Download Maxwell-Boltzmann, fermi-dirac, and Bose-Einstein statistics exercises and more Exercises Statistical Physics in PDF only on Docsity!
No. 3
Terdapat tiga model statistika yang digunakan untuk menjelaskan perilaku fisis dari
sistem 𝑁 partikel tak terbedakan, yaitu statistika klasik, statistika Fermi–Dirac, dan
statistika Bose–Einstein.
(a)
Peluang termodinamika dari statistika klasik, statistika Fermi–Dirac, dan statistika Bose–
Einstein berturut-turut diberikan oleh
𝐾
𝑗
𝑁
𝑗
𝑗
𝑗
𝐹𝐷
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝐵𝐸
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
dengan 𝑔
𝑗
dan 𝑁
𝑗
berturut-turut menyatakan jumlah keadaan dan jumlah partikel pada
tingkat energi ke-𝑗. Dari (3.1), kita lakukan
ln 𝑊
𝐾
= ∑ ln (
𝑗
𝑁
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
ln 𝑔
𝑗
− ln 𝑁
𝑗
𝑗
ln 𝑊
𝐹𝐷
= ∑ ln (
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
= ∑(ln 𝑔
𝑗
! − ln 𝑁
𝑗
! − ln(𝑔
𝑗
𝑗
𝑗
ln 𝑊
𝐵𝐸
= ∑ ln (
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
= ∑(ln(𝑁
𝑗
𝑗
− 1 )! − ln 𝑁
𝑗
! − ln(𝑔
𝑗
𝑗
Dengan menggunakan pendekatan Stirling,
ln 𝑁! = 𝑁 ln 𝑁 − 𝑁, 𝑁 ≫ 1 ,
maka ketiga persamaan sebelumnya dapat ditulis menjadi
ln 𝑊
𝐾
𝑗
ln 𝑔
𝑗
𝑗
ln 𝑁
𝑗
𝑗
𝑗
ln 𝑊
𝐹𝐷
𝑗
ln 𝑔
𝑗
𝑗
𝑗
ln 𝑁
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
) ln(𝑔
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
ln 𝑊
𝐵𝐸
𝑗
𝑗
− 1 ) ln(𝑁
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
ln 𝑁
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
− 1 ) ln(𝑔
𝑗
𝑗
kemudian,
ln 𝑊
𝐾
𝑗
ln 𝑔
𝑗
𝑗
ln 𝑁
𝑗
𝑗
𝑗
ln 𝑊
𝐹𝐷
𝑗
ln 𝑔
𝑗
𝑗
ln 𝑁
𝑗
𝑗
𝑗
) ln(𝑔
𝑗
𝑗
𝑗
ln 𝑊
𝐵𝐸
𝑗
𝑗
− 1 ) ln(𝑁
𝑗
𝑗
𝑗
ln 𝑁
𝑗
𝑗
− 1 ) ln(𝑔
𝑗
𝑗
Kita ingin distribusinya, ln 𝑊 𝑗
, bernilai maksimum, sehingga akan diselesaikan
menggunakan kalkulus variasi. Namun, kita tahu bahwa untuk sistem terisolasi, energi
total 𝑈 dan jumlah partikel 𝑁 konstan,
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
Dengan menggunakan metode pengali Lagrange, kita dapat tuliskan ekspresi total yang
ingin dimaksimumkan,
𝐾
𝑗
ln 𝑔
𝑗
𝑗
ln 𝑁
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝐹𝐷
𝑗
ln 𝑔
𝑗
𝑗
ln 𝑁
𝑗
𝑗
𝑗
) ln(𝑔
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝐵𝐸
𝑗
𝑗
− 1 ) ln(𝑁
𝑗
𝑗
𝑗
ln 𝑁
𝑗
𝑗
− 1 ) ln(𝑔
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
Agar maksimum, maka ketiga persamaan harus memenuhi
𝑗
maka
𝐾
𝑗
= ∑(ln 𝑔
𝑗
− ln 𝑁
𝑗
𝑗
𝑗
𝐹𝐷
𝑗
= ∑(ln(𝑔
𝑗
𝑗
) − ln 𝑁
𝑗
𝑗
𝑗
𝐵𝐸
𝑗
= ∑(ln(𝑁
𝑗
𝑗
− 1 ) − ln 𝑁
𝑗
𝑗
𝑗
mengakibatkan
𝑉
𝐵
Dari hukum pertama dan kedua termodinamika,
diperoleh
𝑉
Dari (3.9) dan (3.10), kita dapatkan
𝐵
𝛼 akan terkait dengan besaran potensial kimia, 𝜇, yang dinyatakan sebagai
𝐵
Dengan demikian, (3.4) dapat ditulis menjadi
𝑗
𝑗
𝜖
𝑗
−𝜇
𝑘
𝐵
𝑇
𝑗
𝑗
𝜖
𝑗
−𝜇
𝑘
𝐵
𝑇
𝑗
𝑗
𝜖
𝑗
−𝜇
𝑘
𝐵
𝑇
Berdasarkan bentuk umum
𝑗
𝑗
𝜖
𝑗
−𝜇
𝑘
𝐵
𝑇
maka diperoleh nilai 𝑎 = 0 untuk statistika klasik, 𝑎 = 1 untuk statistika Fermi–Dirac,
dan 𝑎 = − 1 untuk statistika Bose–Einstein.
(b)
Peluang termodinamika untuk setiap statistika telah dituliskan pada (3.1),
𝐾
𝑗
𝑁
𝑗
𝑗
𝑗
𝐹𝐷
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝐵𝐸
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
(c)
Entropi dari statistika klasik telah diberikan pada (3.8),
𝐾
𝐵
𝑁 − 𝑁 ln
𝐵
Entropi dari statistika Fermi–Dirac diberikan oleh
𝐹𝐷
𝐵
ln 𝑊
𝐹𝐷
𝐵
𝑗
ln 𝑔
𝑗
𝑗
ln 𝑁
𝑗
𝑗
𝑗
) ln(𝑔
𝑗
𝑗
𝑗
𝐵
𝑗
ln (
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
ln (
𝑗
𝑗
𝑗
𝑗
𝐵
𝑗
ln ( 1 −
𝜖
𝑗
−𝜇
𝑘
𝐵
𝑇
𝑗
𝑗
𝐵
𝑗
𝐵
𝐵
𝑗
𝑗
𝐵
− ln (𝑒
𝜖
𝑗
−𝜇
𝑘 𝐵
𝑇
𝑗
Entropi dari statistika Bose–Einstein diberikan oleh
𝐵𝐸
𝐵
ln 𝑊
𝐵𝐸
𝐵
𝑗
𝑗
− 1 ) ln(𝑁
𝑗
𝑗
𝑗
ln 𝑁
𝑗
𝑗
− 1 ) ln(𝑔
𝑗
𝑗
𝐵
𝑗
𝑗
𝐵
𝑗
𝑗
𝐵
𝑗
𝑗
− 1 ) ln(𝑔
𝑗
𝑗
𝐵
𝐵
𝑗
𝑗
𝐵
− ln (𝑒
𝜖
𝑗
−𝜇
𝑘
𝐵
𝑇
𝑗
