Mécanique des milieux continues, Exercises of Mechanics

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Mécanique des Milieux Continus

Recueil d’exercices

Arts et Métiers ParisTech

Centre de Cluny

M.MAYA

maya@cluny.ensam.fr

www.mmaya.fr

Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY

Exercices de Mécanique des milieux continus

Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY

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• Notation indicielle ................................................................................................................................. Sommaire
• Cisaillement en grandes déformations ...................................................................................................
• Etat de déformation homogène triaxiale ................................................................................................
• Cisaillement en petites déformations .....................................................................................................
• Etude d’un état de déformation............................................................................................................
• Etat de contrainte uniforme .................................................................................................................
• Etat de contrainte uniaxial ...................................................................................................................
• Etat de contraintes dans un cylindre ....................................................................................................
• Etat de contrainte .................................................................................................................................
• Théorie des poutres : état de contrainte ...............................................................................................
• Torsion flexion d’une poutre ...............................................................................................................
• Etude d’un chargement sur une gouttière ............................................................................................
• Mécanique de la rupture en mode I .....................................................................................................
• Projectile dans un canon ......................................................................................................................
• Mesures de déformations .....................................................................................................................
• Déplacement d’un corps solide ............................................................................................................
• Etude d’un massif en compression ......................................................................................................
• Etude d’un champ de déplacement ......................................................................................................
• Sphère soumise à son champ de gravitation ........................................................................................
• Corps soumis à son propre poids .........................................................................................................
• Etude d’une poutre ...............................................................................................................................
• Etude d'un tube ....................................................................................................................................
• Compatibilité de déformations ............................................................................................................
• Détermination d’un champ de déplacement ........................................................................................
• Champ de pesanteur sur un cylindre ....................................................................................................
• Contraintes dans un domaine ...............................................................................................................
• Sollicitation dans un cylindre ..............................................................................................................
• Chargement d’un cylindre de révolution .............................................................................................
• Etude d’une poutre de section triangle équilatéral ..............................................................................
• Poutre demi cylindrique .......................................................................................................................
• Etude des critères de limite élastique...................................................................................................
• Poutre en flexion ..................................................................................................................................
• Flexion composée d’une poutre demi cylindrique...............................................................................
• Etude d’un barrage ...............................................................................................................................
• Calcul des dimensions d’un réservoir sphérique .................................................................................
• Taraudage d’un tube ............................................................................................................................
• Déplacement radial ..............................................................................................................................
• Etude d’un assemblage fretté ...............................................................................................................
• Etude de cylindres élastiques en compression radiale .........................................................................
• Pièces de révolution .............................................................................................................................
• Etude d'un palier lisse ..........................................................................................................................
• Encastrement d’un pion cylindrique dans une plaque .........................................................................
• Etude d’un vérin ..................................................................................................................................
• Canalisation hydraulique ..................................................................................................................... Exercices de Mécanique des milieux continus
• Déplacement orthoradial ......................................................................................................................
• Etude d'un assemblage cylindrique ......................................................................................................
• Etude de liaisons cylindriques .............................................................................................................
• Coefficient de Poisson  = 0,25 ........................................................................................................
• Etude du changement eau-glace ..........................................................................................................
• Cisaillement plan dans une plaque percée ...........................................................................................
• Torsion d’une poutre de section triangulaire .......................................................................................
• Torsion d’un solide de révolution ........................................................................................................
• Torsion d'un tube elliptique .................................................................................................................
• Champ de force radial ..........................................................................................................................
• Chargement d’un barreau rectangulaire...............................................................................................
• Enveloppe cylindrique .........................................................................................................................
• Sollicitation combinée d’un cylindre ...................................................................................................
• Transformation hélicoïdale ..................................................................................................................
• Etude d’un volant d’inertie ..................................................................................................................
• Poutre triangulaire ...............................................................................................................................
• Etude d'un appui circulaire à trou circulaire en élastomère .................................................................
• Elasticité plane en coordonnées cartésiennes ......................................................................................
• Elasticité plane en coordonnées cylindriques ......................................................................................
• Contrainte en pointe de fissure ............................................................................................................
• Poutre courbe .......................................................................................................................................
• Cylindre en pression ............................................................................................................................
• Etude des contraintes dans un disque pesant .......................................................................................
• Etude d’un oeudomètre ........................................................................................................................
• Pression de Hertz .................................................................................................................................
• Milieu demi cylindrique ......................................................................................................................
• Pion indéformable dans une plaque .....................................................................................................
• Poutre en état plan de contrainte ..........................................................................................................
• Arbre entaillé .......................................................................................................................................
• Réaction d'un sol élastique sur une conduite flexible ..........................................................................
• Console ................................................................................................................................................
• Plaque en contrainte plane ...................................................................................................................
• Réalisation d'un tube en matériau composite ......................................................................................
• Déformations plastiques d'un tube en pression ....................................................................................
• Sollicitation élastoplastique d'une sphère ............................................................................................
• Ecrasement d'un lopin cylindrique.......................................................................................................
• Détermination d'un effort de presse .....................................................................................................
• Examen LILLE 30 mai 2002 ......................................................................................................
• Examen METZ 12 janvier 2004 ..................................................................................................
• COORDONNEES SPHERIQUES ......................................................................................................

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Exercices de Mécanique des milieux continus

Cisaillement en grandes déformations

On considère le champ de déplacement donné par les relations suivantes :

u  XJ t  x X kX 2 E 1

  ^ 

1- Déterminer alors les composantes, dans la base orthonormée directe  E 1 E 2 E 3 

, , , des tenseurs

suivants :

dx dX

F F Tenseur gradient dx. dx ' dX dX '

C  C Tenseur de Cauchy Green Droit dx. dx ' dX. dX ' dX dX '

E   2 E Tenseur des déformations de Green Lagrange dX. dX ' dx dx '

B  B Tenseur de Cauchy Green Gauche dx. dx ' dX. dX ' dx dx '

A   2 A Tenseur des déformations d’Euler Almansi

2- Constater que l’on a bien la relation :

A  F ^1  EF^1

T

3- On se place au point M 0 de coordonnées (1,1,0). Soient a

le vecteur représentant la bissectrice du

plan E 1 E 2 

, et b

le vecteur représentant la trisectrice du trièdre : a E 1 E 2

  b^ E 1 E 2 E 3

Calculer la dilatation linéaire en M 0 dans les directions

 E 1 , E 2

, a

et b

Calculer les distorsions angulaires suivantes :

 M E E   M E a 

4- On a k^ ^10 ^3. En admettant la linéarisation, définir les composantes du tenseur de déformation et du tenseur antisymétrique :

T T U U U U

 grad grad  grad grad 2

ω 2

ε

Déterminer les composantes du vecteur associé au tenseur antisymétrique.

5- Tracer le tricercle de Mohr des déformations en M. Représenter sur ce tricercle les vecteurs

déformations pures dans les directions

 E 1 , E 2

, a

et b

D p  M E  Dp  M E  Dp  M a  Dp  M b 

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Exercices de Mécanique des milieux continus

Etat de déformation homogène triaxiale

On considère une déformation homogène triaxiale définie par les relations suivantes :

3 3 3

2 2 2

1 1 1

x X

x X

x X

1- Déterminer alors les composantes, dans la base orthonormée directe  E 1 (^) E 2 E 3 

, , , des tenseurs

suivants :

dx dX

F F Tenseur gradient dx. dx ' dX dX '

C  C Tenseur de Cauchy Green Droit dx. dx ' dX. dX ' dX dX '

E   2 E^ Tenseur des déformations de Green Lagrange dX. dX ' dx dx '

B  B Tenseur de Cauchy Green Gauche dx. dx ' dX. dX ' dx dx '

A   2 A Tenseur des déformations d’Euler Almansi

2- Constater que l’on a bien la relation :

A  F ^1  EF^1

T

3- Donner les composantes du tenseur de Green Lagrange dans la base orthonormée  e 1 (^) e 2 e 3 

définie par :

 

 

3 3

2 1 2

1 1 2

e E

e E E

e E E

^ 

Application numérique :

1 240

Donner les valeurs numériques des différents tenseurs.

Retrouver, par un raisonnement simple les relations traduisant le changement de base pour le tenseur de Green Lagrange.

Retrouver aussi ces résultats en utilisant les cercles de Mohr.

X

X

X

x

x

x

2

3

1

3

2

1

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Exercices de Mécanique des milieux continus

Etude d’un état de déformation

On considère l'état de déformation ci-après :

 Ei 

M

1-1 Calculer le vecteur déformation pure dans la direction  1 3 3  2

a  E  E

. Conclusion?

1-2 Calculer les déformations principales et les directions principales de déformations.

1-3 Représenter sur le tricercle de Mohr des déformations les vecteurs déformation pure en M dans les directions

  ^ E^ 1 ,E 2 et

 ^ E 3.

1-4 Donner le tenseur déviateur des déformations. Que peut-on dire?

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Exercices de Mécanique des milieux continus

Etat de contrainte uniforme

On considère un domaine ( D ) en équilibre statique, tel qu'en tout point M de ce domaine, l'état de contrainte soit de la forme suivante :

( , , )

avec 1 2 3 0 0

1 2 3

M x x x

EE E

  

2-1 La force de volume est due uniquement à l'attraction gravitationnelle. L'axe E 1

est vertical ascendant. Que peut-on dire de la

fonction ?

2-2 On exerce une pression uniforme sur la base circulaire

inférieure d'un cône de demi angle au sommet , de hauteur H , de rayon R

à la base inférieure et d'axe E 1

. Quelles sont les conditions aux limites pour la face supérieure et la face

latérale si on veut que le tenseur des contraintes soit sphérique en tout point, le solide étant soumis à la

pesanteur g gE 1

2-3 Calculer le tenseur des contraintes dans la base cylindro polaire E (^) r E Ez E 1 

_____________________________________________________________________________________

Etat de contrainte uniaxial

On considère un domaine ( D ) en équilibre statique, tel qu'en tout point M de ce domaine, l'état de contrainte soit de la forme suivante :



 ( )  ( , , ) ( , , )

M x x x E E E







  





  



0 0 0 0 0 (^0 0 0 1 2 )

1 2 3   

avec

2-1 Calculer les composantes de la force de volume par unité de masse. A quelles conditions cette force de volume peut-elle être celle du champ de pesanteur? En déduire la fonction ( x 1 , x (^) 2 , x 3 ).

2-2 Le domaine ( D ) est un tronc de cône de demi-angle au sommet , d'axe vertical, placé dans le champ de pesanteur g ^   gE 

1. On exerce une pression^ p 0 sur la grande base^ (^ S 1 )du tronc de cône.

En déduire la fonction ( x 1 (^) , x (^) 2 , x 3 )et les conditions aux limites (chargement) sur la petite base ( S 2 ) et

la surface latérale ( S 3 ). On indiquera clairement sur un schéma les répartitions de charges sur les

frontières du domaine.

E  1

 E 2

 E 1

 (^) H

S 1

S 3

S 2

p 0

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Exercices de Mécanique des milieux continus

Théorie des poutres : état de contrainte

On considère une poutre droite de section droite constante. Le domaine est donc un cylindre droit à base quelconque d’axe O E 1 

Les axes  O E 2 

; et  O E 3 

; sont les axes principaux d’inertie de la section droite du cylindre. L’axe  O E 1 

; représente la ligne des centres de gravité des sections droites.

1- La poutre est sollicitée en traction simple. Donner le tenseur des contraintes en un point quelconque en admettant les résultats de la théorie des poutres. Vérifier ensuite les équations d’équilibre.

2- On considère cette fois une sollicitation de flexion pure (sans effort tranchant). Le moment

de flexion est dirigé selon le vecteur E 3 .Donner à nouveau le tenseur des contraintes et vérifier les

équations d’équilibre.

3- On admet que dans le cas d’une sollicitation avec effort tranchant T 2 , la contrainte tangentielle est donnée par la formule :

    

Largeur

Momentstatique

Momentquadratique

Effort tranchant

2

2

3

2

3 2

2 2

b x

Ax

I

T

Ibx

T Ax ( )

A quelle(s) condition(s) les équations d’équilibre seront-elles vérifiées dans le cas d’une flexion pure? Peut-on vérifier les équations d’équilibre avec une poutre de section rectangulaire? Avec une poutre de section circulaire?

4- Les équations d’équilibre peuvent-elles être satisfaites dans le cas de la torsion d’une poutre de section droite circulaire?

Donner l’expression du tenseur des contraintes dans le référentiel cylindro-polaire. La sollicitation étant une sollicitation combinée de flexion torsion, donner les expressions des contraintes normales maxi et contraintes tangentielles maxi.

5- Pouvons nous, dans le cas de la flexion pure par exemple, proposer d’autres répartitions de contrainte que celle donnée par la théorie des poutres?

O

E

E

E

1

2

3

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Exercices de Mécanique des milieux continus

Torsion flexion d’une poutre

On considère une poutre droite de section constante. L’axe ( O ; E 1 )

est la ligne des centres de gravité. Les axes( O ; E 2 )

et( O ; E 3 )

sont les axes principaux d’inertie. La poutre est sollicitée en flexion pure combinée avec de la torsion. L’axe de flexion est(^ O ;^ E 3 )

. La section droite est une section circulaire de rayon R.

En admettant les résultats de la théorie des poutres, donner le tenseur des contraintes en un point de la circonférence dans la base de votre convenance en fonction du moment de flexion Mf 3 , du moment de torsion Mt et du rayon R.

Par la méthode de votre choix, donner les valeurs des contraintes principales et les directions principales des contraintes. Ces dernières seront données par leurs composantes dans la base cylindro-polaire( E (^) r , E , Ez E 1 )

Donner les expressions de la contrainte normale maxi et de la contrainte tangentielle maxi.

Donner l’expression de la contrainte équivalente selon le critère de Von Misès.

Etude d’un chargement sur une gouttière

Un massif occupe, dans le repère  O Ei 

; l’espace délimité par (^) x 1  0 et h  x 3  h. Il est entaillé d’un gouttière semi cylindrique dont la section droite est le demi-cercle de centre O et de rayon R. L’axe  O E 1 

; est vertical descendant. On suppose qu’en tout point M du massif le tenseur des contraintes est de la forme suivante :

r x  Ei 

x x x x

x x x

r

K

1

2

2 2 1 2

2 1

2

2 1

3 1 4 0 0





K et  sont deux constantes positives et 2 2

2 r  x 1  x

Les équations d’équilibre peuvent-elles être satisfaites?

Déterminer les contraintes principales et les directions principales de contrainte en tout point du massif.

Rechercher les efforts extérieurs appliqués sur la face (^) x 1  0 , sur la gouttière de rayon R et sur les faces x (^) 3  h. Comment peut on réaliser la répartition des efforts extérieurs sur la gouttière?

E 2

E 1

E 3 

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Exercices de Mécanique des milieux continus

Mécanique de la rupture en mode I

Une éprouvette compacte de mécanique de la rupture est soumise à une ouverture normale en mode I. L’effort appliqué est N. L’éprouvette est en état plan de contrainte. L’extrémité de l’entaille

(pointe de la fissure) est l’origine du repère cartésien et du repère cylindrique O ; Er , E , Ez E 3 

La distribution des contraintes en un point M quelconque au voisinage de la pointe de fissure est donnée par les relations suivantes :

cos 2 sin 2 cos 2

sin 2 1 sin 2 cos 2

sin 2 1 sin 2 cos 2

12

22

11

 ^ 

r

K

r

K

r

K

I

I

I

Facteurd'intensitédescontraintes

KI :FonctiondeNappelée

Déterminer les composantes du tenseur des contraintes

pour un point M situé sur l’axe E 1

. Tracer le tricercle de Mohr des contraintes. En déduire les contraintes principales et les directions principales.

Pour les angles  ^  4 ou  ^  2 , déterminer les contraintes principales. Pour quel angle  0 ,  4 ou

 se situe le vecteur contrainte de norme maximale?

Quelle est l’expression du tenseur contrainte dans la base cylindrique?

Projectile dans un canon (Selon examen CERENSAM BORDEAUX janvier 1998) Nous nous proposons d’étudier, de façon très simplifiée, l’état de contrainte dans un projectile pendant sa phase d’accélération dans un canon. Le projectile est considéré comme cylindrique de révolution de diamètre D = 1cm, de longueur L = 2cm et de masse volumique ρ = 7500 kg/m^3. Le matériau constituant ce projectile est supposé homogène, isotrope, à loi de comportement élastique linéaire. Pendant sa phase d’accélération, c’est à dire tant que le projectile reste dans le canon, il est soumis à une pression P = 750 bar supposée constante. Cette pression génère une accélération 

portée par l’axe  O Ex 

; et supposée aussi constante. Nous négligerons toutes les actions de frottement et les actions gravitationnelles. D’autre part nous supposerons que l’état de contrainte est uniaxial.

En isolant le projectile et en appliquant le principe fondamental de la mécanique, établir la relation liant l’accélération en fonction des différents paramètres. Donner sa valeur numérique.

Ecrire l’équation d’équilibre local. Pour cela on supposera que seule varie la contrainte  xx selon la

variable x.

Ecrire les conditions aux limites qui permettent de calculer  xx en fonction de x. Tracer la loi

d’évolution de  xx et calculer sa valeur absolue maximale.

L

P^ D Ex

M

E 1

E 2

O

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Exercices de Mécanique des milieux continus

Mesures de déformations

Une poutre droite cylindrique de section droite circulaire est soumise simultanément à un effort de traction N et un moment de torsion Mt.

Le rayon du cylindre est : R  10 mm En un point M de la surface extérieure, on a collé une rosette à 45°, la jauge centrale ayant sa direction confondue avec l'axe du cylindre.

Sous ces efforts, la rosette permet d'enregistrer les résultats suivants :  aa  550 10 ^6  bb  400 10 ^6  cc  250 10^6

1- En admettant que Er représente une direction principale, déterminer, par la méthode de votre choix, les directions principales et les déformations principales dans le plan tangent ( M E ; , Ez )

  ^. On tracera précisément les directions principales par rapport aux trois directions(^ ,^ ,^ )

   E (^) a E (^) b Ec de la rosette.

2- Les mesures d'effort donnent : N  2500 daN M (^) t  10 m daN. Calculer, littéralement puis numériquement (U.S.I.), dans le repère ( , , )

   E (^) r E (^)  Ez , les composantes du tenseur des contraintes en M. 3- Déduire de l'expérience la valeur du module d'Young E et du module d'élasticité transversal G. 4- Tracer les tricercles de Mohr pour les contraintes et les déformations.

_____________________________________________________________________________________

Déplacement d’un corps solide

On donne le champ de déplacement suivant pour un corps solide :

U  M   x 1 x 2  E 1  x 1 x 2  E 2 3 E 3

La déformation associée est élastique. Le domaine est en équilibre statique.

1- En utilisant les coefficients de Lamé, calculer le tenseur des contraintes. En déduire le tenseur déviateur des contraintes et le tenseur sphérique des contraintes. 2- Déterminer les déformations principales et les contraintes principales. On donnera aussi les directions principales.

3- Quelle(s) condition(s) avons-nous pour la force de volume par unité de volume f  M 

4- Calculer la dilatation linéaire dans la direction^

  a  E (^) 1  E 2

O

M

N

N

E

E

E

E

E

E

R

x

y

z

z

r

 c b a

Mt

Mt

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Exercices de Mécanique des milieux continus

Sphère soumise à son champ de gravitation

On considère une sphère pleine de rayon R constituée d’un matériau homogène de masse volumique ρ. Le comportement est élastique, linéaire et isotrope de modules de Lamé λ et μ. On suppose qu’elle est soumise à son champ de gravitation propre ce qui revient à admettre la présence de forces volumiques radiales qui, par unité de masse, s’expriment par :

i

i (^) E R

x f g

 g représentant l’intensité du champ de pesanteur à la surface de la sphère

On admet qu’il n’y a aucun chargement sur la surface extérieure et que le déplacement du centre de la sphère est nul. On se propose de calculer les déformations et les contraintes en partant d’un champ déplacement de la forme :

U  M  hr xi Ei

 ( ) h est une fonction de r  x 1 2  x 22  x 32

1- Justifier la forme donnée au champ de déplacement.

2- Calculer le tenseur déformation  et le tenseur antisymétrique .

3- En utilisant les équations de Navier, déterminer l’équation différentielle permettant de calculer la fonction h. Montrer qu’une solution peut être de la forme :

  (^)  

R

r B

g hr

2

2

4- Calculer la constante B. 5- Expliciter le champ de déformation et le champ de contrainte. Analyser, en fonction de r ,

l’évolution de la contrainte radiale normale  rr. Donner la valeur de la trace du tenseur des

contraintes lorsque r = 0.

---

Corps soumis à son propre poids

On considère un corps cylindrique de rayon R et de hauteur H. Ce corps repose sur un plan

horizontal O Ex Ey 

; ,. On s’intéresse aux déformations élastiques de ce corps dues à son propre poids.

Pour cela on fait l’hypothèse suivante sur le déplacement d’un point :

 ( )

u u z

u u r U M uE uE z z

r r r r z z avec

1- En utilisant l’annexe, déterminer le tenseur déformation en fonction de ur , uz , r et z. 2- Déterminer le tenseur de contraintes en fonction des coefficients de Lamé et de ur , uz , r et z. 3- Ecrire les équations d’équilibre et les intégrer. Conclusion(s)?

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Exercices de Mécanique des milieux continus

Flexion d’une poutre

On donne le champ de déplacement suivant pour un corps solide :     U M k E

x x E k E

x k E

x k E

x E k E

( )   x x E ^

 ^      



  1 2 1 12 22 32 ^2 ^ ^  2 3  3 2 2 2

  

Avec : OM x E x E x E

  1 1  2 2  3 3

  

1- Déterminer le tenseur déformation pure ( M ) de la transformation.

2- Déterminer le tenseur contrainte pour un matériau ayant une loi de comportement élastique linéaire définie par un module d’Young E et un coefficient de Poisson .

3- Le solide étant en équilibre, quelle(s) condition(s) avons-nous pour la force de volume par unité de masse

 f ( M )?

4- Le domaine est un cylindre droit à base quelconque d’axe O E 1 

;. Les axes O E 2 

; et O E 3 

; sont

les axes principaux d’inertie de la section droite du cylindre. L’axe O E 1 

; représente la ligne des centres

de gravité des sections droites.

O

E

E

E

1

2

3

4-1 Reconnaître la sollicitation s’exerçant sur ce domaine en considérant le chargement sur la surface délimitant le domaine.

4-2 Trouver l’équation de la déformée de la ligne moyenne ( x (^) 2  0 , x 3  0 ). Quelle est la valeur de la flèche maxi?

4-3 La section droite de la poutre est un rectangle de hauteur h et de largeur b. On se place dans le plan défini par x 1  0. Que peut-on dire des déformées des droites x (^) 2  cte et x (^) 3  cte? En déduire la déformée de la section rectangulaire.