OLASILIK VE İSTATİSTİK 1. BÖLÜM ÖDEV ÇÖZÜMLERİ
Prof. Dr. E. Dilaveroğlu
Bursa, 17.10.2019
Sayfa 1 / 2
1
. Örnek uzayı
{
}
6,5,4,3,2,1=S kümesidir.
aPPP
=
=
=
)5()3()1( ve, dolayısıyla,
aPPP 2)6()4()2(
=
=
=
olsun.
İ
kinci ve üçüncü aksiyomdan
19
=
a ve 9/1
=
a. Üçüncü aksiyomdan
9/4)3()2()1()3,2,1(
=
+
+
=
PPPP .
2
. Deneye ili
ş
kin çıktılar
n
pozitif bir tamsayı olmak üzere ),,,(
21 n
sss
K
biçiminde sonlu bir dizi
ş
eklinde açıklanabilir. Burada
{
}
3,1,,,
121
∈
−n
sss
K
ve
{
}
4,2∈
n
s.
İ
lave olarak bir çift sayının hiç elde
edilmedi
ğ
i çıktılar da vardır. Bu türden çıktılar ),,(
21
K
ss biçiminde sonsuz bir dizi
ş
eklinde
açıklanabilir. Burada dizinin her bir elemanı
{
}
3,1 kümesine aittir. Örnek uzayı bu iki türden mümkün
tüm çıktıları içermektedir.
3
. (a) Aynı sayı gelmesi olayı 6 adet çıktı içerir. Dolayısıyla olasılı
ğ
ı 36/6 ’dır.
(b) Yeni örnek uzayı 6 elemanlı
{
}
)1,3(),2,2(),1,2(),3,1(),2,1(),1,1( kümesidir. Bu örnek uzayında aynı
sayı gelmesi olayına ili
ş
kin 2 adet çıktı vardır. Dolayısıyla
ş
artlı olasılık 6/2 ’dır.
(c) En az bir zarın 6 gelmesi olayı
11
adet çıktı içerir. Dolayısıyla olasılı
ğ
ı 36/11 ’dır.
(d) Yeni örnek uzayı 30 adet çıktı içerir. Bu 30 çıktıdan 10’u “En az bir zar 6 ” olayını
sa
ğ
lamaktadır. Dolayısıyla
ş
artlı olasılık 30/10 ’dur.
4
. :
i
B“
.
i
torbadan seçilen top beyaz” ve :
c
ii
BS =“
.
i
torbadan seçilen top siyah,”
ki ,,1 K
=
, olayları
olsun. Toplam Olasılık Teoreminden
n
m
m
n
m
m
n
m
n
n
m
m
n
m
m
SBPSPBBPBPBP +
=
+++
+
++
+
+
=+=
1
1
1
)|()()|()()(
1211212
ve genel olarak
n
m
m
SBPSPBBPBPBP
iiiiiii
+
=+=
+++
)|()()|()()(
111
, 1,,2
−
=
ki
K
.
5
. (a) :A“Gönderilen sembol 0 ” olayı olsun. Toplam Olasılık Teoreminden istenen olasılık
)1)(1()1()1))((1()1)((
1010
εεεε
−−+−=−−+− ppAPAP ’dir.
(b) Sembollerin doğru alınması olayları bağımsız olduğundan gönderilen üç tane
1
ve bir tane 0 ’ın
doğru alınması olasılığı )1()1(
0
3
1
εε
−− ’dır.
(c) Bir 0 ’ın doğru çözülmesi için alınan dizi 000 , 100 , 010 veya 001 olmalıdır. Gönderilen dizi
000 ’ın 000 olarak alınması olasılığı 3
0)1(
ε
−
ve
100 , 010 ve 001 dizilerinin her birinin alınması
olasılığı 2
00 )1(
εε
−
’dir. Dolayısıyla, doğru kod çözme olasılığı
2
00
3
0)1(3)1(
εεε
−+−
’dir.
(d) Bayes Teoreminden
2
110
2
0
0
2
0
)1()1()1(
)1(
)1|101()1()0|101()0(
)0|101()0(
)101|0(
εεεε
εε
−−+−
−
=
+
=pp
p
PPPP
PP
P.
6
. :A“Sınıfta en az k ö
ğ
renci,” :B“Hava kötü” (dolayısıyla :
c
B“Hava güzel”) olayları olsun.
Toplam Olasılık Teoreminden
)|()()|()()(
cc
BAPBPBAPBPAP +=
ve
in
k
i
k
n
ki
pp
i
n
BAP
−
=
−=
∑
)1()()|(
in
g
i
g
n
ki
c
pp
i
n
BAP
−
=
−=
∑
)1()()|(
.
Dolayısıyla
