Study with the several resources on Docsity
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Prepare for your exams
Study with the several resources on Docsity
Earn points to download
Earn points by helping other students or get them with a premium plan
Community
Ask the community for help and clear up your study doubts
Discover the best universities in your country according to Docsity users
Free resources
Download our free guides on studying techniques, anxiety management strategies, and thesis advice from Docsity tutors
PCA giam chieu du lieu PCA giam chieu du lieu
Typology: Cheat Sheet
1 / 37
This page cannot be seen from the preview
Don't miss anything!
Khoa Khoa học và ứng dụng
Danh sách thành viên
STT Thành viên nhóm MSSV Công việc 1 Nguyễn Ngọc Hân 2210941 Code Latex + Code Matlab + Nội dung + Ví dụ minh họa 2 Nguyễn Bùi Hữu Phước 2312772 Làm nội dung + Làm Powerpoint 3 Nguyễn Hoài Nam 2313288 Powerpoint + Thuyết trình 4 Nguyễn Hưng Thịnh 2211721 Powerpoint + Thuyết trình
Báo cáo bài tập lớn Đại số tuyến tính - MT 1007 Trang 1/
Khoa Khoa học và ứng dụng
1 Lời mở đầu
Ứng dụng Phân tích thành phần chính ( PCA : Principal Component Analysis ) trong giảm chiều dữ liệu ( Dimensionality Reduction ) là một đề tài hay và thú vị mang giá trị nghiên cứu và học tập cao. Cùng với sự yêu thích bộ môn Đại số tuyến tính cũng như mong muốn tìm tòi học hỏi là lý do nhóm em quyết định thực hiện đề tài này. Đề tài được yêu cầu giải quyết các thông số dữ liệu và biểu diễn chúng 1 cách trực quan. Để có thể thực hiện tốt các tiêu chí đề ra nhóm em cần tìm hiểu về những kiến thức nền tảng về PCA trong Machine Learning và liên hệ với những ứng dụng thực tế. Song song với đó cũng cần vận dụng những kiến thức đã được các thầy cô giảng dạy để có thể hoàn thành đề tài một cách tốt nhất. Sau khi thực hiện đề tài, nhóm em đã có cái nhìn sâu sắc hơn về sự gắn kết giữa lý thuyết và thực tế. Cũng góp phần cũng cố kiến thức nền tảng về chuyên đề Phân tích thành phần chính. Bên cạnh đó cũng giúp chúng em phát huy khả năng làm việc nhóm, xử lí thông tin và dữ liệu, nâng cao hiểu biết về sử dụng công nghệ thông tin trong học tập và công việc sau này.
Báo cáo bài tập lớn Đại số tuyến tính - MT 1007 Trang 4/
Khoa Khoa học và ứng dụng
3 Cơ sở lý thuyết
Phân tích thành phần chính (PCA – Princial Component Analysis) là một kỹ thuật thống kê được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như học máy, thị giác máy tính, tài chính, sinh học để giảm thiểu số lượng biến số trong dữ liệu. PCA giúp tìm ra các thành phần chính (principal components) – là các hướng trong không gian đa chiều mà dữ liệu phân tán mạnh nhất. Mục tiêu là để giảm số chiều của dữ liệu trong khi vẫn giữ được càng nhiều thông tin càng tốt, loại bỏ các thành phần không quan trọng, hướng đến cải thiện hiệu suất của mô hình và giảm chi phí tính toán. Không những đơn giản hóa dữ liệu, PCA còn hỗ trợ việc trực quan hóa dữ liệu trong không gian, giúp chúng ta dễ dàng nhận diện các mẫu và xu hướng của mô hình. Phân tích thành phần chính (PCA) là một công cụ linh hoạt, mạnh mẽ trong việc xử lý dữ liệu phức tạp. Trong thực tế, PCA có nhiều ứng dụng đa ngành, đa lĩnh vực, từ thị giác máy tính, nơi nó giúp giảm nhiễu và phân tích hình ảnh, đến tài chính, nơi PCA được sử dụng để phân tích và dự đoán các biến động của thị trường. Trong sinh học, PCA còn hỗ trợ phân tích dữ liệu gene và protein, giúp hiểu rõ về các cơ chế sinh học phức tạp. PCA còn được sử dụng trong xử lý âm thanh và xử lý ngôn ngữ tự nhiên. Với khả năng vượt trội của mình, phân tích thành phần chính đã trở thành một phương pháp không thể thiếu trong khoa học hiện đại.
Hình 1: Cùng là 1 chú lạc đà, tuy nhiên với các cách nhìn khác nhau (trục thông tin), chúng ta lại có những cách thu nhận thông tin khác nhau và cho ta những kết luận khác nhau.
Phép phân tích thành phần chính (Principal Components Analysis – PCA) là một phương pháp giảm chiều dữ liệu (dimension reduction) tương đối hiệu quả dựa trên phép phân tích suy biến (singular decomposition) mà ở đó chúng ta sẽ chiếu các điểm dữ liệu trong không gian cao chiều xuống một số ít những véc tơ thành phần chính trong không gian thấp chiều mà đồng thời vẫn bảo toàn tối đa độ biến động của dữ liệu sau biến đổi. Nói cách khác, PCA là phương pháp dùng phép biến đổi trực giao để giảm kích thước một tập hợp dữ liệu từ một không gian nhiều chiều sang một không gian mới ít chiều hơn nhưng vẫn đảm bảo đầy đủ thông tin. PCA là phương pháp biến đổi giúp giảm số lượng lớn các biến có tương quan với nhau thành tập ít các biến sao cho các biến mới tạo ra là tổ hợp tuyến tính của những biến cũ không có tương quan lẫn nhau.
Báo cáo bài tập lớn Đại số tuyến tính - MT 1007 Trang 6/
Khoa Khoa học và ứng dụng
Ví dụ, chúng ta có 100 biến ban đầu có tương quan tuyến tính với nhau, khi đó chúng ta sử dụng phương pháp PCA xoay chiều không gian cũ tuyến tính mà vẫn giữ được nhiều nhất lượng thông tin từ nhóm biến ban đầu. Cách đơn giản nhất để giảm chiều dữ liệu từ D về K (K < D) là chỉ giữ lại K phần tử quan trọng nhất. Tuy nhiên, việc làm này chắc chắn chưa phải tốt nhất vì chúng ta chưa biết xác định thành phần nào là quan trọng hơn. Hoặc trong trường hợp xấu nhất, lượng thông tin mà mỗi thành phần mang là như nhau, bỏ đi thành phần nào cũng dẫn đến việc mất một lượng thông tin lớn. Tuy nhiên, nếu chúng ta có thể biểu diễn các vector dữ liệu ban đầu trong một hệ cơ sở mới mà trong hệ cơ sở mới đó, tầm quan trọng giữa các thành phần là khác nhau rõ rệt, thì chúng ta có thể bỏ qua những thành phần ít quan trọng nhất. Lấy một ví dụ về việc có hai camera đặt dùng để chụp một con người, một camera đặt phía trước người và một camera đặt trên đầu. Rõ ràng là hình ảnh thu được từ camera đặt phía trước người mang nhiều thông tin hơn so với hình ảnh nhìn từ phía trên đầu. Vì vậy, bức ảnh chụp từ phía trên đầu có thể được bỏ qua mà không có quá nhiều thông tin về hình dáng của người đó bị mất.
Hình 2: Ý tưởng chính của PCA: Tìm một hệ trực chuẩn mới sao cho trong hệ này, các thành phần quan trọng nhất nằm trong K thành phần đầu tiên.
Quan sát hình vẽ trên với cơ sở mới U = [UK , U¯K ] là một hệ trực chuẩn với UK là ma trận con tạo bởi K cột đầu tiên của U. Với cơ sở mới này, ma trận dữ liệu có thể được viết thành:
X = UK Z + U¯K Y (8)
Từ đây ta cũng suy ra: " Z Y
Mục đích của PCA là đi tìm ma trận trực giao U sao cho phần lớn thông tin được giữ lại ở phần màu xanh UK Z và phần màu đỏ U¯K Y sẽ được lược bỏ và thay bằng một ma trận không phụ thuộc vào từng điểm dữ liệu. Nói cách khác, ta sẽ xấp xỉ Y bởi một ma trận có toàn bộ các cột là như nhau. Chú ý rằng các cột này có thể phụ thuộc vào dữ liệu training nhưng không phụ thuộc vào dữ liệu test, các bạn sẽ thấy rõ hơn khi lập trình mà tôi sẽ trình bày trong bài tiếp theo. Gọi mỗi cột đó là b và có thể coi nó là bias, khi đó, ta sẽ xấp xỉ:
Y ≈ b 1 T
Báo cáo bài tập lớn Đại số tuyến tính - MT 1007 Trang 7/
Khoa Khoa học và ứng dụng
Với λ 1 ≥ λ 2 ≥ · · · ≥ λD ≥ 0 là các trị riêng của ma trận nửa xác định dương S. Chú ý rằng các trị riêng này là thực và không âm. Như vậy L không phụ thuộc vào cách chọn ma trận trực giao U và bằng tổng các phần tử trên đường chéo của S. Nói cách khác, L chính là tổng của các phương sai theo từng thành phần của dữ liệu ban đầu. Vì vậy, việc tối thiểu hàm mất mát J được cho bởi (13) tương đương với việc tối đa:
i=
uiSuTi
Định lý 1: F đạt giá trị lớn nhất bằng
i=1 λi^ khi^ ui^ là các vector riêng có norm 2 bằng 1 ứng với các trị riêng này. Tất nhiên, chúng ta không quên điều kiện trực giao giữa các ui. Chú ý rằng λi, i = 1,... , K chính là K trị riêng lớn nhất của ma trận hiệp phương sai S. Trị riêng lớn nhất λ 1 của ma trận này còn được gọi là Thành phần chính thứ nhất (First Principal Component), trị riêng thứ hai λ 2 còn được gọi là Thành phần chính thứ hai, v.v. Chính vì vậy, phương pháp này có tên gọi là Phân tích thành phần chính - Principal Component Analysis. Ta chỉ giữ lại K thành phần chính của dữ liệu khi muốn giảm số chiều dữ liệu. Để có cái nhìn trực quan hơn, chúng ta cùng theo dõi Hình dưới đây:
Hình 3: PCA dưới góc nhìn Thống kê. PCA có thể được coi là phương pháp đi tìm một hệ cơ sở trực chuẩn đóng vai trò một phép xoay, sao cho trong hệ cơ sở mới này, phương sai theo một số chiều nào đó là rất nhỏ, và ta có thể bỏ qua.
Báo cáo bài tập lớn Đại số tuyến tính - MT 1007 Trang 9/
Khoa Khoa học và ứng dụng
Trong không gian ban đầu với các vector cơ sở màu đen e 1 , e 2 , phương sai theo mỗi chiều dữ liệu đều lớn. Trong không gian mới với các vector cơ sở màu đỏ u 1 , u 2 , phương sai theo chiều thứ hai ˆσ^2 rất nhỏ so với ˆσ 12. Điều này nghĩa là khi chiếu dữ liệu lên u 2 ta được các điểm rất gần nhau và gần với kỳ vọng theo chiều đó. Trong trường hợp này, kỳ vọng theo mọi chiều bằng 0 nên ta có thể thay thế tọa độ theo chiều u 2 bằng 0. Rõ ràng là nếu dữ liệu có phương sai càng nhỏ theo một chiều nào đó thì khi xấp xỉ chiều đó bằng một hằng số, sai số xảy ra càng nhỏ. PCA thực chất là đi tìm một phép xoay tương ứng với một ma trận trực giao sao cho trong hệ tọa độ mới, tồn tại các chiều có phương sai nhỏ mà ta có thể bỏ qua; ta chỉ cần giữ lại các chiều/thành phần khác quan trọng hơn. Như đã chứng minh ở trên, tổng phương sai theo mọi chiều trong hệ cơ sở nào cũng là như nhau và bằng tổng các trị riêng của ma trận hiệp phương sai. Vì vậy, PCA còn được coi là phương pháp giảm số chiều dữ liệu mà giữ được tổng phương sai còn lại là lớn nhất. Tôi sẽ bỏ qua phần chứng minh của Định lý 1. Tuy nhiên, cũng nêu một vài ý để bạn đọc có thể hình dung: Khi K = 1. Ta cần giải bài toán:
max u 1 uT 1 Su 1 s.t. ∥u 1 ∥ 2 = 1
Như đã đề cập ở phía trên, hàm mục tiêu đạt giá trị lớn nhất bằng λ 1 khi u 1 là một vector riêng của ma trận hiệp phương sai S tương ứng với trị riêng λ 1. Vậy định lý đúng với K = 1. Giả sử u 1 đã là vector riêng ứng với trị riêng lớn nhất của S thế thì nghiệm u 2 của bài toán tối ưu:
max u 2 uT 2 Su 2 s.t. ∥u 2 ∥ 2 = 1, uT 2 u 1 = 0
là một vector riêng của S ứng với trị riêng lớn thứ hai λ 2 của nó. Chú ý rằng λ 2 có thể bằng λ 1 nếu không gian riêng ứng với λ 1 có số hạng lớn hơn 1. Nhận định này có thể được chứng minh bằng phương pháp nhân tử Lagrange. Thật vậy, Lagrangian của bài toán (21) là: L(u 2 , ν 1 , ν 2 ) = uT 2 Su 2 + ν 1 uT 1 u 2 + ν 2 (1 − uT 2 u 2 )
Ta cần giải hệ phương trình đạo hàm của L theo từng biến bằng 0:
∂L ∂u 2 = 2Su^2 +^ ν^1 u^1 −^2 ν^2 u^2 = 0^ (22) ∂L ∂ν 1 =^ u
T 1 u 2 = 0 (23)
∂L ∂ν 2 = 1^ −^ u
T 2 u 2 = 0 (24)
Nhân cả hai vế của (22) với uT 1 vào bên trái ta có:
2 uT 1 Su 2 + ν 1 = 0
Vì Su 1 = λ 1 u 1 nên uT 1 Su 2 = λ 1 uT 1 u 2 = 0. Từ đó suy ra ν 1 = 0 và (22) lúc này tương đương với:
Su 2 = ν 2 u 2
Báo cáo bài tập lớn Đại số tuyến tính - MT 1007 Trang 10/
Khoa Khoa học và ứng dụng
3.4.2 Lĩnh vực tài chính
PCA giảm số lượng kích thước trong một vấn đề tài chính phức tạp. Ví dụ: Chúng ta hãy giả sử rằng danh mục đầu tư của một chủ ngân hàng đầu tư bao gồm 150 chứng khoán.
3.4.3 Nhận dạng khuôn mặt
3.4.4 Nén ảnh
3.4.5 Takeaway
Trong các ứng dụng trên, ứng dụng giảm chiều dữ liệu là một ứng dụng thú vị và được ứng dụng rộng rãi, đó cũng chính là đề tài BTL mà chúng em sẽ trình bày.
Báo cáo bài tập lớn Đại số tuyến tính - MT 1007 Trang 12/
Khoa Khoa học và ứng dụng
4 Cơ sở toán học
4.1.1 Ý tưởng phương pháp
Phương pháp PCA sẽ "chiếu" (biểu diễn) dữ liệu đa chiều lên một không gian có cơ sở trực giao thức, nếu ta xem mỗi cơ sở trong không gian mới là một biến thì hình ảnh của dữ liệu gốc trong không gian mới này sẽ được biểu diễn thông qua các biến độc lập tuyến tính. Vấn đề là nếu chuyển dữ liệu ban đầu sang không gian mới thì những thông tin đáng quan tâm của dữ liệu ban đầu liệu có bị mất? Để giải quyết vấn đề này phương pháp PCA sẽ tìm không gian mới với tiêu chí cố gắng phản ánh được càng nhiều thông tin gốc càng tốt và thước đo cho khái niệm "thông tin" ở đây là phương sai. Một điểm hay nữa là các biến trong không gian mới độc lập nên ta có thể tính toán được tỷ lệ giải thích phương sai của từng biến mới đối với dữ liệu điều này cho phép ta cân nhắc việc chỉ dùng số ít các biến để giải thích dữ liệu. Nói 1 cách ngắn gọn, mục tiêu của phương pháp PCA là tìm 1 không gian mới (với số chiều nhỏ hơn không gian cũ). Các trục tọa độ trong không gian mới được xây dựng sao cho trên mỗi trục, độ biến thiên dữ liệu là lớn nhất có thể (maximize the variability).
4.1.2 Các đặc trưng số của vector ngẫu nhiên
4.1.2.a Kì vọng (Mean, Expected Value)
i=1 xi
4.1.2.b Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)
Là thuật ngữ để đo tính biến động của giá trị mang tính thống kê. Nó cho thấy sự chênh lệch về giá trị của từng thời điểm đánh giá so với giá trị trung bình:
σ = s =
vu ut 1 N
i=
(Xi − μ)^2
4.1.2.c Phương sai (Variance)
Là đại lượng đặc trưng cho sự phân tán của các dữ liệu so với giá trị trung bình, từ đó dễ dàng hình dung được dữ liệu ta đang xét:
var(X) = σ^2 = s^2 = (^) N^1
i=
(Xi − μ)^2
4.1.2.d Hiệp phương sai (Covariance)
Là độ đo sự biến thiên cùng nhau của hai biến ngẫu nhiên (phân biệt với phương sai – đo mức độ biến thiên của một biến):
cov(X, Y ) = (^) N^1
i=
(Xi − μX )(Yi − μY )
Báo cáo bài tập lớn Đại số tuyến tính - MT 1007 Trang 13/
Khoa Khoa học và ứng dụng
4.3.1 Dữ liệu một chiều
Cho N giá trị x 1 , x 2 ,... , xN. Kỳ vọng và phương sai của bộ dữ liệu này được định nghĩa là:
x = (^) N^1
n=
xn = (^) N^1 1 T^ X
với 1 ∈ RN^ là vector cột chứa toàn phần tử 1. Kỳ vọng đơn giản là trung bình cộng của toàn bộ các giá trị. Phương sai được tính theo công thức:
σ^2 = (^) N^1
n=
(xn − x)^2
Phương sai càng nhỏ thì các điểm dữ liệu càng gần với kỳ vọng, tức các điểm dữ liệu càng giống nhau. Phương sai càng lớn thì ta nói dữ liệu càng có tính phân tán. Căn bậc hai của phương sai, σ, còn được gọi là độ lệch chuẩn (standard deviation) của dữ liệu.
4.3.2 Dữ liệu nhiều chiều
Cho N điểm dữ liệu được biểu diễn bởi các vector cột x 1 ,... , xN , khi đó, vector kỳ vọng và ma trận hiệp phương sai của toàn bộ dữ liệu được định nghĩa là:
x = (^) N^1
n=
xn
n=
(xn − x)(xn − x)T^ = (^) N^1 Xˆ XˆT
Trong đó Xˆ được tạo bằng cách trừ mỗi cột của X đi x:
x ˆn = xn − x Các công thức này khá tương đồng với các công thức cho dữ liệu 1 chiều phía trên. Có một vài điểm lưu ý:
Báo cáo bài tập lớn Đại số tuyến tính - MT 1007 Trang 15/
Khoa Khoa học và ứng dụng
Ví dụ về dữ liệu không tương quan và tương quan được cho trong Hình 2b,c.
5 Cơ sở trong thống kê và Các bước phân tích thành phần chính
PCA có thể được coi là phương pháp đi tìm một hệ cơ sở trực chuẩn đóng vai trò một phép xoay, sao cho trong hệ cơ sở mới này, phương sai theo một số chiều nào đó là rất nhỏ, và ta có thể bỏ qua.
Từ các suy luận phía trên, ta có thể tóm tắt lại các bước trong PCA như sau:
Báo cáo bài tập lớn Đại số tuyến tính - MT 1007 Trang 16/
Khoa Khoa học và ứng dụng
6 PCA trong việc giảm chiều dữ liệu
Ứng dụng phân tích thành phần chính để đánh giá các đặc tính hóa học và kháng khuẩn của nọc ong mật Apis Mellifera: Nghiên cứu này sử dụng Phân Tích Thành Phần Chính (PCA) để làm rõ các mô hình phân bố và sự tương đồng của bốn thành phần chính (apamine, phospholipase A2, peptide phân giải tế bào mast, và melittin) trong nọc ong mật, thu thập từ hai dòng ong mật khác nhau qua nhiều tháng và năm. Các thành phần này được phân tích bằng sắc ký lỏng hiệu suất cao (HPLC), và hoạt tính kháng khuẩn được xác định thông qua Nồng độ ức chế tối thiểu (MIC). PCA giúp tìm và mô tả mối tương quan giữa các thành phần nọc ong và hoạt tính kháng khuẩn. Nghiên cứu chỉ ra rằng dòng ong là tiêu chí chính để phân loại mẫu nọc ong và xác nhận mối tương quan chặt chẽ giữa phospholipase A và melittin. Tuy nhiên, mối quan hệ yếu giữa các thành phần chính và giá trị MIC gợi ý rằng các thành
Báo cáo bài tập lớn Đại số tuyến tính - MT 1007 Trang 18/
Khoa Khoa học và ứng dụng
phần nhỏ khác cũng có thể ảnh hưởng đáng kể đến hoạt tính kháng khuẩn. Đây là nghiên cứu đầu tiên áp dụng PCA để so sánh thành phần và hoạt tính của nọc ong mật theo cách này. Ứng dụng PCA trong tài chính định lượng: Trong tài chính định lượng, phân tích thành phần chính (PCA) là công cụ quan trọng giúp quản lý rủi ro cho các danh mục đầu tư phát sinh lãi suất. Khi giao dịch từ 30 đến 500 công cụ hoán đổi khác nhau, PCA giúp giảm số lượng công cụ này xuống còn 3- thành phần chính, phản ánh xu hướng lãi suất vĩ mô. Việc chuyển đổi rủi ro được thể hiện dưới dạng các hệ số tải, cung cấp cái nhìn sâu sắc hơn về các yếu tố ảnh hưởng đến toàn bộ danh mục đầu tư thay vì chỉ xem xét từng công cụ riêng lẻ. Ví dụ, một quỹ đầu tư có thể áp dụng PCA để phân tích 200 công cụ hoán đổi lãi suất, từ đó xác định các thành phần chính như xu hướng lãi suất chung, rủi ro tín dụng và biến động thị trường. Dựa vào những phân tích này, quỹ có thể đưa ra quyết định đầu tư hợp lý hơn, chẳng hạn như giảm đầu tư vào các công cụ có rủi ro cao hoặc tái phân bổ tài sản để bảo vệ danh mục khỏi biến động không mong muốn. Nhờ đó, PCA không chỉ đơn giản hóa quy trình phân tích mà còn giúp quỹ đưa ra những quyết định quản lý tài sản hiệu quả hơn.
7 MATLAB Thực hành
1 m = input ( ’ Nh ậ p s ố h à ng m c ủ a ma tr ậ n d ữ li ệ u : ’) ; 2 n = input ( ’ Nh ậ p s ố c ộ t n c ủ a ma tr ậ n d ữ li ệ u : ’) ; 3 fprintf ( ’ Nh ậ p ma tr ậ n d ữ li ệ u ( k í ch th ư ớ c % dx % d ) :\ n ’ , m , n ) ; 4 X = zeros (m , n ) ; 5 for i = 1: m 6 for j = 1: n 7 X (i , j ) = input ( sprintf ( ’ Nh ậ p ph ầ n t ử X (% d ,% d ) : ’ , i , j ) ) ; 8 end 9 end 10 X = normalize ( X ) ; % Chu ẩ n h ó a d ữ li ệ u 11 12 K = 2; % S ố l ư ợ ng th à nh ph ầ n ch í nh c ầ n gi ữ 13 X_mean = mean ( X ) ; % T í nh gi á tr ị trung b ì nh 14 X = X - X_mean ; % Trung b ì nh h ó a d ữ li ệ u 15 16 covariance_matrix = cov ( X ) ; % Ma tr ậ n hi ệ p ph ư ơ ng sai 17 18 [~ , D , V ] = svd ( covariance_matrix ) ; % Ph â n t í ch gi á tr ị ri ê ng 19 20 % T í nh t ỷ l ệ ph ư ơ ng sai gi ả i th í ch cho m ỗ i th à nh ph ầ n ch í nh 21 explained_variance = diag ( D ) / sum ( diag ( D ) ) * 100; 22 23 % Hi ể n th ị t ỷ l ệ ph ư ơ ng sai gi ả i th í ch 24 fprintf ( ’T ỷ l ệ ph ư ơ ng sai gi ả i th í ch c ủ a t ừ ng th à nh ph ầ n ch í nh :\ n ’) ; 25 for i = 1: K 26 fprintf ( ’ Th à nh ph ầ n ch í nh % d : %.2 f %%\ n ’ , i , explained_variance ( i ) ) ; 27 end 28 29 % Gi ả m chi ề u d ữ li ệ u 30 V_reduce = V (: , 1: K ) ; 31 Y = X * V_reduce ;
Báo cáo bài tập lớn Đại số tuyến tính - MT 1007 Trang 19/
