Download phuong phap lu/plu dai so tuyen tinh hcmut and more Schemes and Mind Maps Law in PDF only on Docsity!
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
MÔN: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
ĐỀ TÀI 12: PHÂN TÍCH LU
Giảng viên: Nguyễn Hữu Hiệp
Lớp: L
Nhóm: 12
Danh sách thành viên:
MSSV Họ tên
2414016 Nguyễn Thanh Vũ 2410170 Nguyễn Thị Ngọc Ánh 2410855 Nguyễn Thị Thanh Hà 2413835 Nguyễn Thị Thanh Tuyền 2412362 Nguyễn Trần Khôi Nguyên 2413372 Nguyễn Trọng Thơ 2210112 Nguyễn Tuấn Anh 2410414 Nguyễn Văn Chương 2411114 Nguyễn Văn Hoàng Thành phố Hồ Chí Minh, ngày tháng 05 năm 2025
i
Lời nói đầu
Phân tích LU (viết tắt từ Lower–Upper decomposition) là một trong những kỹ thuật cơ bản và quan trọng trong Đại số tuyến tính, giúp phân rã một ma trận vuông thành tích của hai ma trận tam giác – một ma trận tam giác dưới và một ma trận tam giác trên. Phương pháp này không chỉ tối ưu hóa việc giải hệ phương trình tuyến tính, mà còn hỗ trợ tính toán định thức và ma trận nghịch đảo một cách hiệu quả. Trong thực tế, phân tích LU được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như mô phỏng kỹ thuật, xử lý tín hiệu, học máy, kinh tế học, và cả trong các hệ thống mô hình hóa vật lý – nơi việc giải hệ phương trình tuyến tính là điều không thể thiếu. Thông qua đề tài đồ án “Phân tích LU” , nhóm chúng em mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bản chất của phương pháp này cũng như cách triển khai thuật toán một cách tối ưu. Cũng từ đó phát triển tư duy và rèn luyện khả năng làm việc nhóm.
iii
- I. PHƯƠNG PHÁP 𝑳𝑼 : Mục lục
- Khái quát:
- Phân tích PLU ( LU decomposition with partial pivoting )
- Thuật toán Doolitte :
- II. ĐIỀU KIỆN PHÂN TÍCH 𝑳𝑼 VÀ PHÂN TÍCH 𝑷𝑳𝑼 :
- Phân tích 𝑳𝑼 :
- Phân tích 𝑷𝑳𝑼 :
- III. Áp dụng phương pháp LU/PLU vào giải hệ phương trình tuyến tính:
- IV. Đánh giá phương pháp LU/PLU với phương pháp Gauss:
- Phương pháp LU/PLU
- Phương pháp Gauss
- VI. MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ:
- Ứng dụng trong kỹ thuật xây dựng
- Ứng dụng trong khoa học máy tính
- TÀI LIỆU THAM KHẢO
Cơ sở lý thuyết:
I. PHƯƠNG PHÁP 𝑳𝑼 :
1. Khái quát: Trong đại số tuyến tính, phân tích 𝐿𝑈 là phương pháp phân tích ma trận thành tích của một ma trận tam giác dưới và một ma trận tam giác trên. Phép phân tích này thường được dùng trong giải tích số để giải hệ phương trình tuyến tính hoặc tính định thức của ma trận. Gọi 𝐴 là một ma trận vuông. Phân tích 𝐿𝑈 của 𝐴 là cách viết 𝐴 thành tích của 2 ma trận có dạng: 𝑨 = 𝑳𝑼 Trong đó : 𝑨 là ma trận vuông cấp n. 𝑳 là ma trận tam giác dưới (𝐿 trong lower của lower triangle). 𝑼 là ma trận tam giác trên (𝑈 trong upper của upper triangle) Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa 𝐴 về ma trận phía trên 𝑈. Để tính ma trận 𝐿 cần dùng phép biến đổi sơ cấp ngược lại với các biến đổi trên và biến đổi 𝐼 thành 𝐿. Ví dụ với ma trận 3 × 3 : [
] = [
] = [
]
2. Phân tích PLU ( LU decomposition with partial pivoting ) Nhìn chung, các ma trận vuông ở mọi cấp 𝑛 đều có thể phân tích thành ma trận 𝐿𝑈. Trong trường hợp ma trận không thoả điều kiện phân tích, ta biến đổi nó thành 𝑷𝑨 = 𝑳𝑼, với P là ma trận hoán vị theo A. (xem phần II). 3. Thuật toán Doolitte : Về cơ bản, phân tích LU là một dạng của phép khử Gauss. Một số thuật toán phổ biến để phân tích ma trận 𝐴 thành tích của ma trận tam giác dưới 𝐿 và ma trận tam giác trên 𝑈 ( LU decomposition ) có thể kể đến như thuật toán Doolittle, phương pháp Crout (phần trử trên đường chéo chính ma trận 𝑈 bằng 1)… Trong số các thuật toán phân tích LU, ta thường dùng phương pháp Doolittle. Và trong khuôn khổ bài báo cáo, ta cũng sẽ sử dụng phương pháp này.
Vậy: 𝑨 = 𝑳𝑼 = [
] [
] = [
]
2. Phân tích 𝑷𝑳𝑼 : Phân tích 𝑃𝐿𝑈 của 𝐴 có dạng: 𝑷𝑨 = 𝑳𝑼 với 𝐴: một ma trận vuông bất kỳ. 𝐿: ma trận tam giác dưới cùng cỡ với 𝐴. 𝑈: ma trận tam giác trên cùng cỡ với 𝐴. 𝑃: ma trận hoán vị (𝑃 chỉ gồm không và một và chỉ có duy nhất một phần tử 1 trên mỗi dòng và mỗi cột). Ví dụ về phân tích 𝑃𝐿𝑈 của một ma trận: Cho ma trận 𝐴 = [
]
Bước 1: Tìm ma trận 𝑃𝐴: Ta thấy sự chênh lệch độ lớn giữa các hệ số ở các hàng khác nhau. Do đó ta phải hoán vị hàng sao cho hàng đầu tiên sẽ có giá trị ở cột bên trái là lớn nhất. Đổi hàng 1 và hàng 2 cho nên ta có ma trận hoán vị: 𝑃 = [
]
𝑃𝐴 = [
] [
] = [
]
Bước 2: Tìm ma trận tam giác trên 𝑈: 𝑃𝐴 = [
]
ℎ 3 →ℎ 3 + 1 2 ℎ 1 → [
]
ℎ 3 →ℎ 3 − 1 2 ℎ 2 → [
] = 𝑈
Bước 3: Tìm ma trận tam giác dưới 𝐿: 𝐼 = [
]
ℎ 3 →ℎ 3 + 1 2 ℎ 2 → [
]
ℎ 3 →ℎ 3 − 1 2 ℎ 1 → [
] = 𝐿
Vậy: 𝑷𝑨 = 𝑳𝑼 ⇔ [
− 1 2 1 2
] [
] = [
]
III. Áp dụng phương pháp LU/PLU vào giải hệ phương trình tuyến tính:
Một trong những ứng dụng của phân tích LU là giải hệ phương trình AX = b. Nếu ma trận A phân tích thành 𝐴 = 𝐿𝑈, thì ta có hệ 𝐿𝑈𝑋 = 𝑏. Đặt 𝑌 = 𝑈𝑋. Việc giải hệ đã cho trở thành hệ 𝐿𝑌 = 𝑏 và 𝑈𝑋 = 𝑌. Từ đó ta có các bước: Bước 1: Rút gọn phương trình (nếu cần) và đưa phương trình về dạng 𝑨𝑿 = 𝒃. Bước 2: Tìm ma trận 𝑨 = 𝑳𝑼. Bước 3: Với ma trận 𝑳𝑼𝑿 = 𝒃 đã tìm được, đặt 𝒀 = 𝑼𝑿. Từ đó tìm ma trận 𝒀. Bước 4: Với 𝒀 = 𝑼𝑿, ta tìm được 𝑿 theo yêu cầu. Ví dụ: Cho ma trận 𝐴 = [
] và 𝑏 = ( 20 ; 33 ; 36 )𝑇. Hãy giải hệ phương trình tuyến tính 𝐴𝑋 = 𝑏. Bước 1: Rút gọn phương trình (nếu cần) và đưa phương trình về dạng 𝑨𝑿 = 𝒃. 𝑨𝑿 = 𝒃 ⇔ [
] [
] = [
]
Bước 2: Tìm ma trận 𝑨 = 𝑳𝑼 theo hướng dẫn phân tích 𝐿𝑈 ở phần II. 𝐴 = [
]
ℎ 2 →ℎ 2 −^12 ℎ 1 ℎ 3 →ℎ 3 −^34 ℎ 1 → [
25 2
21 4 21 2
]
ℎ 3 →ℎ 3 −^2150 ℎ 2 → [
25 2
567 50
] = 𝑼
𝐼 = [
]
ℎ 3 →ℎ 3 +^2150 ℎ 2 → [
21 50
]
ℎ 3 →ℎ 3 + 3 4 ℎ^1 ℎ 2 →ℎ 2 +^12 ℎ 1 → [
1 2
3 4 21 50
] = 𝑳
Vậy: 𝑳 = [
1 2
3 4 21 50
] , 𝑼 = [
25 2
567 50
].
𝑨𝑿 = 𝒃 ⇔ [
] [
] = [
]
Bước 2: Tìm ma trận 𝑨 = 𝑳𝑼. Ở đây ta thấy ma trận có phần tử đầu tiên bằng 0, nên phải thực hiện biến đổi phương trình về dạng 𝑃𝐴 = 𝐿𝑈 theo hướng dẫn phân tích PLU ở phần II. 𝑃 1 ↔ 2 𝐴 = [
]
𝑃 2 ↔ 3 𝑃 1 ↔ 2 𝐴 = [
]
ℎ 2 →ℎ 2 − 2 ℎ 1 → [
]
ℎ 3 →ℎ 3 + 2 ℎ 2 → [
]
Vậy 𝑳 = [
] , 𝑼 = [
].
Từ đó ta có: 𝑃 2 ↔ 3 𝑃 1 ↔ 2 𝐴 = 𝐿𝑈 hay 𝑷𝑨 = 𝑳𝑼 ⇔ [
] [
] [
] = [
] [
]
Bước 3: Với ma trận 𝑳𝑼𝑿 = 𝑷𝒃 đã tìm được, đặt 𝒀 = 𝑼𝑿. Từ đó tìm ma trận 𝒀. Tính 𝑃𝑏 = [
] [
] [
] = [
]
𝑷𝑨𝑿 = 𝑷𝒃 ⇔ 𝑳𝑼𝑿 = 𝑷𝒃 ⇔ [
] [
] [
] = [
]
Đặt 𝒀 = 𝑼𝑿, 𝑳𝒀 = 𝑷𝒃 ⟺ [
] [
] = [
] ⇔ {
Vậy 𝒀 = [
]
Bước 4: Với 𝒀 = 𝑼𝑿, ta tìm được 𝑿 theo yêu cầu. 𝑼𝑿 = 𝒀 ⟺ [
] [
] = [
] ⇔ {
Vậy: 𝑿 = [
]
IV. Đánh giá phương pháp LU/PLU với phương pháp Gauss:
1. Phương pháp LU/PLU
Phân tích LU không chỉ là công cụ giải hệ tuyến tính mà còn là một phép phân tích ma trận. Nó biểu diễn ma trận dưới dạng tam giác, từ đó mở ra nhiều ứng dụng như tìm định thức, nghịch đảo.
- Ưu điểm:
- Phương pháp này tách biệt ma trận A khỏi b, có thể tái sử dụng phân tích cho các hệ phương trình có cùng ma trận A nhưng b khác nhau. Điều này cực kỳ hiệu quả trong các ứng dụng khoa học và kỹ thuật, nơi có thể có nhiều hệ phương trình với cùng ma trận nhưng các vế phải khác nhau.
- Giải hệ phương trình nhanh vì các ma trận 𝐿 và 𝑈 đều là ma trận tam giác, ta có thể giải nhanh nhờ việc sử dụng thế tiến để giải 𝐿𝑦 = 𝑏 và thế lùi 𝑈𝑥 = 𝑦. Quá trình này nhanh hơn nhiều so với việc giải trực tiếp từng hệ phương trình bằng các phương pháp khác như phương pháp Gauss.
- Có thể được lập trình dễ dàng, hỗ trợ rộng rãi và đã được tích hợp sẵn trong nhiều thư viện phần mềm tính toán khoa học như NumPy (Python), MATLAB, SciPy, giúp tiết kiệm thời gian lập trình và dễ dàng áp dụng trong thực tế.
- Với sự bổ sung ma trận hoán vị P trong phân tích PLU thì phương pháp này trở nên ổn định hơn nhiều so với phương pháp khử Gauss thông thường. PLU sử dụng kỹ thuật hoán vị hàng để tránh chia cho số rất nhỏ (gây ra sai số lớn trong số học). Việc hoán vị giúp giảm thiểu hiện tượng sai số tích lũy trong quá trình tính toán nhất là với các ma trận lớn hoặc có phần tử rất nhỏ hoặc rất lớn. - Nhược điểm:
- Nếu thực hiện phân tích LU mà không có hoán vị, ta có thể gặp phải các vấn đề sai số số học, đặc biệt khi các phần tử chính trong ma trận gần bằng 0. Điều này xảy ra khi một phần tử chính trong ma trận có giá trị rất nhỏ hoặc bằng 0, dẫn đến việc chia cho số rất nhỏ, làm sai số tính toán trở nên lớn.
- Chi phí lưu trữ và cài đặt thuật toán LU/PLU phức tạp hơn, đòi hỏi bộ nhớ và công cụ tổ chức dữ liệu hiệu quả.
- Với một số ma trận đặc biệt (suy biến), việc phân tích có thể không tồn tại hoặc không ổn định.
VI. MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ:
Ứng dụng trong kỹ thuật xây dựng Phương pháp LU rất hữu ích trong việc giải các hệ phương trình tuyến tính xuất hiện khi phân tích kết cấu, đặc biệt là trong phân tích các hệ thống cấu trúc phức tạp như cầu, tòa nhà, hoặc các công trình kỹ thuật. Khi thiết kế hoặc kiểm tra công trình, kỹ sư cần tính chuyển vị, mô hình cấu trúc, tính toán lực, trọng tải tại các điểm nút hoặc khi phân tích cân bằng tĩnh và động của kết cấu. Hệ phương trình cân bằng biểu diễn bằng ma trận thông qua phân tích LU để tính nhanh các biến cần thiết như lực trong thanh, mô men, chuyển vị, từ đó sinh ra hệ phương trình tuyến tính lớn dạng: 𝑨𝑿 = 𝒃 Trong đó: 𝐴: ma trận độ cứng của hệ kết cấu 𝑋: ẩn của hệ 𝑏: vecto tải trọng Ưu điểm của phương pháp LU trong kĩ thuật xây dựng: Giải nhanh hệ nhiều phương trình, tiết kiệm thời gian tính toán. Tái sử dụng được khi thay đổi tải trọng mà vẫn giữ nguyên ma trận A. Ổn định số học hơn so với phương pháp thế Gauss thông thường. Giảm thiểu sai số và tăng độ chính xác so với các phương pháp giải trực tiếp khác. Bài toán: Giải hệ phương trình tuyến tính trong bài toán tính chuyển vị cấu trúc: {
Bước 1: Rút gọn phương trình (nếu cần) và đưa phương trình về dạng 𝑨𝑿 = 𝒃. ⇔ [
] [
] = [
]
Bước 2: Tìm ma trận 𝑨 = 𝑳𝑼 theo hướng dẫn phân tích 𝐿𝑈 ở phần II.
𝐴 = [
]
ℎ 2 →ℎ 2 − 4 ℎ 1 → ℎ 3 →ℎ 3 − 3 ℎ 1
[
]
ℎ 3 →ℎ 3 −^53 ℎ 2 → [
] = 𝑈
𝐼 = [
]
ℎ 3 →ℎ 3 +^53 ℎ 2 → [
5 3
]
ℎ 2 →ℎ 2 + 4 ℎ 1 → ℎ 3 →ℎ 3 + 3 ℎ 1
[
5 3
] = 𝐿
Vậy 𝑳 = [
5 3
] , 𝑼 = [
]
Từ đó ta có: 𝑨 = 𝑳𝑼 ⇔ [
] = [
5 3
] [
]
Bước 3: Với ma trận 𝑳𝑼𝑿 = 𝒃 đã tìm được, đặt 𝒀 = 𝑼𝑿. Từ đó tìm ma trận 𝒀. Hệ phương trình 𝐴𝑋 = 𝑏 trở thành: 𝑳𝑼𝑿 = 𝒃 ⇔ [
5 3
] [
] = [
]
Đặt 𝒀 = 𝑼𝑿, 𝑳𝒀 = 𝒃 ⇔ [
5 3
] [
] = [
] ⇔ {
5 3
Vậy: 𝒀 = [
]
Bước 4: Với 𝒀 = 𝑼𝑿, ta tìm được 𝑿 theo yêu cầu. 𝑼𝑿 = 𝒀 ⇔ [
] [
] = [
] ⇔ {
Vậy: 𝑿 = [
]
Biểu diễn hệ dưới dạng ma trận: 𝑨𝑿 = 𝒃 Với 𝑨 = [
] , 𝑿 = [
] , 𝒃 = [
]
𝑨𝑿 = 𝒃 ⇔ [
] [
] = [
]
Bước 2: Tìm ma trận 𝑨 = 𝑳𝑼 theo hướng dẫn phân tích 𝐿𝑈 ở phần II. 𝑨 = 𝑳𝑼 ⇔ [
] = [
] [
]
Bước 3: Với ma trận 𝑳𝑼𝑿 = 𝒃 đã tìm được, đặt 𝒀 = 𝑼𝑿. Từ đó tìm ma trận 𝒀. Hệ phương trình 𝐴𝑋 = 𝑏 trở thành 𝑳𝑼𝑿 = 𝒃 ⇔ [
] [
] [
] = [
]
Đặt 𝒀 = 𝑼𝑿, Ta có: 𝑳𝒀 = 𝒃 [
] [
] = [
] ⇔ {
Vậy 𝒀 = [
]
Bước 4: Với 𝒀 = 𝑼𝑿, ta tìm được 𝑿 theo yêu cầu. Ta có: 𝑼𝑿 = 𝒀 ⇔ [
] [
] [
] =⇔ {
Vậy 𝑿 = [
]
Kết luận: Số xạ thủ được 10 điểm: 2 Số xạ thủ được 9 điểm: 5 Số xạ thủ được 8 điểm: 7
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] www.geeksforgeeks.org, LU Decomposition [2] Howard Anton-Chris Rorres, Elementary Linear Algebra – 11 th [3] Meyer C.D, Matrix analysis and Applied linear algebra, SIAM, 2000, chapter 5, section 8 [4] Isaac Amidror, Mastering the Discrete Fourier Transform in One, Two or Severa.
