des positions avec forward ou option d’achat et de vente
Produit dérivé Position Profit Profit minimum Profit maximum
Forward
(Acheteur)
Longue
𝑆 𝑇
− 𝐹 0 ,𝑇
−𝐹 0 ,𝑇
∞
Forward
(Vendeur)
Courte
𝐹 0 ,𝑇
− 𝑆 𝑇
−∞ 𝐹 0 ,𝑇
Option d’achat
(Acheteur)
Longue (^) 𝑀𝑎𝑥( 0 ; 𝑆 𝑇
− 𝐾)
− 𝐶(𝐾, 𝑇) ( 1 + 𝑟 𝑓
)
𝑇 −𝐶(𝐾, 𝑇) ( 1 + 𝑟 𝑓
)
𝑇
∞
Option d’achat
(Vendeur)
Courte 𝐶(𝐾, 𝑇)( 1 + 𝑟 𝑓
)
𝑇
− 𝑀𝑎𝑥( 0 ; 𝑆 𝑇
− 𝐾)
−∞ (^) 𝐶(𝐾, 𝑇) ( 1 + 𝑟 𝑓
)
𝑇
Option de vente
(Acheteur)
Courte (^) 𝑀𝑎𝑥( 0 ; 𝐾 − 𝑆 𝑇
)
− 𝑃(𝐾, 𝑇) ( 1 + 𝑟 𝑓
)
𝑇 −𝑃(𝐾, 𝑇) ( 1 + 𝑟 𝑓
)
𝑇
𝐾 − 𝑃(𝐾, 𝑇) ( 1 + 𝑟 𝑓
)
𝑇
Option de vente
(Vendeur)
Longue 𝑃(𝐾, 𝑇)( 1 + 𝑟 𝑓
)
𝑇
− 𝑀𝑎𝑥( 0 ; 𝐾 − 𝑆 𝑇
)
𝑃(𝐾, 𝑇)( 1 + 𝑟 𝑓
)
𝑇
− 𝐾 𝑃(𝐾, 𝑇) ( 1 + 𝑟 𝑓
)
𝑇
On a ainsi vu trois positions longues, soit la position de l’acheteur dans un forward ( long
forward ), l’achat d’une option d’achat ( purchased call ) et la vente d’une option de vente
( written put ). Les trois positions courtes, en contrepartie, sont la position du vendeur dans
un forward ( short forward ), la vente d’une option d’achat ( written call ) et l’achat d’une
option de vente ( purchased put ).
Profit (long) Profit (court)
Lectures suggérées :
- DM section 2.5 (comparaison entre options et assurance, pages 48 à 50)
- DM tableau 2.7 page 53 et illustration 2.14 page 54 (résumé du chapitre 2)
- On peut ainsi dire qu’une position longue dans une option de vente est liée à tirer
avantage d’une baisse de la probabilité que celle-ci soit exercée, ce qui en fait
augmenter la valeur. L’inverse s’appliquera pour une position courte dans une
option de vente. Tout comme c’était le cas avec l’option de vente, les positions
d’acheteur et de vendeur d’une option de vente servent parfois à titre
d’illustration.
Pour simplifier, de dire que nous sommes « long » dans « quelque chose » signifie qu’on
tire avantage de l’augmentation de sa valeur, et vice-versa.
À titre d’illustration et de simplification, être long dans une option représente la position
de l’acheteur de l’option, et vice-versa. Pour la position versus le sous-jacent, ça sera selon
le cas.
Pour la suite du cours, dans les prochains chapitres, cependant, on fera référence à la
position courte et/ou longue par rapport au sous-jacent d’un produit dérivé par défaut, à
moins de mention contraire.
2. 6. Exercices
Exercice tiré du livre Mathematics of Investment and Credit, 6
ème édition : Le 15 janvier le
prix de l’action de la compagnie XYZ est de 100$. La valeur d’une option d’achat avec
échéance le 20 juillet à un prix d’exercice (strike price K) de 110$ ou de 90$ est de 1$ ou
15$ respectivement. La valeur d’une option de vente avec échéance le 20 juillet à un prix
d’exercice (strike price K) de 110$ ou de 90$ est de 14$ ou 1,50$ respectivement.
Déterminez le profit pour chacune des stratégies suivantes (toutes établies en date du 15
janvier) en fonction de la valeur de l’action XYZ une fois rendu au 20 juillet et en présumant
un taux sans risque nul :
a) Achat d’une option d’achat à K=110$
b) Achat de l’action et vente d’une option d’achat à K=110$
c) Achat d’une option d’achat à K=110$ et vente d’une option d’achat à K=90$
d) Achat d’une option d’achat à K=90$ et vente d’une option d’achat à K=110$
e) Achat d’une option de vente à K=90$ et achat d’une option d’achat à K=110$
f) Achat d’une option de vente à K=110$ et achat d’une option d’achat à K=90$
Question additionnelle
Qu'espère un investisseur qui adopte chacune des positions suivantes en termes de la
valeur à l'échéance du sous-jacent?
a) position longue dans un contrat à terme
b) position courte dans un contrat à terme
c) achat d'une option d'achat
d) vente d'une option d'achat
e) achat d'une option de vente
f) vente d'une option de vente
Solutions
a) Il espère que le prix du sous-jacent augmente le plus possible
b) Il espère que le prix du sous-jacent baisse le plus possible
c) Il espère que le prix du sous-jacent augmente le plus possible et soit au moins supérieur
au prix d'exercice, idéalement supérieur à la somme de la valeur accumulée du prix payé
pour l'option et du prix d'exercice pour en tirer profit.
d) Il espère que le prix du sous-jacent passe en bas du prix d'exercice.
e) Il espère que le prix du sous-jacent baisse le plus possible et soit au moins inférieur au
prix d'exercice, idéalement inférieur à la différence entre le prix d'exercice et la valeur
accumulée de du prix de l'option pour en tirer profit.
f) Il espère que le prix du sous-jacent passe en haut du prix d'exercice.
