Download Symmetric Matrix Calculation in 3D Space and more Essays (university) Mathematical Methods for Numerical Analysis and Optimization in PDF only on Docsity!
YATAY DURAN BİR KAFES ÇUBUĞUNUN RİJİTLİK MATRİSİ
d 1 E, A, L d 2 f 1 E, A, L f 2
1. Durum: d 1 =1, d 2 =
d =1 1 f 1 f 2 d =0 2
2. Durum: d 1 = 0 , d 2 = 1
d =1 2 f 1 f 2 d =0 1
Matris formunda yazarsak
{ f } k ]{ d }
=[
2 1 2 1 d d L
EA
L
EA
L
EA
L
EA
f f
veya
2 1 2 1 1 1
d d L
EA
f f
Görüldüğü gibi rijitlik matrisi simetrik bir kare matristir.
L EA f (^) 1 =
∑ Fx^ =^0 ⇒^
L EA f (^) 2 = − f 1 =−
L
EA
f 2 =
∑ Fx^ =^0 ⇒^
L EA f (^) 1 = − f 2 =−
EĞİK DURAN BİR KAFES ÇUBUĞUNUN RİJİTLİK MATRİSİ
Lokal Eksenlerdeki Durum
d 3 E, A, L d 4 d 1 d 2 Lokal koordinatlarda uç deplasmanlar E, A, L f 1 f 2 Lokal koordinatlarda uç kuvvetler f 3 f 4 x y Lokal koordinatlar { f } k ]{ d } ˆ =[ ⎪
4 3 2 1 4 3 2 1 0 0 0 0
d d d d L
EA
f f f f
Global Eksenlerdeki Durum
E, A, L Global koordinatlarda uç deplasmanlar D 3 D 4 D 1 D 2 E, A, L Global koordinatlarda uç kuvvetler F 3 F 4 F 1 F 2 X Y Global eksenler { F } =[ k ]{ D }
Buradaki [k] yı lokal eksenlerden global eksenlere dönüştürme işlemi ile elde
edelim.
Matlab ile işlemleri yaparsak:
**>> syms c s
T=[c s 0 0; - s c 0 0; 0 0 c s; 0 0 - s c] k_local=[1 0 - 1 0; 0 0 0 0; - 1 0 1 0; 0 0 0 0] k_global=T.'k_localT** k_global = [ c^2, cs, - c^2, - cs] [ cs, s^2, - cs, - s^2] [ - c^2, - cs, c^2, cs]
[ - cs, - s^2, cs, s^2] >> pretty(ans) [ 2 2 ] [ c c s - c - c s] [ ] [ 2 2 ] [c s s - c s - s ] [ ] [ 2 2 ] [-c - c s c c s ] [ ] [ 2 2 ] [-c s - s c s s ] ⎥
2 2 2 2 2 2 2 2 [ ] c s s c s s c c s c c s c s s c s s c c s c c s L
EA
k 5A 4t 4A 3A 3t 3m 4m B D C 2 0BX 0BY 1 2 3 0DY 2 1 2 3 4 5 6
2 0BX 0BY 1 2 3 0DY 2 1 0DY 3 0BY ϕ (^) =90 o cos ϕ= 0. ϕ (^) =0 o sin ϕ= 0. 0BX ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 [ k ] 1 EA 0BX 0BY 1 2 0BX 0BY 1 2 1 2 3 0DY 1 2 3 0DY ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 [ k ] 2 EA 0BX (^) 0BY (^3) 0DY 0BX 0BY 3 0DY ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − =
- 48 0. 36 0. 48 0. 36
- 64 0. 48 0. 64 0. 48
- 48 0. 36 0. 48 0. 36
- 64 0. 48 0. 64 0. 48 [ k ] 3 EA 1 2 3 1 2 ⎥^3 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 1 0 1. 64 0 1 0 1 0 1 [ K ] EA 1 2 3
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − 0 4 3 F { D } K { F } 1 [ ] − = 1 2 3
⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = −
- 6875 4
- 6875 1 EA D
Eleman Uç Kuvvetleri
0BX 0BY 1 2 F 1 F 2 F 3 F 4 { F (^) } (^) =[ k ]{ D }
