Download math toan tieu hoc ve phuong trinh and more Cheat Sheet Mathematics in PDF only on Docsity!
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC VÀ MẦN NON
BÁO CÁO
Môn: Toán học 4
Giáo viên hướng dẫn: Phan Thanh Nam Nhóm sinh viên thực hiện: Y Phương Lê Kim Khánh Đinh Thị Trang Nguyễn Thị Hòa Vũ Thị Thanh Hoa Lê Thị Cẩm Duyên Nguyễn Ánh Tuyết Trần Võ Thùy Duyên Lớp : Giáo dục tiểu học K44B Năm học: 2024 – 2025
I. Đại cương về phương trình
1. Phương trình là gì Khái niệm: Phương trình là một biểu thức toán học có chứa các biến số và các phép toán, trong đó các giá trị của các biến được tìm kiếm để làm cho cả biểu thức trở thành một phép tính đúng. Phương trình thường chứa dấu bằng (=), biểu thị sự bằng nhau giữa hai biểu thức. Ví dụ: 11x + 12 = 2019 là một phương trình, trong đó 11x + 12 và 2019 là hai biểu thức được phân tách bằng dấu “=”. 2. Nghiệm trên một tập S của phương trình
- Nghiệm của phương trình là giá trị (các giá trị) của biến số (các biến số) khi thay vào phương trình làm cho hai vế của phương trình bằng nhau P(x)=Q(x).
- Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm,..., không có nghiệm nào hoặc có vô số nghiệm. Ví dụ:
- x + 2 = 0 => x = - 2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = - 2
- 𝒙𝟐^ – 1 = 0 => 𝒙𝟐^ = 1 => x = 1 hoặc x = - 1 Vậy phương trình có hai nghiệm x = - 1 hoặc x = 1
- Kí hiệu: Tập nghiệm của phương trình là tất cả các nghiệm của phương trình đó thường được kí hiệu như sau: S = {a,b,..}
- Nghiệm trên tập S của một phương trình là các giá trị thuộc tập S mà khi thay vào phương trình, phương trình trở thành đúng. Cụ thể hơn, nếu ta có một phương trình f(x) =0 và một tập hợp S, thì nghiệm trên tập S của phương trình là những giá trị x trong tập S sao cho f(x)= 0 Ví dụ: Nếu phương trình là x^2 - 4 = 0 và tập S là tập hợp các số nguyên Z thì nghiệm trên tập S sẽ là các giá trị của x trong Z mà thỏa mãn x^2 - 4 = 0. Trong trường hợp này, phương trình có các nghiệm là x = 2 và x = - 2. Cả hai giá trị này đều thuộc tập số nguyên Z, nên nghiệm trên tập Z của phương trình là {2,−2}.
2x + 4 = 10 ⇔ 2x = 10 - 4 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3 Với phương trình (2): x + 2 = 5 ⇔ x = 5 – 2 ⇔ x = 3 Như vậy, cả hai phương trình đều có cùng một nghiệm là x = 3, nên chúng là phương trình tương đương. II. Phương trình bậc nhất và một số ứng dụng ở tiểu học
1. Phương trình bậc nhất 1 ẩn Khái niệm: Phương trình bậc nhất là một loại phương trình đại số rất cơ bản, thường gặp trong toán học. Nó có dạng tổng quát như sau: ax + b = 0 Trong đó: ➢ a và b là các số đã cho, với a ≠ 0. Chúng được gọi là các hệ số của phương trình. ➢ x là ẩn số mà chúng ta cần tìm giá trị. Đặc điểm nổi bật: ➢ Bậc của phương trình: Bậc của phương trình bậc nhất luôn bằng 1, vì số mũ cao nhất của ẩn x là 1. ➢ Phương trình dạng ax + b = 0, với a ≠ 0 luôn có một nghiệm duy nhất x = - 𝒃 𝒂 ➢ Phương trình dạng ax + b = 0, với a = 0, b ≠ 0 phương trình vô nghiệm. ➢ Phương trình dạng ax + b = 0, với a = 0, b = 0 phương trình vô số nghiệm Ví dụ:
- 2x + 5 = 0
- x - 4 = 0 ❖ Cách giải phương trình bậc nhất 1 ẩn Với phương trình bậc nhất một ẩn: ax + b = 0
- Nếu a ≠ 0, phương trình có nghiệm duy nhất x = - 𝒃 𝒂 Cách giải như sau:
Bước 1: Chuyển vế ax = - b Bước 2: Chia hai vế cho a ta được: x = - 𝒃 𝒂 Bước 3: Kết luận nghiệm: S = {- 𝒃 𝒂
Tuy nhiên, ở Tiểu học ta không thể hướng dẫn học sinh giải như trên. GV có thể hướng dẫn giải toán tìm X theo quy tắc tìm thành phần chưa biết của 4 phép tính ở tiểu học, cụ thể như sau : + Phép cộng:
- X + b = c (X: số hạng chưa biết; b: số hạng đã biết; c: tổng)
- a + X = c (a: số hạng đã biết; X: số hạng chưa biết; c: tổng) Quy tắc để tìm X (số hạng chưa biết) : Số hạng chưa biết = Tổng – số hạng đã biết vVí dụ: tìm X biết: 15 + X = 28 Cách giải: 15 + X = 28 X = 28 – 15 X = 13 Ttrong đó: 15 là số hạng đã biêt X là số hạng chưa biết 28 là tổng + Phép trừ:
- X - b = c (X: số bị trừ; b: số trừ; c: hiệu)
- a - X = c (a: số bị trừ; X: số trừ; c: hiệu) Quy tắc để tìm X: Số bị trừ = Hiệu + số trừ Số trừ = Số bị trừ – Hiệu Ví dụ: tìm X biết: 33 - X = 15 Cách giải: 33 – X = 15 X = 33 – 15 X = 18 T Ví dụ: tìm X biết: X – 8 = 14 Cách giải: X – 8 = 14 X = 14 + 8 X = 22 Ttrong đó: 33 là số bị trừ X là số trừ 15 là hiệu Ttrong đó: X là số bị trừ 8 là số trừ 14 là hiệu
Ví dụ: Cho phương trình: x + 4= Giải: Trừ 4 khỏi cả hai vế của phương trình: x = 10−4 = ➢ Phương trình dạng ax = b Phương trình này có dạng cơ bản nhất của phương trình bậc nhất với một ẩn số. Nó có thể được giải trực tiếp bằng cách chia cả hai vế của phương trình cho a (với a ≠ 0) Ví dụ: Cho phương trình: 3x = 9 Giải: Chia cả hai vế của phương trình cho 3 để tìm x: x = 𝟗 𝟑
➢ Phương trình cơ bản dạng chuẩn ax + b = 0 Đây là dạng phương trình đơn giản nhất mà chỉ có một ẩn số và được biểu diễn trực tiếp dưới dạng chuẩn ax+b=0. Mục tiêu là tìm x. Ví dụ: 2x+5= Giải: Trừ cả hai vế phương trình cho 5 sau đó chia cả hai vế phương trình cho 2 để tìm x: 2x = - 5 x = - 𝟓 𝟐 ❖ Dạng phương trình bậc nhất phức tạp ➢ Phương trình có dạng ẩn số 2 bên ax + b = cx +d Phương trình dạng này có thể có biến ẩn xuất hiện ở cả hai vế của phương trình. Điều này đòi hỏi việc di chuyển các hằng số và biến số từ hai phía về một bên. Ví dụ: 3x + 4 = 2x – 6 Giải: Ta di chuyển biến số về bên trái và hằng số về bên phải để tìm x: 3x + 4 = 2x – 6
3x – 2x = - 6 – 4 x = - 10 ➢ Phương trình có chứa dấu ngoặc a(x + b) + c = 0 Phương trình có dấu ngoặc, cần phải thực hiện các phép phân phối (nhân vào trong ngoặc) để đưa về dạng đơn giản hơn. Ví dụ: 2(x +2) + 3 = 0 Giải: Ta nhân 2 vào từng phân tử bên trong dấu ngoặc sau đó cộng các hằng số lại với nhau và chia hai vế cho 2 để tìm x: 2 × x + 2 × 2 + 3 = 0 2x + 4 + 3 = 0 2x = - 7 x = - 𝟕 𝟐 Vậy S = {- 𝟕 𝟐
➢ Phương trình phân thức Thực hiện quy đồng mẫu ở hai vế rồi khử mẫu, đưa phương trình về dạng 1. Thực hiện cách giải như dạng 1. Ví dụ: Giải phương trình: 𝒙−𝟏 𝟐
𝒙−𝟏 𝟑
𝒙−𝟏 𝟔
𝟑(𝒙−𝟏)+𝟐(𝒙−𝟏)−(𝒙−𝟏) 𝟔
𝟏𝟐 𝟔 3x – 3 + 2x – 2 +1= 𝟏𝟐 𝟔 4x = 16 x = 4 Vậy S = {4}
3. Dạng toán phương trình bậc nhất xuất hiện trong chương trình toán tiểu học a. Điền số:
- Xác định cách làm: các quy tắc đã học
- Nêu phép tính cần thực hiện và tính
- Kiểm tra lại kết quả Ví dụ: đề thi học sinh giỏi lớp 4 Yên Định - nThanh Hóa Tìm x : 1125 : (319 – X ) = 5 d. Bài toán thêm, bớt đơn vị: Ví dụ: Quyển sách của Lan gồm 64 trang, Lan đã đọc được 24 trang. Hỏi Lan còn phải đọc bao nhiêu trang nữa thì hết cuốn sách? Nếu gọi số trang mà Lan chưa đọc hết là x, ta có phương trình: x + 24 = 64 X = 64 – 24 X = e. Tìm tỉ số phần trăm của hai số: Tìm một số khi biết tỉ số phần trăm của số đó với số đã biết: x = 𝑎 100 x b trong đó: a là số đã cho; b (%) là tỉ số phần trăm của x và a; x là số cần tìm. Ví dụ: Toán lớp 5 Tập 2 trang 22 Bài 1: a) Tìm 70% của 120 m^2. b) Tìm 24,5% của 2 kg. c) Tìm 0,8% của 15 000 000 đồng. Lời giải: a) 70% của 120 m^2 là: 120 × 70 : 100 = 84 (m^2 ) b) 24,5% của 2 kg là: 2 × 24,5 : 100 = 0,49 (kg) c) 0,8% của 15 000 000 đồng là: 15 000 000 × 0,8 : 100 = 120 000 (đồng) f. Tìm độ dài các cạnh của hình khi biết chu vi hoặc diện tích
V í dụ: Một hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật có độ dài các cạnh là
chiều dài 130m, chiều rộng là 70m. Tính cạnh của hình vuông đó.
Lời giải: Chu vi hình chữ nhật là 2 x (130 + 70) = 400m
Chu vi hình vuông = Chu vi hình chữ nhật = 400m
Cạnh hình vuông là a = P/4 = 400 : 4 = 100m
g. Tìm một số biết khi cộng số đó với số bất kì được kết quả giống ban đầu Ví dụ: cộng với số 0. Số nào cộng với 0 cũng cho kết quả bằng chính số đó.( Toán 4 Cánh diều bài 27 “ Các tính chất của phép cộng” 7 + 0 = 7 0 + 7 = h. Tìm số trung bình cộng: Phương trình có dạng: 𝑥 = 𝑥1+ 𝑥2+⋯+ 𝑥𝑛 :n Trong đó, x là số trung bình cộng cần tìm x1, 𝑥2,…,𝑥𝑛 là các giá trị đã cho; n là số các hạng Ví dụ: Toán 4 Cánh diều bài 28 “ Tìm số trung bình cộng” trang 70 Số trung bình cộng của 10, 20, 7, 11 là: ( 10 + 20 + 7 + 11) : 4 = 12 i. Bài toán chuyển động: Tìm quãng đường biết vận tốc và thời gian đi. Yếu tố phương trình được thể hiện dưới dạng: s = v × t Ví dụ: Một ô tô đi từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc 60 km/h. Biết quãng đường từ A đến B dài 240 km. Tính thời gian ô tô đi hết quãng đường.
4. Ứng dụng phương trình bậc nhất vào giải bài toán ở tiểu học a. Tìm thành phần chưa biết của phép tính Ở Tiểu học, học sinh chỉ được học được học các phương trình đơn giản dạng: x+a = b (hoặc a +x = b); x – a = b; x.a = b (hoặc a.x = b); x : a= b (trong đó a,b là các con số đã biết). Xen kẽ với quá trình học, các phép tính số học tương ứng. Các phương trình này là cơ sở để tiếp tục giải các phương trình phức tạp hơn. Ngay từ lớp 1, học sinh đã học quan hệ bằng nhau, học dùng dấu (=) để nối 2 số ( 2 = 2; 3 = 3;…)
- Dạng bài sơ đồ phép tính: Ví dụ: Bài 4: Số? (trang 29, sách Toán 2, tập 2 – Kết nối tri thức) Dạng bài toán này đã có ở lớp 1 và một số bài toán đầu lớp 2, tuy nhiên ở lớp 1, “số cần tìm” là kết quả của một phép toán cụ thể. Khác với trường hợp này: “số chưa biết” là một thành phần của phép tính. b. Tính tổng một dãy hữu hạn có quy luật ➢ Các dạng toán tính tổng dãy số có quy luật Dạng 1: Tổng các số hạng cách đều S = a1 + a2 + a3 + … + an. Dạng 2: Tính tổng có dạng S = 1 + a + a2 + a3 + … + an. Dạng 3: Tính tổng có dạng S = 1 + a2 + a4 + a6 + … + a2n. Dạng 4: Tính tổng có dạng S = a + a3 + a5 + a7 + … + a2n + 1. Dạng 5: Tính tổng có dạng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + … + n(n + 1). Dạng 6: Tính tổng có dạng S = 12 + 22 + 32 + 42 + … + n2. Dạng 7: Tính tổng có dạng S = 12 + 32 + 52 + … + (2k + 1)2. Dạng 8: Tính tổng có dạng S = 22 + 42 + 62 + … + (2k)2. Dạng 9: Tính tổng có dạng S = a1.a2 + a2.a3 + a3.a4 + … + an.an+1. Dạng 10: Tính tổng có dạng S = a1.a2.a3 + a2.a3.a4 + a3.a4.a5 + … + an.an+1.an+2. Dạng 11: Tính tổng có dạng S = 1 + 23 + 33 + … + n3. Dạng 12: Liên phân số. ➢ Phương pháp làm bài toán tính tổng một dãy số Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số Trước hết ta cần xác định lại quy luật của dãy số:
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với một số tự nhiên a.
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với một số tự nhiên q khác 0.
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng 2 số hạng đứng liền trước nó.
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.
- Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự của nó.
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi đều bằng a lần số liền trước nó.
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng a lần số liền trước nó cộng (trừ ) n (n khác 0). ➢ Cách giải bài toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều lớp 5 Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau: Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy – số hạng bé nhất của dãy): khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1 Bước 2: Tính tổng của dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2 Ví dụ 1: Tính số lượng số hạng của dãy số sau: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …, 94, 97, 100. Ta thấy: 4 – 1 = 3 7 – 4 = 3 10 – 7 = 3 … 97 – 94 = 3 100 – 97 = 3 Vậy dãy số đã cho là dãy số cách đều, có khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp là 3 đơn vị. Nên số lượng số hạng của dãy số đã cho là: (100 – 1) : 3 + 1 = 34 (số hạng)
- 0,abc để chỉ số thập phân có phần nguyên là 0, phần mười là a, hàng phần trăm là b, hàng phần nghìn là c ➢ Vận dụng tính chất của các phép tính, kĩ thuật thực hiện phép tính và các quy tắc cơ bản ▪ Vận dụng tính chất của các phép tính:
- Tính chất giao hoán: a + b = b + a và a × b = b × a
- Tính chất kết hợp: (a + b) + c = a + (b + c) và (a × b) × c = a × (b × c)
- Nhân một số với một tổng hoặc với một hiệu: a × (b + c) = a × b + a × c và a × (b - c) = a × b - a × c ▪ Sử dụng kĩ thuật thực hiện phép tính:
- Đối với phép cộng, phép trừ, phép nhân thì thực hiện các bước tính từ phải sang trái (lần lượt từ hàng đơn vị, hàng chục,… cho đến hàng cuối cùng), mỗi lần như vậy thì tìm được một chữ số tương ứng.
- Đối với phép chia thì thực hiện các bước tính từ trái sang phải (lần lượt từ hàng cao nhất đến hàng thấp nhất), mỗi lần như vậy tìm được một chữ số tương ứng.
- Trong phép chia có dư thì số dư luôn bé hơn số chia.
- Trong phép cộng:
- Nếu cộng hai chữ số cùng một hàng thì hoặc không nhớ, hoặc nhớ 1 sang hàng cao liên tiếp.
- Nếu cộng ba chữ số cùng một hàng thì hoặc không nhớ, hoặc nhớ 1, nhớ 2, sang hàng cao liên tiếp.
- Nếu cộng n chữ số cùng một hàng thì hoặc không nhớ, hoặc nhớ từ 1 đến n - 1 sang hàng cao liên tiếp. ▪ Quy tắc: Trong quá trình biến đổi, ta dựa vào các quy tắc tìm thành phần chưa biết của phép tính để tìm kết quả. Đó là các quy tắc sau đây:
- Tìm một số hạng chưa biết của tổng hai số.
- Tìm số bị trừ chưa biết của hiệu hai số.
- Tìm số trừ chưa biết của hiệu hai số.
- Tìm một thừa số chưa biết của tích hai số.
- Tìm số bị chia chưa biết của thương hai số.
- Tìm số chia chưa biết của thương hai số. ▪ Vận dụng tính chẵn lẻ và tận cùng của số tự nhiên
- Các số có tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8 là các số chẵn, ngược lại các số chẵn có tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.
- Số chẵn chia hết cho 2, ngược lại số chia hết cho 2 là số chẵn.
- Các số có tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9 là các số lẻ, ngược lại số lẻ có tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9.
- Số lẻ không chia hết cho 2, ngược lại số không chia hết cho 2 là số lẻ.
- Tổng (hiệu) của hai số chẵn là số chẵn, tổng (hiệu) của hai số lẻ là số chẵn.
- Tổng (hiệu) của một số chẵn và một số lẻ là một số lẻ.
- Tích có một thừa số chẵn là một số chẵn.
- Tích của một số nhân với chính nó có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 (không có tận cùng là 2; 3; 7; 8). ▪ Vận dụng dấu hiệu chia hết của một số tự nhiên
- Những số có tận cùng bằng 0; 2; 4; 6 hoặc 8 thì chia hết cho 2. Những số chia hết cho 2 thì có tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.
- Những số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5. Những số chia hết cho 5 thì có tận cùng bằng 0 hoặc 5.
- Những số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3. Những số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.
- Những số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9. Những số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
- Những số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4. Những số chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của nó tạo thành số chia hết cho 4.
- Các số chia hết cho cả 2 và 3 thì chia hết cho 6. Các số có tận cùng là số chẵn và tổng các chữ số chia hết cho 3 thi chia hết cho 6.
- Nếu b = 0: 10 × 49 + 25 = c × 95 515 = c ×95 (loại vì 515 không chia hết cho95).
- Nếu b = 5: 15 × 49 + 25 = c × 95 760 = c × 95 c = 760 : 95 c = 8
- Bước 3: Thử lại: 815 - 158 × 5 = 25 (đúng) Vậy số cần tìm là 158. d. Chuyển một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành số hữu tỉ ➢ Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Nhận biết một phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Phương pháp: Bước 1: Viết phân số dưới dạng phân số tối giản với mẫu số dương Bước 2: Phân tích mẫu số ra thừa số nguyên tố Bước 3: Nếu mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Nếu mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Dạng 2: Viết một phân số hoặc tỉ số dưới dạng số thập phân Phương pháp: Để viết phân số a/b dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia a:b. Dạng 3: Viết số thập phân hữu hạn dưới dạng phân số tối giản
Phương pháp:
- Viết số thập phân hữu hạn dưới dạng phân số có tử số là số nguyên tạo bởi phần nguyên và phần thập phân của số đó, mẫu số là một lũy thừa cơ số 1010 với số mũ bằng số chữ số ở phần thập phân của số đã cho.
- Rút gọn phân số Ví dụ: 1,25= 125/10^2 =125/100=5/ Dạng 4: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản Phương pháp: Ta cần các kiến thức sau để làm dạng toán này:
- Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn có chu kỳ bắt đầu ngay sau dấu phẩy, ví dụ: 0,(21);5,(123);....
- Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp thì chu kỳ không bắt đầu ngay sau dấu phẩy, ví dụ: 1,5(31);0,01(123);.... (phần đứng sau dấu phẩy nhưng đứng trước chu kì gọi là phần bất thường).
- Cách chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số: ❖ Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn +) Lấy chu kì làm tử. +) Mẫu là một số gồm các chữ số 9 , số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kỳ. Ví dụ: Chuyển 0,(3) sang phân số. Ta có: 0,(3)= 3 9
1 3 Chuyển 0,(25) sang phân số. Ta có: 0,(25)= 22 59 ❖ Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp
