Download MATEMATIK UYGULAMALI TUREV SORU ORNEKLERI. and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity!
Amaçlar
Bu üniteyi çalıştıktan sonra;
- türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, eks-
tremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm noktala-
rını araştırabilecek,
- fonksiyonun grafiğinin çiziminde türev kavramının nasıl kulla-
nabileceğini öğrenecek,
- ekstremum problemlerinin çözümüne dair örneklerle tanışa-
caksınız.
İçindekiler
- Giriş 251
- Fonksiyonun Artan, Azalan Olduğu Aralıklar ve
Ekstremum Noktaları 251
- Konvekslik, Konkavlık ve Grafik Çizimi 259
- Ekstremum Problemleri 273
- Değerlendirme Soruları 276
ÜNİTE
Yazar
Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Çalışma Önerileri
- Ünitedeki testleri ve grafik çizimi için gereken işlemleri iyi öğre-
niniz
- Türevlerin işaret tablolarından yararlanmayı alışkanlık haline
getiriniz
- Çözülmüş örnekleri iyi inceleyiniz
- Çeşitli fonksiyon örnekleri alıp, türev yardımı ile gerekli özel-
likleri araştırınız ve grafiklerini çizmeye çalışınız.
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Eğer bir aralığın tüm x noktalarında f ' (x) ≥ 0 ise fonksiyon bu aralıkta mo-
noton artan, eğer f ' (x) > 0 ise kesin artan fonksiyondur.
Eğer bir aralığın tüm x noktalarında f' (x) ≤ 0 ise fonksiyon bu aralıkta mo-
noton azalan, eğer f ' (x) < 0 ise kesin azalan fonksiyondur.
Bu sonuçlara göre, türevlenebilir y= f(x) fonksiyonunun kesin artan olduğu ara-
lıkları bulmak için fonksiyonun f ' (x) türevini bulup f ' (x) > 0 eşitsizliğinin, ke-
sin azalan olduğu aralıkları bulmak için ise f ' (x) < 0 eşitsizliğinin çözüm kü-
melerinin bulunması gerekmektedir.
Örnek:
y= x 2
y= x 2 - 2x
y= x 3 - 3x + 3
y= 2x 3 - 3x 2 - 12x + 1
fonksiyonlarının kesin artan ve azalan olduğu aralıkları bulalım.
Çözüm:
1) f(x)= x^2 , f ' (x) = (x 2 ) ' = 2x olduğundan f ' (x) türev fonksiyonunun işaret
tablosu aşağıdaki gibidir (2. üniteye bakınız):
Buna göre, y = x 2 fonksiyonu (0, ∞) aralığında kesin artan, (- ∞, 0) aralığında ise kesin azalandır.
2) f(x)= x 2 - 2x, f ' (x) = (x 2 - 2x) ' = 2x - 2 olduğundan türev fonksiyonunun
işaret tablosu aşağıdaki gibidir:
x
f' (x) = 2x
x
f' (x) = 2x - 2
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
Buna göre, y = x 2 - 2x fonksiyonu (1, ∞) aralığında kesin artan, (- ∞, 1) aralı- ğında ise kesin azalandır.
3) f(x) = x 3 - 3x + 3 , f ' (x) = (x 3 - 3x + 3) ' = 3x 2 - 3; 3x 2 - 3 > 0 ⇔ x 2 - 1 > 0.
Son eşitsizliğin çözüm kümesi (- ∞, - 1) ∪ (1, ∞) dur (Ünite 2 ye bakınız).
3x 2 - 3 < 0 ⇔ x 2 - 1 < 0 ,
bu eşitsizliğin çözüm kümesi ise (- 1, 1) aralığıdır.
Fonksiyon, (- ∞, - 1) ve (1, ∞) aralıklarında kesin artan, (- 1, 1) aralığında ise kesin azalandır.
4) f(x) = 2x 3 - 3x 2 - 12x + 1 , f ' (x) = (2x 3 - 3x 2 - 12x + 1) ' = 6x 2 - 6x - 12 ;
6x 2 - 6x - 12 = 0 ⇔ x 1 = - 1, x 2 = 2.
İşaret tablosu aşağıdaki gibidir:
Fonksiyon (- ∞, - 1) ve (2, ∞) aralıklarında kesin artan, (- 1, 2) aralığında ise kesin azalandır.
Grafiği aşağıdaki gibi olan bir y = f(x) fonksiyonu verilmiş olsun.
x (^) - ∞ - 1 1
f' (x)= 3x^2 - 3^0 +
x - ∞ - 1 2
f' (x)= 6x^2 - 6x - 12^0 +
Şekil 10.
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
Bu nedenle türevin sıfır olduğu noktalar ekstremum noktası olmaya aday nokta- lardır. Bir noktanın ekstremum noktası olup olmadığına karar vermek için aşağı- daki işlemler yapılır.
Birinci Türev Testi
A aralığı üzerinde tanımlı bir y = f(x) fonksiyonu verilsin. Bu fonksiyonun ekstre- mumlarını bulmak için aşağıdaki işlemler yapılmalıdır.
1) Fonksiyonun f ' (x) türevi alınır ve f ' (x) = 0 denkleminin tüm kökleri
bulunur. Sonra (eğer varsa) tanım kümesinden olan ve fonksiyonun sürekli ol-
duğu, fakat f ' (x) türevinin mevcut olmadığı x noktaları da belirlenir. Bu
tür noktalara ve f ' (x) = 0 denkleminin köklerinin hepsine kritik noktalar
denir. Kritik noktalar büyüklük sırasına göre x 1 , x2 , x3 , ... olsun.
2) Türevin işaret tablosu oluşturulur. Bunun için f' (x) türevinin ifadesinde
x yerine x 1 den küçük herhangi değer, sonra ise x 1 ile x 2 arasından her- hangi değer yazılarak türevin işaretleri belirlenir. Eğer türevin işareti "+" dan "- " ye değişirse x 1 noktası yerel maksimum, "-" den "+" ya değişirse x 1 nok- tası yerel minimum noktasıdır. Eğer türevin işareti değişmezse x 1 noktasın- da ekstremum yoktur.
3) Sonra f ' (x) türevinin ifadesinde x yerine x 2 ile x 3 arasından herhangi
bir değer yazarak (x 2 , x (^) 3) aralığında türevin işareti belirlenir ve x 2 noktası- nın ekstremum noktası olup olmadığına karar verilir.
4) Tüm kritik noktalar için bu işlem tekrarlanır.
Örnek:
y = x 2 - 2x + 2
y = 2x 3 - 3x 2 - 12x + 1
y = x 3 - 1
fonksiyonlarının ekstremum noktalarını bulalım.
Çözüm:
1) f ' (x) = (x 2 - 2x +2) ' = 2x -2 ;
f ' (x) = 0 ⇔ 2x - 2 = 0 ⇔ x= 1.
y = x^2
3
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Tek kritik nokta x= 1 dir ve (- ∞, 1) de fonksiyon azalan, (1, ∞) da ise artandır. Bu- nu tabloda ifade etmek için " " ve " " işaretleri kullanılarak tabloya yeni satır eklenir:
x = 1 kritik noktasında fonksiyon azalanlıktan artanlığa geçtiğinden x = 1 yerel mi- nimum noktası, f(1) = 1 2 - 2.1 + 2 = 1 ise yerel minimum değeridir.
2) f ' (x) = (2x 3 - 3x 2 - 12x + 1) ' = 6x 2 - 6x - 12;
f ' (x) = 0 ⇔ 6x 2 - 6x - 12 = 0 ⇔ x 1 = - 1 , x 2 = 2.
Kritik noktalar iki tanedir: x 1 = - 1, x 2 = 2. Tablo aşağıdaki gibidir:
x = - 1 noktasında f(x) artanlıktan azalanlığa geçtiğinden x = - 1 noktası yerel mak- simum noktasıdır; x = 2 de ise f(x) azalanlıktan artanlığa geçtiğinden x = 2 noktası yerel minimum noktasıdır.
f(- 1) = 2 (- 1) 3 - 3 (- 1) 2 - 12 (- 1) + 1 = 8 yerel maksimum değer,
f(2) = 2. 2^3 - 3. 2 2 - 12. 2 + 1 = - 19 yerel minimum değeridir.
3) f ' (x) = (x 3 - 1) ' = 3x 2 ;
f ' (x) = 0 ⇔ 3x 2 = 0 ⇒ x = 0.
x = 0 kritik nokta olduğundan tablo aşağıdaki gibidir:
x
f' (x)
f(x) (^1)
x
f' (x)
f(x) (^8)
x
f'( x)
f(x) (^) - 1
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Çözüm:
1) f ' (x) = (x 2 - 6x + 8) ' = 2x - 6 ;
f ' (x) = 0 ⇔ 2x - 6 = 0 ⇔ x = 3 kritik noktadır.
f " (x) = (f ' (x)) ' = (2x - 6) ' = 2 ,
f " (3) = 2 > 0
olduğundan ikinci türev testine göre, x = 3 noktası yerel minimum noktası, f(3) = 3^2 - 6.3 + 8 = -1 ise yerel minimum değeridir.
2) f ' (x) = (x 4 - 18x 2 + 4) ' = 4x 3 - 36x ;
f ' (x) = 0 ⇔ 4x 3 - 36x = 0 ⇔ 4x (x - 3) (x + 3) = 0 ⇔
x 1 = -3 , x 2 = 0 , x 3 = 3 kritik noktalardır.
f " (x) = (f ' (x)) ' = (4x 3 - 36x) ' = 12x 2 - 36 ,
f " (-3) = 12(- 3) 2 - 36 = 108 - 36 = 72 > 0 ,
f " (0) = 12.0 - 36 = - 36 < 0 ,
f " (3) = 12. 3^2 - 36 = 72 > 0
olduğundan ikinci türev testine göre, x = 0 yerel maksimum, x = -3 ve x = 3 ise ye- rel minimum noktalarıdır. f(0) = 4 yerel maksimum, f(-3) = -77 , f(3) = -77 ise yerel minimum değerleridir.
- Fonksiyonun tanım kümesi x > 0 değerleridir.
olduğundan x = 1 noktası yerel minimum noktası, f(1) = 1 2 - 2ln1 = 1 ise ye- rel minimum değeridir.
Not: İkinci türev testi birinci türev testine göre daha kullanışlı gözükebilir. Fakat birinci türev testi ikinci türev testine göre daha geniş sınıf problemlere uygulanabi- lir. Örneğin, eğer f(x) fonksiyonu II. mertebeden türevlendirilebilir değilse veya
fonksiyon II. mertebeden türevlenebilir, ancak x 0 kritik noktası için f " (x 0) = 0
ise ikinci türev testi uygulanamaz.
f ' (x) = (x^2 - 2 lnx)' = 2x -^2
x = 2(x
x
f ' (x) = 0 ⇔ 2(x
x = 0 ⇔ 2(x^2 - 1) = 0 ⇔ x 1 = -1 , x 2 = 1.
x = -1 noktası tanım kümesi dışında olduğundan tek kritik nokta x = 1 dir.
f " (x) = 2(x
x
= 2 +^2
x^2
f " (1) = 2 +^2
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
Örneğin, f(x) = (x - 1)^4 fonksiyonunun tek kritik noktası x = 1 dir. Bu nokta-
da f " (x) türevi de sıfır olduğundan ikinci türev testi uygulanamaz. Buna karşı-
lık, birinci türev testi ile bu noktanın bir yerel minimum noktası olduğu kolayca gö- rülebilir.
3. Konvekslik, Konkavlık ve Grafik Çizimi
y = f(x) fonksiyonunun Şekil 10.3 te verilen grafiğini ele alalım. Grafiğin, apsisi x (^0) olan B noktasına kadar olan kısmında herhangi bir kiriş, grafik parçasının altında, B noktasından sonraki kısmında ise üstte kalır.
Bu durumda grafiğin B ye kadar kısmı konkav, B den sonraki kısmı konveks, B noktası ise büküm noktası olur.
y = f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer bir aralıkta y = f(x) in grafiğinin her kirişi ilgili grafik parçasının üstünde kalıyorsa fonksiyona bu aralıkta konveks fonksiyon (veya yukarı bükey fonksiyon), altında kalıyorsa konkav fonksiyon (veya aşağı bükey fonksiyon) denir. Fonksiyonun konvekslikten konkavlığa veya konkavlık- tan konveksliğe geçtiği noktaya fonksiyonun büküm noktası denir.
Konvekslik, Konkavlık ve Büküm Noktası Testi
y = f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer bir (a, b) aralığında f " (x) > 0 ise f fonk-
siyonu bu aralıkta konvekstir, eğer (a, b) aralığında f " (x) < 0 ise f fonksiyo-
nu bu aralıkta konkavdır. Buna göre, fonksiyonun konveks ve konkav olduğu ara- lık veya aralıklarla büküm noktalarını bulmak için şu işlemler yapılır:
1) f(x) fonksiyonunun f "(x) ikinci türevi bulunur.
2) f "(x) > 0 eşitsizliği çözülerek f fonksiyonunun konveks olduğu aralık-
lar;
f "(x) < 0 eşitsizliği çözülerek de konkav olduğu aralıklar bulunur.
Şekil 10.
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
4) f(x) = x 4 - 2x 3 - 12x 2 + 12 , f ' (x) = 4x 3 - 6x 2 - 24x , f '' (x) = 12x 2 - 12x - 24 ;
f '' (x) = 0 ⇔ 12x 2 - 12x - 24 = 0 ⇔ x 1 = -1 , x 2 = 2.
Buna göre f'' nün işaret tablosu aşağıdaki gibidir:
Tabloya göre, (- ∞, -1) ve ( 2, ∞) aralıklarında fonksiyon konveks, (-1, 2) aralı-
ğında ise konkavdır. x = -1 ve x = 2 noktalarında f '' (x) türevi işaret değiştir-
diğinden x = -1 ve x = 2 noktaları büküm noktalarıdır.
y = x 4 - 24 x^2 + x + 1 fonksiyonunun konvekslik , konkavlık aralıklarını ve bü- küm noktalarını bulunuz.
Cevabınız şöyle olmalıdır: (- ∞, -2) ve ( 2, ∞) aralıklarında fonksiyon kon- veks, (-2, 2) aralığında konkav, x = -2 ve x = 2 noktaları büküm noktalarıdır.
Örnek:
fonksiyonlarının konvekslik, konkavlık aralıklarını ve büküm noktalarını bula- lım.
Çözüm:
f '' (x) = 0 denkleminin kökü yoktur, fakat x = 0 noktası tanım kümesindedir ve
bu noktada f ' (0) ve f '' (0) türevleri mevcut değildir. f '' nün işaret tablosu aşa-
ğıdaki gibidir:
Yukarıdaki teste göre fonksiyon (- ∞, 0) da konveks (0, ∞) da konkavdır, x = 0 noktası büküm noktasıdır.
x
f'' (x)
- y = x
3
- y = x- 1 5 3
?
- f (x) = x
3
+ 1 , f '^ (x) = x
3
= x
1
=^1
x
-^23 = 1 3 x^2
3 ; f^
" x = 1
x
-^23 '^ =^1 3
. -^2
x
x
f'' (x)
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
f '' (x) = 0 denkleminin kökü yoktur. x = 1 noktası tanım kümesindedir ancak
bu noktada f '' (1) türevi mevcut değildir.
Fonksiyon (- ∞, 1) da konkav, (1, ∞) da konvekstir, x = 1 büküm noktasıdır.
fonksiyonlarının konveks, konkav olduğu aralıkları ve büküm noktalarını araştırınız.
Cevaplarınız şu şekilde olmalıydı.
Tüm tanım kümesinde konkavdır ve büküm noktası yoktur,
IR üzerinde konvekstir, büküm noktası yoktur.
Fonksiyonların monotonluk, ekstremum, konvekslik ve konkavlığı gibi özellikle- ri onun grafiğinin çiziminde önemli rol oynarlar. Grafik çizimi için gereken işlem- ler aşağıdaki gibi verilebilir.
Grafik Çizimi
1) Fonksiyonun tanım kümesi açık olarak verilmemişse önce tanım kümesi bulunur.
2) Tanım kümesini oluşturan aralıkların uçlarında fonksiyonun soldan ve sağdan limitleri bulunur.
?
f x = x- 1 5 3 = x - 1
5
3 , f ' (x) = 5
x - 1
2 (^3) ;
f "^ x =^5
.^2
x - 1
-^13 = 10 9 x - 1
x
f'' (x)
1) f : 0, ∞ → IR , f x = lnx
- f : - ππππ 2
, ππππ 2
→ IR^ , f x^ =^ sinx
3) f : IR → IR , f x = ex
, 0 aralığında konveks , 0 , π 2
de konkav, x = 0 büküm noktasıdır,
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Tabloya göre fonksiyon (- ∞, -1), (1, ∞) aralıklarında kesin artan, (-1, 1) aralığında kesin azalandır. x = -1 noktası yerel maksimum, f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) - 2 = 0 ye- rel maksimum değeridir. x = 1 yerel minimum noktası, f(1) = 1^3 - 3. 1 - 2 = - 4 yerel minimum değeridir.
f '' (x) = 6x, 6x = 0 ⇒ x = 0 ikinci türevin köküdür. İkinci türevin işaretini in-
celeyerek fonksiyonun konveks ve konkav olduğu aralıkları belirleyelim.
Tabloya göre, fonksiyon (- ∞, 0) aralığında konkav, (0, ∞) aralığında konvekstir. x = 0 büküm noktasıdır.
x = 0 için f(0) = -2 dir.
y = 0 için x 3 - 3x - 2 = 0 ⇒ x = 2, x = -1 ;
Fonksiyon x-eksenini x = - 1 ve x = 2 de kesmektedir. (x = -1 in iki kat kök olduğuna dikkat ediniz). Bütün bu bilgileri tek bir tabloda berliştirip bu tabloya göre grafiği çizelim.
x -^ ∞^ -1^ ∞
f(x)^0
f' (x) +^0 +
x -^ ∞^0 ∞
f(x) -
f'' (x) -^0 +
konkav konveks
x -^ ∞^ -1^ ∞
f" (x)
f' (x) +^0 +
f(x)
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
- y = f(x) = ax 2 + bx + c, a > 0, b 2 - 4ac < 0 fonksiyonu da polinom fonksiyon oldu- ğundan tanım kümesi IR = (-∞, ∞) dir. a > 0 olduğundan
dur. Yatay ve düşey asimptot yoktur.
türevin köküdür. Türevin işaret tablosu aşağıdaki gibidir.
Tabloya göre fonksiyon aralığında azalan, aralığında ar-
tandır. yerel minimum noktası, yerel minimum de-
ğeridir.
Şekil 10.
x lim→ - ∞ (ax^2 + bx + c) =^ ∞^ ,xlim → ∞(ax^2 + bx + c) =^ ∞
f ' (x) = 2ax + b, 2ax + b = 0⇒ x =- b
2a
x - ∞ ∞
f(x)
f' (x) -^0 +
∞^ ∞
4ac - b^2 4a
x = - b 2a
f - b 2a
= 4ac - b
2 4a
A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ
Daha önceki ünitelerde rasyonel, üstel, logaritmik ve trigonometrik fonksiyonla- rın grafiklerini fazla ayrıntıya girmeden sezgisel bir yaklaşımla çizmiştik. Türev kavramı, bu fonksiyonların grafiği dediğimiz eğrilerin çiziminin ve fonksiyon davranışlarının daha ayrıntılı incelenmesine imkan verir.
Örnek:
Aşağıdaki fonksiyonların, tanım kümelerini, artan, azalan oldukları aralıkları, ekstremum noktalarını, konveks ve konkav oldukları aralıkları, büküm noktaları- nı ve asimptotlarını araştırarak grafiklerini çizelim:
Çözüm:
Hem birinci ve hem de ikinci mertebeden türevlerin kökü yoktur ve bu türevlerin işaret tablosu aşağıdaki gibidir:
y =2x + 3 x - 1
y =e -^ x
y = sin x
y = 1,5 x
y= ln x
y = tan x
f(x) = 2x + 3 x - 1
fonksiyonu paydanın kökü olan x = 1 noktasında tanım
olmadığından tanım kümesi, (- ∞ , 1) ∪ (1 , ∞) dur.
xlim → - ∞^ 2x + 3 x - 1
= 2 olduğundan y = 2 yatay asimptottur. lim x → 1 -
2x + 3 x - 1
olduğundan x = 1 düşey asimptottur. limx → ∞^ 2x + 3 x - 1
= 2 ve lim x → 1 +
2x + 3 x - 1
dur. Bu sonuçlara göre de x = 1 düşey asimptot, y = 2 yatay asimptottur
f ' (x) = 2x + 3
x - 1
' = 2x + 3 '^ x - 1 - 2x + 3 x - 1 '
x - 1 2
x - 1 2
f " (x) = - 5
x - 1 2
' = - 5 x - 1 - 2 ' = - 5 - 2 x - 1 - 3. 1
x - 1 3
A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ
Yukarıdaki tablolara göre, fonksiyon (- ∞ , 1) , (1 , ∞) aralıklarında kesin azalandır ve ekstremum noktası yoktur. Fonksiyon (- ∞ , 1) aralığında konkav, (1 , ∞) aralı- ğında konvekstir. x = 1 noktasında fonksiyon tanımlı ve dolayısıyla sürekli olma- dığından, bu noktada ikinci türev işaret değiştirmesine rağmen x = 1 büküm nok- tası değildir. Fonksiyonun büküm noktası yoktur. Grafiğin eksenleri kestiği nok- talar,
dir. Tüm bilgileri topladığımız tabloyu oluşturup grafiği çizelim.
x
f' (x)
f(x) 2 - ∞ + ∞ (^2)
x
f'' (x)
f(x) konkav konveks
x = 0 için y= 2. 0 + 3= 0 - 1
y = 0 için 2x + 3 x - 1
= 0 ⇒ 2x + 3 = 0 , x = -^3 2
x
f' (x)
f'' (x)
Şekil 10.
