Download Ôn tập cho toán cao cấp and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity!
Nội dung ôn tập môn toán cao cấp 2023
A. PHẦN LÝ THUYẾT
Dạng 1: Tính định thức
Phương pháp: sử dụng phép biến đổi sơ cấp, sử dụng công thức khai triển theo hàng hoặc cột, hoặc kết hợp
Ví dụ: Tính định thức
Cách 1: Sử dụng phép biến đổi sơ cấp
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 1.1.1.4 4 1 3 6 8 0 2 5 7 0 0 1 1 0 0 1 1 1 5 10 18 0 4 9 17 0 0 1 5 0 0 0 4
Cách 2: Sử dụng công thức khai triển
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 4 0 1 2 3
- 2 5 7 1.4 4 1 3 6 8 0 2 5 7 4 9 17 1 5 10 18 0 4 9 17
(khai triển theo cột 1)
Dạng 2: Tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp ma trận phụ hợp hay phương pháp Gauss-Jordan
a. Phương pháp ma trận phụ hợp
Tính det(A). Nếu det(A) = 0 thì kết luận ma trận A không tồn tại ma trận nghịch đảo. Nếu det(A) 0, chuyển sang bước sau: Tính phần phụ đại số của phần tử aij là Aij=(-1)i + j^ det(Mij) => ma trận phụ hợp A* Ma trận nghịch đảo^1 A 1 A * det(A)
^ .
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
A
- Ta có det(A)=-1 ≠0→∃A-^1
A 11 = ^ 1 1^
= - 1, A 12 = ^ 1 2^
= 38, A 13 = ^ 1 3^
A 21 = ^ 2 1^
, A 22 =
, A 23 =
A 31 = ^ 3 1^
, A 32 =^2 7
, A 33 =
Suy ra ma trận phụ hợp của A là:
A
^
^
^
Vậy ma trận nghịch đảo cần tìm là:^1
det( )
A A
A
^
^
^
Chú ý: Phương pháp này được áp dụng để tìm ma trận nghịch đảo của những ma trận cấp nhỏ (cấp n 3).
b. P hương pháp Gauss-Jordan
Để tìm ma trận nghịch đảo của A ta làm như sau: Bước 1: Viết ma trận đơn vị I cùng cấp với A bên cạnh ma trận A như sau( A | I ) Bước 2: Áp dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng đưa dần phần ma trận A về ma trận tam giác trên ma trận chéo ma trận đơn vị. Tác động đồng thời các phép biến đổi đó vào phần ma trận I. Bước 3: Khi ở phần ma trận A (ban đầu) xuất hiện dạng ma trận đơn vị I thì ở phần ma trận I (ban đầu) xuất hiện ma trận A-^1 (tức là:( A | I ) ... ( I | A ^1 )
- Phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên luôn nằm lệch về bên trái so với phần tử khác không đầu tiên của hàng dưới
- Hàng không (là hàng có tất cả các phần tử bằng không) luôn ở dưới các hàng khác không
Ví dụ: Tìm hạng của ma trận
A
^
( ) 2
^ ^ ^ ^ ^
A r A
Dạng 5: Giải hệ Cramer, ứng dụng Mô hình cân bằng thị trường 2, 3 hàng hóa, mô hình IS-LM.
a. Phương pháp Cramer
Hệ Cramer AX = B (A là ma trận vuông cấp n) có nghiệm:
n
2
1
x
x
x X (^) với các thành phần ẩn
xi được xác định bởi công thức: ,i 1.n det(A) x det(Ai) (^) i , t rong đó, Ai là ma trận có được từ A
bằng cách thay cột thứ i của A bởi cột ma trận vế phải B.
Chú ý : Phương pháp thường sử dụng để giải cho hệ 2 hoặc 3 phương trình
Ví dụ 1 : Giải hệ phương trình
2 x 3 x 4 x 4
2 x x x 3
x 2 x x 2
1 2 3
1 2 3
1 2 3
det 2 1 1
A
det 3 1 1
A
2
det 2 3 1
A
det 2 1 3
A
Do đó nghiệm của hệ đã cho là: 1 1 2 2 3 3
det 1, det 2, det 3
det det det
x A^ x A x^ A
A A A
^ ^ ^ ^ ^ .
Kết luận: Nghiệm của hệ phương trình là (x 1 , x 2 , x 3 ) = (1, 2, 3)
Mô hình cân bằng thị trường 3 hàng hóa
Ví dụ : Xét thị trường ba loại hàng hóa gồm chè, cafe, cacao có hàm cung và hàm cầu tương ứng như sau:
Chè: Qs 1 5 p 1 ; Qd 1 30 p 1 p 3
Cafe: Qs 2 2 p 2 ; Qd 2 63 2 p 2 p 3
Cacao: Qs (^) 3 (^) 8 3 p 3 (^) ; Qd (^) 3 50 p 1 (^) p 2 (^) p 3
Hãy thiết lập mô hình cân bằng thị trường của 3 loại hàng hóa trên. Sử dụng phương pháp Cramer xác định giá và lượng hàng hóa ở trạng thái cân bằng của mỗi loại hàng hóa.
HD: Mô hình cân bằng thị trường Qs i Qd i ( i 1,2,3)
1 1 3 1 3 2 2 3 2 3 3 1 2 3 1 2 3
^ ^ ^ ^ ^ ^
p p p p p
p p p p p
p p p p p p p
Sử dụng phương pháp Cramer
det(A) 0 4 1 30
det(A ) 63 4 1 300
2
det(A ) 0 63 1 360
det(A ) 0 4 63 450
Giá cân bằng và lượng cân bằng của mỗi loại hàng hóa là:
1 1 2 2 3 3
p 10 Q 5
p 12 Q 24
p 15 Q 37
^
Hãy xác định giá cân bằng (sử dụng phương pháp ma trận nghịch đảo) và lượng cân bằng của thị trường hai hàng hóa, cho biết hàm cung và hàm cầu của mỗi mặt hàng lần lượt
Qs 1 2 4 p 1 ; Qd 1 18 3 p 1 p 2 và Qs 2 2 3 p 2 ; Qd 2 12 p 1 2 p 2
c. Phương pháp Gauss
Bước 1: Viết ma trận bổ sung A A B
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đưa phần ma trận A về dạng tam
giác. Đến đây ta dễ dàng biết được r A v μ r A , r A r A n (n là số ẩn), sau đó
giải hệ từ dưới lên ta tìm được nghiệm X.
Ví dụ : Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss:
0 3 2 5 4 5 3
x y z x y z x y z
(^) (^)
(I)
Ta có ma trận bổ sung:
1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 3 2 1 5 0 1 4 5 0 1 4 5 ( ) ( ) 3 4 1 5 3 0 5 9 3 0 0 11 22
A r A r A
^ ^ ^ ^ ^ (^) (^)
=> hệ có một nghiệm duy nhất. Hệ (I)
0 1 4 5 3 11 22 2
x y z x y z y z z
^ ^ ^ (^) (^)
Dạng 6: Giải hệ phương trình tổng quát bằng phương pháp Gauss
Ví dụ: Giải hệ phương trình
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
x x x x x x x x x x x x
x
x
x
x
Ta có ma trận bổ sung
1 1 3 1 0 1 1 3 1 0 1 2 3 1 1 0 1 0 2 1 | 1 2 1 1 1 0 3 4 2 1 2 3 2 1 2 0 5 8 1 2 1 1 3 1 0 1 1 3 1 0 0 1 0 2 1 0 1 0 2 1 0 0 4 8 4 0 0 4 8 4 0 0 8 11 3 0 0 0 5 5
A A B
(^) (^) ^ ^ ^ (^) (^) (^) (^) (^) (^) ^ ^ ^ (^) (^) (^)
[ ]
Hệ phương trình trở thành
1 2 3 4 1 2 4 2 3 4 2 4 3
x x x x x x x x x x x x
^ x^ ^ ^ ^ ^
^
Dạng 7: Tính giới hạn hàm số sử dụng quy tắc Lopitan hoặc vô cùng bé tương đương (nếu có)
Các cặp VCB tương đương cơ bản
sinx x (khi x 0)
e^ x^ ^1 ^ x^ ( khi^ x^ 0) ln 1 x (^) x ( khi x 0)
1 ^ x^ ^ ^1 x^ ( khi^ x^ 0)
x^2 1 cosx ( khi x 0) 2
Nếu u=u(x)→0 khi x→a thì sinu u ( khi u 0)
e^ u^ ^1 ^ u^ ( khi^ u^ 0) ln 1 u (^) u ( khi u 0)
^1 ^ u^ ^ ^1 u^ ( khi^ u^ 0)
u^2 1 cosu ( khi u 0) 2
Phương pháp 1: Sử dụng Quy tắc thay thế VCB tương đương: Giả sử trong quá trình nào đó ta có (x)và (x)là hai VCB tương đương có (x) và (x)là hai VCB tương đương, khi đó cũng trong quá trình đó ta có :
lim (x)^ lim (x) (x) (x)
và lim (^) (x). (x) (^) lim (x). (x)
Chú ý: Chỉ thay thế VCB tương đương ở dạng tích, thương, không được thay thế VCB tương đương ở dạng tổng hiệu.
Hàm số f(x) liên tục tại 1 điểm x 0 nếu thỏa mãn 2 điều kiện
+) Hàm số f(x) xác định tại x 0 và trong lân cận của x 0 +) 0 0 0 0 0 (^) x lim x f ( ) x f ( x ) ( lim x x f ( ) x (^) x lim x f ( ) x f ( x )).
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x=0 biết:^2
1 cos 2 (^) khi x 0 ( ) 2 khi x 0
x f x (^) x
Giải: Xét tại x = 0 ta có f(0)=2 xác định
2 0 0 2 0 2 0
lim lim 1 os2^ lim 2 2 lim (0) 2 x x x x
c x^ x f x f x f (^) x (^) x
=> f(x) liên tục tại x = 0.
Ví dụ 2: Tìm a để hàm số f(x) liên tục tại x=0 biết: 2
sin 3 os2x-1 (^0) ( ) 1 2 0
x
x c (^) khi x f x e x x a khi x
(^)
Giải: Tại x=0 ta có: f(0)=a
2 0 0 0 lim sin 3^ os2x-1^ lim 3cos3^ 2sin 2x 3, lim ( 2 ) ^1 ^
(^) x x^ x x x
x c x (^) x x a a e e
Để f(x) liên tục tại x=0 thì
x^ lim 0 ^^ f^ ( ) x^^ ^ lim x 0 ^ f^ ( ) x^^ ^ f^ (0)^ ^ a 3.
Kết luận: a=3 thỏa mãn bài toán.
Dạng 9: Ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế
Tính MR, MC, hệ số co giãn, các bài toán tối ưu: Tìm Q để lợi nhuận đạt cực đại.
Ví dụ 1: Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm có hàm cầu ngược
P=1312-2Q và hàm tổng chi phí: TC Q^3 77Q^2 1000Q 40000 (Q là mức sản lượng của công ty cho thị trường). a. Hãy tìm mức sản lượng Q và giá bán P để hàm lợi nhuận đạt tối đa. b. Tại mức sản lượng tối ưu hãy tính chi phí cận biên và doanh thu cận biên. c. Tính hệ số co giãn của chi phí theo Q tại mức sản lượng tối ưu, và giải thích ý nghĩa. HD: a. Lập hàm lợi nhuận
^3 3 2
Q 77Q 1000Q 40000) Q 75Q 312Q 40000
π TR TC Q 1312 2Q (
Bài toán quy về tìm Q>0 sao cho hàm 𝛑 đạt cực đại
Q 52 (t / m) π ' 3Q 150Q 312 0 Q 2
- Điều kiện đủ: π '' 6Q 150 π ''(52) 0 → Q=52 là điểm cực đại của hàm số
Vậy với mức sản lượng Q=52 và giá P=1208 thì lợi nhuận đạt cực đại là…
b. TC ' 3Q^2 154Q 1000 MC TC '(52) 1104
MR=TR’=1312-4Q
Ý nghĩa: Tại mức sản lượng tối ưu Q=52, nếu Q tăng 1 đơn vị thì tổng chi phí tăng khoảng 1104 đơn vị.
c. 3 2 TC 2 TC Q (^) Q 77Q 1000Q 40000 Q ε TC '. Q^ 3Q^ 154Q^1000 ε 1104. 52 2, 35 TC 24400
( ) Q (52)
^
Ý nghĩa: Tại mức sản lượng tối ưu Q=52, nếu Q tăng 1% thì tổng chi phí tăng khoảng 2,35%
Ví dụ 2: Một công ty cạnh tranh hoàn hảo có hàm tổng chi phí: TC Q^3 2Q^2 10Q 36 (Q là mức sản lượng của công ty cho thị trường).
a. Nếu giá bán sản phẩm là P=50, hãy tìm mức sản lượng Q để hàm lợi nhuận đạt tối đa. b. Tại mức sản lượng tối ưu hãy tính chi phí cận biên. c. Tính hệ số co giãn của chi phí theo sản lượng Q tại Q=10 và giải thích ý nghĩa.
Cách làm tương tự ví dụ 1.
Dạng 10: Tìm cực trị tự do của hàm 2 biến z=f(x,y)
Quy tắc tính đạo hàm riêng cấp một: Khi tính đạo hàm riêng cấp một của hàm hai biến (hay hàm nhiều biến) theo một biến nào đó thì ta coi các biến còn lại là hằng số và sử dụng các công thức, các quy tắc tính đạo hàm như của hàm một biến đối với biến đã chọn.
Quy tắc tìm cực trị tự do
Bước 1: Điều kiện cần Tính fx’ ; fy’. Tìm điểm dừng của hàm số bằng cách
a 11 f (^) xx''^ 6x; a 12 f (^) xy''^3 f (^) yx''^ a 21 ; a 22 fyy '' 6y, D 6x^3 36xy 9 3 6y
+) Lập bảng: Điểm a 11 D Kết luận về Mi M 1 (0, 0) 0 - 9 M 1 không là điểm cực trị.
M 2 (1, 1) 6 27 M 2 là điểm cực tiểu vàf CT 1
Kết luận: hàm số đạt cực tiểu tại M 2 (1, 1) và fCT 1.
Dạng 11: Tìm cực trị có điều kiện của hàm f(x,y) thỏa mãn điều kiện g(x,y)=b
- Bước 1: Lập hàm Lagrange:
L = f x, y + λ b - g x, y
- Bước 2: Điều kiện cần:
Tính L ' x^^^ ,^ L '^ y^ , L ' .Tìm điểm dừng của hàm Lagrange bằng cách
Giải hệ
' ' '
x y i i i i
L
L M x y L
^
là điểm dừng của hàm L
Tính 1 '^2 ' 11 ''^12 ''^21 '' 22
x y xx xy yy
g g g g L L L L L L L
và lập ma trận
1 2 1 11 12 2 21 22
0 g g H g L L g L L
^
Nếu det(H)>0 thì M là điểm cực đại, tính giá trị cực đại.
Nếu det(H)<0 thì M là điểm cực tiểu, tính giá trị cực tiểu.
Nếu det(H)=0 chưa kết luận được điểm M.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: f ( , x y ) x^2 y^2 với điều kiện 3 x 2 y 6
+ Lập hàm Lagrange: L x^2^ y^2 (6 3 x 2 ) y
' ' '
x y
L x (^) x L y y L x y
Điểm dừng của hàm L là M(18/13, 12/13, 12/13)
1 '^2 ' 11 ''^12 ''^21 22 '' 1 2 1 11 12 2 21 22
3 2 0 det( ) 26 0 2 0 2
^ ^ ^
x y xx xy yy
g g g g L L L L L L L g g H g L L H g L L
→M là điểm cực tiểu
Hàm số f x^2^ y^2 với điều kiện 3 x 2 y 6 đạt cực tiểu tại M (18/13, 12/13) và
fct=468/
Dạng 12: Bài toán về sự lựa chọn của người tiêu dùng và nhà sản xuất
a. Bài toán tối đa hóa lợi nhuận
→Bài toán tìm Q , Q 1 2 0 sao cho hàm lợi nhuận 𝛑=TR-TC đạt cực đại
Ví dụ 1: Một doanh nghiệp cạnh tranh thuần túy sản xuất kết hợp 2 loại sản phẩm với
hàm chi phí như sau (Qi là lượng sản phẩm i): TC Q 12 2 Q Q 1 2 2 Q 22 7. Hãy tìm mức
sản lượng kết hợp ( Q Q 1, 2 )để DN có lợi nhuận tối đa khi giá sản phẩm 1 là $32, giá sản phẩm
2 là $16.
Ví dụ 2: Một công ty độc quyền sản xuất kết hợp 2 loại sản phẩm với hàm chi phí như
sau (Qi là lượng sản phẩm i): TC 3 Q 1^2 2 Q Q 1 2 2 Q 22 55. Hãy chọn mức sản lượng kết
hợp ( Q Q 1, 2 )và giá bán các sản phẩm để công ty có được lợi nhuận tối đa, khi cầu của thị
trường đối với các sản phẩm 1, 2 của công ty như sau: Q 1 (^) 120 P 1 và Q 2 (^) 140 P 2.
b. Bài toán tối đa hóa lợi ích
→ Bài toán: Tìm x, y >0 sao cho hàm lợi ích U=U(x, y) với điều kiện g(x,y)=b đạt cực đại
Ví dụ: Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng : U xy x 2 y , trong điều kiện hàng hóa thứ nhất được bán với giá $2, hàng hóa thứ 2 được bán với giá $5 và thu nhập cho tiêu dùng là $51, hãy xác định lượng cầu (x,y) đối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu dùng tối đa lợi ích của mình. Nếu ngân sách tiêu dùng tăng 2$ thì lợi ích tối đa thay đổi như thế nào?
Giải:
Bài toán: Tìm x, y >0 sao cho hàm lợi ích U xy x 2 y
2 2 2 1 2 2
(^1 1 1 1) lim 1 1 0 1 1 ( 1) 2 2 2 2 4 4
^ ^ ^ ^ (^) ^ ^ (^) t I xdx^ dt x t t t
Ví dụ 3: Tính I = 2 2 ln
dx (^) x x (hướng dẫn: Đặt t =lnx)
Đặt t ln x dt ^1 dx x
, đổi cận: khi x=2 thì t=ln2, khi x thì t=+∞
2 2 ln 2 2 ln 2
(^1) lim 1 1 0 1 1 ln ln 2 ln 2 ln 2
^ ^ ^ ^ ^ ^ (^) t I dx^ dt x x t t t
Dạng 14: Tính thặng dư của người tiêu dùng và nhà sản xuất
a. Thặng dư của người tiêu dùng
Cho hàm cầu đối với một sản phẩm: p = D-^1 (Q) và điểm cân bằng thị trường (p 0 , Q 0 ).
Khi đó những người mua chấp nhận mức giá p 1 ( p 1 > p 0 ) sẽ được lợi 1 khoản p 1 – p 0 về giá cho mỗi đơn vị sản phẩm. Toàn bộ số lợi đó được gọi là thặng dư của người tiêu dùng (phần tô màu trên hình vẽ). Ký hiệu: CS
Q (^01) CS 0 D (Q)dQ p Q 0 0
b. Thặng dư của nhà sản xuất
Cho hàm cung đối với một sản phẩm: p = S-^1 (Q) và điểm cân bằng thị trường (p 0 , Q 0 ).
Khi đó những người bán chấp nhận mức giá p 1 ( p 1 < p 0 ) sẽ được lợi 1 khoản p 0 – p 1 về giá cho mỗi đơn vị sản phẩm. Toàn bộ số lợi đó được gọi là thặng dư của nhà sản xuất (phần tô màu trên hình vẽ). Ký hiệu: PS
(^) ^0
Q 0 0 1 0
PS p Q S (Q)dQ
Ví dụ: Cho biết hàm cung và hàm cầu đối với một 1 sản phẩm: Qd 13 p^2^ ; Qs p^2 5
a. Hãy tìm giá cân bằng của thị trường
b. Tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng.
HD:
a. Khi thị trường cân bằng: QS=QD
p^2^ 5 13 p^2^ 2 p^2 18 p^2 9 p 3, p 3
Vậy giá cân bằng của thị trường là p 0 =3 và lượng cân bằng là Q 0 =4.
b. 2 2 1 2 2 1
d s
Q p p Q p Q D Q
Q p p Q p Q S Q
Thặng dư của người tiêu dùng là: Q (^0 1 4 ) (^0 0 ) 0 0
CS D (Q)dQ p Q 13 QdQ 3.4 2 (13 Q) 12 1, 3
Thặng dư của nhà sản xuất là: Q (^0 1 4 ) (^0 0 ) 0 0
PS p Q S (Q)dQ 3.4 5 QdQ 12 2 (5 Q) 1, 45 3
Dạng 15: Tìm hàm p(x) khi biết p’(x)
Ví dụ: Giá p (USD) của 1 loại hàng hóa A thay đổi theo quy luật:p '(x) (^202) (7 x)
Trong đó x (trăm) là số đơn vị hàng hóa được cung cấp ra thị trường. Biết rằng nhà sản xuất cung cấp 200 đơn vị hàng hóa (x=2) khi giá là 2 USD. a. Tìm hàm cầu của hàng hóa là p(x). b. Nếu nhà sản xuất cần cung cấp ra thị trường 500 đơn vị sản phẩm thì giá của hàng hóa là bao nhiêu? HD:
a.
^
^2 2 (^)
20 d(7 x) (7 x) (7 x)
p(x) p '(x)dx dx 20 20 C 7 x
7 x
Biết rằng nhà sản xuất cung cấp 200 đơn vị hàng hóa (x=2) khi giá là 2 USD →p(2)=2 ↔ 4+C= 2 C= - 2.
Vậyp(x) 20 2 7 x
=> - 8A = 24 ; 4A - 8B= 4 ; 2A + 2B - 8C = 8
=> A = - 3 ; B = - 2 ; C = - 2 => y* = - 3 x^2 - 2x - 2
- Bước 3: vậy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là :
y = y 0 +y* = C 1 e2x^ + C 2 e-^ 4x^ + ex( - 3 x^2 - 2x - 2 ) ; C 1 , C 2 là hằng số tùy ý.
Dạng 17: Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1: y’+p(x)y=q(x)
Nghiệm tổng quát của PTVP có dạng:
y e^ ^^ p x dx (^ )^^ ^ q x e ( ) p x dx (^ ) dx C
Nếu p, q là các hằng số thì pt trở thành:
y’+py=q là pt ô tô nôm tuyến tính cấp 1 có nghiệm là
y q Ce px khi p 0 p
y qx C khi p 0
Ví dụ: Giải phương trình vi phân: xy^^ '^ ^ x^^2 ^ y^ (^ x 0)
2
1 1 ( ) ' ( 0) '. ( )
(^) (^)
p x xy x y x y y x (^) x x (^) q x x
Nghiệm tổng quát của PTVP có dạng:
( ) ( )
(^1 2 1) ln| | 2 ln| |
2 1 2
(^)
^
^ ^ ^
^ ^ ^ ^
^
p x dx p x dx
x dx^ xdx^ x^ x
y e q x e dx C
e x e dx C e x e dx C
x x x dx C x xdx C x x C
Dạng 18: Phương trình vi phân cấp 1 dạng tách biến (biến số phân ly) a. Định nghĩa: là phương trình vi phân cấp một có dạng : M(x)dx + N(y)dy = 0 (1)
b. Cách giải: Lấy tích phân hai vế của phương trình (1) ta được: M x dx (^) N y dy C
Chú ý: Một số phương trình sau đưa được về dạng phương trình với biến số phân li: (1) y’^ = f(x)g(y) dy = f(x)g(y)dx
Nếu g(y) 0 ta có: f(x)dx
g(y)
dy
Nếu g(y)= (2) M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0. Xét 2 trường hợp : TH1 : Nếu N(y) 0, P(x) 0, chia cả 2 vế của pt cho N(y).P(x) ta có:
M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy =0 ( )^ ( )^0 ( ) ( )
M x (^) dx Q y dy P x N y
TH2 : Nếu N(y)P(x) = 0 thì giải ra ta được : x x 0 , y y 0 là các nghiệm kì dị của phương
trình. c. Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình vi phân sau: 1 2 0
1 x dx y dy y Giải: x^^ ^1 ^ dx^ ^ y (^2)^ y ^ 1 dy^ ^0 ^ x^ ^1 ^ dx^ ^ y 2 y 1 dy^ ^ C^ ^ x^^2 ^ x^ ^ ln^ y^2^ ^1 C
Ví dụ 2: Giải phương trình vi phân sau: xy^2^ x dx (^) y yx^2 dy 0 Giải: TH1: (^) 1 ^ x^^2 ^0 ^ x ^1 chia cả hai vế của pt cho (^) 1 ^ x^2^^ y^2 ^1 , ta nhận được:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 0 (^1) (1 ) 1 ( 1) 1 1 ln 1 ln 1 1 1 (*)
^ (^) (^)
xdx ydy x y
x d^ x^ y d y^ C x y C y C x Hệ thức (*) gọi là tích phân tổng quát của phương trình đã cho. TH2: Thay x=1, x=-1 vào ptvp ban đầu thỏa mãn, nhưng không thỏa mãn tp tổng quát nên x=1, x=-1 là các nghiệm kì dị.
Dạng 19: Ứng dụng của PTVP cấp 1
Ví dụ 1. Giả sử một người có số tiền là $60 được đầu tư. Giá trị I(t) của khoản đầu tư sau t ngày thỏa mãn PTVP: (^) I '(t) 0, 002.I(t) 5. Hãy tìm giá trị của khoản đầu tư sau 27 ngày.
